重庆市渝北区暨华中学2022-2023学年八年级 下学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份重庆市渝北区暨华中学2022-2023学年八年级 下学期期中数学试卷 (含答案)，共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市渝北区暨华中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠C＝（　　）
A．20° B．40° C．140° D．160°
2．（4分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．6、8、10 B．1、、2 C．2、3、4 D．7、24、25
3．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）下列四个命题正确的是（　　）
A．菱形的对角线相等
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
5．（4分）估计的值应在（　　）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
6．（4分）如图，在▱ABCD中，DB＝DC，AE⊥BD于点E，则∠BAE等于（　　）

A．20° B．110° C．70° D．50°
7．（4分）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（　　）

A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里
8．（4分）利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，以原点O为圆心，以OB长为半径作弧，那么点C表示的无理数是（　　）

A． B． C．7 D．29
9．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，DH⊥AB于点H，则DH的长（　　）

A．4.8cm B．5cm C．9.6cm D．10cm
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接AE，过点A作FA⊥AE交DP于点F；②PF＝EP+EB；③△BCF是等边三角形；⑤S△APF＝S△CDF．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②④⑤ D．①③⑤
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）已知a、b满足b＝+﹣3，则ba的值为 　 　．
12．（4分）某水果店销售价格为11元，18元，24元三种水果，可计算该店当月销售这三种水果的平均价格是 　 　．
​

13．（4分）若最简二次根式与可以合并，则a＝　 　．
14．（4分）如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB边的中点，AH⊥BC于点H，则HE等于 　 　．

15．（4分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，点E是AB的中点，在对角线上一点P，则PA+PE的最小值是 　 　．

16．（4分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，点B落在点F处，折痕为AE，则AB的长为　 　．

17．（4分）若二次根式有意义，且关于x的方程 ，则符合条件的整数m的乘积为 　 　．
18．（4分）若一个两位数（a，b均为正整数目：1≤a≤9，1≤b≤9）等于其各位数字之和的k倍（k为整数），则称M为“开心数”，则24的开心指数为 　 　；若一个“开心数”N与其开心指数的8倍的差是14的正约数，则N的最大值为 　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，20-26题10分，共78分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
20．（10分）如图，∠C＝90°，AC＝12，AD＝8，BD＝17

21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB
（1）用尺规完成以下基本作图：作线段AC的垂直平分线，分别交AD，BC于E，垂足为O，连接AF；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
（2）根据（1）所作图形，完成四边形AFCE是菱形的证明过程．
证明：∵平行四边形ABCD，
∴　 　，
∴∠DAC＝∠BCA．
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，EA＝　 　，FA＝FC．
∵在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴　 　，
∴AE＝CE＝CF＝AF，
∴四边形AFCE是菱形（推理依据，　 　）．

22．（10分）2022年3月28日是第27个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校八、九年级进行了校园安全知识竞赛，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级：A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：0≤x＜70），部分信息如下：
八年级20名学生的竞赛成绩为：30，40，50，60，60，70，70，70，72，78，85，90，93，100．
九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为：
80，80，80，82．
根据以上信息，解答下列问题：
八、九年级抽取学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
优秀率
八年
71
a
70
30%
九年级
71
80
b
c%
（1）请填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）根据上述数据，你认为该校八、九年级的校园安全知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校八、九年级参加本次竞赛活动的共有1200人，请估计该校八、九两个年级共有多少人成绩为优秀．

23．（10分）（1）已知，求x2﹣2x﹣3的值；
（2）当时，求的值．
24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，F分别为OB，OD的中点，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AC＝2AB时，四边形EGCF是什么样的四边形？试说明理由．

25．（10分）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，DE∥BC，且CD⊥BE，CD＝3，试求BC+DE的值．
小明发现，过点E作EF∥DC，交BC的延长线于点F，经过推理得到▱DCFE，再计算就能够使问题得到解决（如图②）　 　，并写出推理和计算过程．
参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：
如图③，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，求∠AGF的度数．


26．（10分）已知，在正方形ABCD中，点E，连接BE、CF，并延长交于点G，H为CF上一点，连接BH、DH
（1）如图1，若H为CF的中点，且AF＝2DF，求线段AB的长；
（2）如图2，若BH＝BC，过点B作BI⊥CH于点IDG＝CG；
（3）如图2，在（1）的条件下，P为线段AD（包含端点A、D），连接CP，过点B作BQ⊥CP于点Q，N为直线AB上一动点，连接MN，直接写出AN+MN的最小值．



2022-2023学年重庆市渝北区暨华中学八年级（下）期中数学试卷
（参考答案）
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠C＝（　　）
A．20° B．40° C．140° D．160°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C＝40°．
故选：B．
2．（4分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．6、8、10 B．1、、2 C．2、3、4 D．7、24、25
【解答】解：A、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、72+（）4＝22，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、72+33≠42，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
D、32+242＝254，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是最简二次根式；
B、＝2；
C、＝，故C不符合题意；
D、＝5；
故选：A．
4．（4分）下列四个命题正确的是（　　）
A．菱形的对角线相等
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
【解答】解：A、菱形的对角线不一定相等；
B、一组对边相等，本选项错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
故选：C．
5．（4分）估计的值应在（　　）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【解答】解：×+2
＝+6
＝+2，
∵16＜20＜25，
∴4＜＜5，
∴6＜+2＜8．
故选：B．
6．（4分）如图，在▱ABCD中，DB＝DC，AE⊥BD于点E，则∠BAE等于（　　）

A．20° B．110° C．70° D．50°
【解答】解：∵DB＝DC，
∴∠C＝∠DBC＝70°，
∴∠CDB＝180°﹣140°＝40°，
∵CD∥AB，
∴∠ABE＝∠CDB＝40°，
∴AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣40°＝50°．
故选：D．

7．（4分）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（　　）

A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里
【解答】解：由题意可得：∠B＝30°，AP＝30海里，
故AB＝2AP＝60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP＝＝30
故选：D．
8．（4分）利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，以原点O为圆心，以OB长为半径作弧，那么点C表示的无理数是（　　）

A． B． C．7 D．29
【解答】解：由勾股定理得，OB＝＝，
∴点C表示的无理数是．
故选：B．
9．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，DH⊥AB于点H，则DH的长（　　）

A．4.8cm B．5cm C．9.6cm D．10cm
【解答】解：在菱形ABCD中：AC⊥BD，OA＝，OB＝，
∴∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，OA＝4cm，
∴AB＝＝5（cm），
菱形的面积S＝AC•BD＝AB•DH，
即×3×6＝5×DH，
解得DH＝4.8cm，故A正确．
故选：A．
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接AE，过点A作FA⊥AE交DP于点F；②PF＝EP+EB；③△BCF是等边三角形；⑤S△APF＝S△CDF．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②④⑤ D．①③⑤
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，
∵FA⊥AE，
∴∠BAE+∠BAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵BE⊥DP，
∴∠ABE+∠BPE＝90°，
又∵∠ADF+∠APD＝90°，∠BPE＝∠APD（对顶角相等），
∴∠ABE＝∠ADF，
∵在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），故①正确；
∴AE＝AF，BE＝DF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
过点A作AM⊥EF于M，则AM＝MF，
∵点P是AB的中点，
∴AP＝BP，
∵在△APM和△BPE中，
，
∴△APM≌△BPE（AAS），
∴BE＝AM，EP＝MP，
∴PF＝MF+PM＝BE+EP，故②正确；
∵BE＝DF，FM＝AM＝BE，
∴AM＝DF，
又∵∠ADM+∠DAM＝90°，∠ADM+∠CDF＝90°，
∴∠DAM＝∠CDF，
∵在△ADM和△DCF，
，
∴△ADM≌△DCF（SAS），
∴CF＝DM，∠ADF＝∠DCF，故④正确；
在Rt△CDF中，CD＞CF，
∵BC＝CD，
∴CF≠BC，
∴△BCF不是等边三角形，故③错误；
∵CF＝DM＝DF+FM＝EM+FM＝EF≠FP，
又∵AM＝DF，
∴S△APF＜S△CDF，故⑤错误；
综上所述，正确的有①②④．
故选：B．

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）已知a、b满足b＝+﹣3，则ba的值为 　9　．
【解答】解：∵2﹣a≥0，a﹣8≥0，
∴2﹣a＝4，
∴a＝2，
∴b＝﹣3，
∴ba＝（﹣5）2＝9．
故答案为：8．
12．（4分）某水果店销售价格为11元，18元，24元三种水果，可计算该店当月销售这三种水果的平均价格是 　15.3元　．
​

【解答】解：该店当月销售出水果的平均价格是11×60%+18×15%+24×25%＝15.3（元），
故答案为：15.3元．
13．（4分）若最简二次根式与可以合并，则a＝　1　．
【解答】解：根据题意得4+a＝3a+4，
解得a＝1．
故答案为：1．
14．（4分）如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB边的中点，AH⊥BC于点H，则HE等于 　16　．

【解答】解：∵D，F分别为BC，
∴DF是△ABC的中位线，
∴AC＝2DF＝32，
在Rt△AHC中，E为AC边的中点，
∴HE＝AC＝16，
故答案为：16．
15．（4分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，点E是AB的中点，在对角线上一点P，则PA+PE的最小值是 　　．

【解答】解：如图，连接EC，连接AC，值最小．

∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∵E是AB中点，
∴AE＝1，CE⊥AB，
∴CE＝，
∴AP+EP＝CE＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，点B落在点F处，折痕为AE，则AB的长为　6　．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝8，
∴BC＝8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE＝EF＝5，AB＝AF，
∴CE＝8﹣3＝2，
在Rt△CEF中，CF＝＝，
设AB＝x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC3，即（x+4）2＝x6+82，
解得x＝7，则AB＝6．
故答案为：6．
17．（4分）若二次根式有意义，且关于x的方程 ，则符合条件的整数m的乘积为 　﹣1　．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴4﹣m＞0，解得m＜3，
对于关于x的方程 ，
去分母得﹣m+2（x﹣1）＝6，
解得x＝，
∵x＞3且x≠1，
∴＞0且，
解得m＞﹣5且m≠﹣3，
∴m的范围为﹣3＜m＜3且m≠﹣3，
当x＝﹣4时，x＝；
当x＝﹣3时，x＝；
当m＝﹣8时，x＝2；
当m＝0时，x＝，
当m＝1时，x＝5，
当m＝2时，x＝，
∴满足条件的m的值为﹣1和1，
∴符合条件的整数m的乘积为﹣3．
故答案为：﹣1．
18．（4分）若一个两位数（a，b均为正整数目：1≤a≤9，1≤b≤9）等于其各位数字之和的k倍（k为整数），则称M为“开心数”，则24的开心指数为 　4　；若一个“开心数”N与其开心指数的8倍的差是14的正约数，则N的最大值为 　63　．
【解答】解：∵24＝（2+4）×7，
∴24的开心指数为4，
设“开心数”N的十位数字是a，个位数字是b，
开心指数为且k为整数，
∵“开心数”N与其开心指数的7倍的差是14的正约数，而14的正约数有1、2、7，
∴N﹣8k为1或2或7或14，
∴N的值为1+7k或2+8k或6+8k或14+8k，
∴k越大，N的值越大，
∴当k＝7时，N的值为73或74或79或86，
当k＝8时，N的值为65或66或71或78，
当k＝7时，N的值为57或58或63或70，
故，N的最大值为63．
故答案为：8，63．
三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，20-26题10分，共78分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝（﹣）×++
＝﹣+3+
＝3﹣+3+
＝3+3；
（2）原式＝4﹣6
＝14．
20．（10分）如图，∠C＝90°，AC＝12，AD＝8，BD＝17

【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝12，
∴AB2＝AC2+CB4，
∴AB＝15．
∵AD＝8，BD＝17，
∴DB2＝AD8+AB2，
∴∠DAB＝90°，
∴四边形ACBD的面积＝S△ABD+S△ABC＝AB•AD+×15×8+．
答：四边形ACBD的面积为96．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB
（1）用尺规完成以下基本作图：作线段AC的垂直平分线，分别交AD，BC于E，垂足为O，连接AF；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
（2）根据（1）所作图形，完成四边形AFCE是菱形的证明过程．
证明：∵平行四边形ABCD，
∴　AD∥BC　，
∴∠DAC＝∠BCA．
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，EA＝　EC　，FA＝FC．
∵在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴　AE＝CF　，
∴AE＝CE＝CF＝AF，
∴四边形AFCE是菱形（推理依据，　四条边均相等的四边形是菱形　）．

【解答】（1）解：如图，直线EF即为所求．

（2）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA．
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，EA＝EC．
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴AE＝CE＝CF＝AF，
∴四边形AFCE是菱形（四条边均相等的四边形是菱形）．
22．（10分）2022年3月28日是第27个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校八、九年级进行了校园安全知识竞赛，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级：A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：0≤x＜70），部分信息如下：
八年级20名学生的竞赛成绩为：30，40，50，60，60，70，70，70，72，78，85，90，93，100．
九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为：
80，80，80，82．
根据以上信息，解答下列问题：
八、九年级抽取学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
优秀率
八年
71
a
70
30%
九年级
71
80
b
c%
（1）请填空：a＝　70　，b＝　80　，c＝　55　；
（2）根据上述数据，你认为该校八、九年级的校园安全知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校八、九年级参加本次竞赛活动的共有1200人，请估计该校八、九两个年级共有多少人成绩为优秀．

【解答】解：（1）八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是70分，故众数a＝70；
九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为80，故中位数为b＝，
九年级的优秀率为×100%＝55%，
故答案为：70，80；
（2）九年级成绩相对更好，理由如下：
九年级测试成绩的众数、中位数和优秀率大于八年级；
（3）1200×＝510（人），
答：估计该校八、九两个年级大约共有510人成绩为优秀．
23．（10分）（1）已知，求x2﹣2x﹣3的值；
（2）当时，求的值．
【解答】解：（1）∵x＝+1，
∴x7﹣2x﹣3
＝（x﹣2）2﹣4
＝（+1﹣1）7﹣4
＝3﹣4
＝﹣1；
（2）∵a＝＝＝2﹣，
∴原式＝
＝
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣2﹣．
24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，F分别为OB，OD的中点，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AC＝2AB时，四边形EGCF是什么样的四边形？试说明理由．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，
∴BE＝OBOD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形
∵AC＝7OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
25．（10分）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，DE∥BC，且CD⊥BE，CD＝3，试求BC+DE的值．
小明发现，过点E作EF∥DC，交BC的延长线于点F，经过推理得到▱DCFE，再计算就能够使问题得到解决（如图②）　　，并写出推理和计算过程．
参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：
如图③，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，求∠AGF的度数．


【解答】解：∵DE∥BC，EF∥DC，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴EF＝CD＝3，CF＝DE，
∵CD⊥BE，
∴EF⊥BE，
∴BC+DE＝BC+CF＝BF＝＝＝，
故答案为：；

解决问题：连接AE，CE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∵四边形ABEF是矩形，
∴AB∥FE，BF＝AE．
∴DC∥FE．
∴四边形DCEF是平行四边形．
∴CE∥DF．
∵AC＝BF＝DF，
∴AC＝AE＝CE．
∴△ACE是等边三角形．
∴∠ACE＝60°．
∵CE∥DF，
∴∠AGF＝∠ACE＝60°．

26．（10分）已知，在正方形ABCD中，点E，连接BE、CF，并延长交于点G，H为CF上一点，连接BH、DH
（1）如图1，若H为CF的中点，且AF＝2DF，求线段AB的长；
（2）如图2，若BH＝BC，过点B作BI⊥CH于点IDG＝CG；
（3）如图2，在（1）的条件下，P为线段AD（包含端点A、D），连接CP，过点B作BQ⊥CP于点Q，N为直线AB上一动点，连接MN，直接写出AN+MN的最小值．


【解答】（1）解：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠CDF＝90°，
∵FH＝CH，
∴CF＝2DH＝6，
∵AF＝2DF，
∴CD＝AD＝3DF，
∵CF7＝DF2+CD2，
∴10＝DF8+9DF2，
∴DF7＝1，
∵DF＞0，
∴DF＝3，
∴AB＝AD＝3DF＝3；

（2）证明：如图4中，连接AG，AC．

∵BA＝BC，CH＝CB，
∴BA＝BH，
∵∠ABG＝∠HBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△HBG（SAS），
∴GA＝GH，∠AGB＝∠BGH，
∵BH＝BC，BI⊥CH，
∴∠CBI＝∠HBI，HI＝CI，
∵∠ABC＝90°，
∴∠GBI＝（∠ABH+∠HBC）＝45°，
∵∠BIG＝90°，
∴∠BGI＝∠BGA＝45°，
∴∠AGH＝90°，BI＝GI，
∴AH＝AG，
∵AC＝AD，
∴∠CAH＝∠GAD，
∵＝＝，
∴△CAH∽△DAG，
∴＝＝，
∴CH＝DG，
∴CI＝DG，
∴CG＝GI+IC＝BI+DG；

（3）如图2﹣1中，取BC的中点O．

∵BQ⊥CP，
∴∠BQC＝90°，
∵OB＝OC，
∴OQ＝BC＝，
∴点Q在以BC为直径的圆上运动，
当点P与A重合时，OQ⊥BC，如图8﹣2中，
延长CB到E，使得BE＝CB，过点N作NG⊥AE于点G．

∵BE＝BC＝BA，∠ABE＝90°，
∴∠EAB＝45°，
∴GN＝AN，
∵∠MBC＝∠MCB＝45°，
∴∠MBC＝∠EBH＝∠ABH＝45°，
∴MH⊥AE，
∴AN+MN＝NG+MN≥MH，
∴当点N与B重合，点G与H重合时，，最小值＝MH＝AC＝3．