江苏省南通市启东市南苑中学2022-2023学年八年级（上）第一次统一作业数学试卷(解析版)

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2022-2023学年江苏省南通市启东市南苑中学八年级第一学期第一次统一作业数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（　　）
A．4cm，5cm，6cm B．3cm，4cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm D．1cm，2cm，3cm
2．一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的每个外角为（　　）
A．50° B．60° C．45° D．120°
3．不能判定两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．两个锐角对应相等
B．两条直角边对应相等
C．斜边和一锐角对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
4．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，分别交BC，AB，BC于点C，D，E，则下列说法中不正确的是（　　）

A．AC是△ABC和△ABE的高 B．DE，DC都是△BCD的高
C．DE是△DBE和△ABE的高 D．AD，CD都是△ACD的高
5．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．如图所示，已知OA＝OB，OC＝OD，AD、BC相交于点E，则图中全等三角形共有（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
7．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中，与这100°角对应相等的角是（　　）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠B或∠C
8．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（　　）
A．PQ＜5 B．PQ＞5 C．PQ≥5 D．PQ≤5
9．如图，A在DE上，F在AB上，且AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（　　）

A．DC B．BC C．AB D．AE+AC
10．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，则下列结论中正确的个数（　　）
①CP平分∠ACF；
②∠ABC+2∠APC＝180°；
③∠ACB＝2∠APB；
④若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN＝AC．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
11．已知三角形两边的长分别为2、6，且该三角形的周长为奇数，则第三边的长为　 　．
12．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝12cm，AC＝9cm，△ACD的周长为27cm，则△ABD的周长为　 　cm．

13．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A＝60°，则∠BOC＝　 　．

14．如图，△ADE≌△BCF，AD＝6cm，CD＝5cm，则BD＝　 　．

15．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上DE⊥AB于点E，FD⊥BC交AC与点F．若∠AFD＝142°，则∠EDF＝　 　．

16．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边直角边（H．L．）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充条件：　 　．

17．如图，在△ABC中，E是AC上的一点，AE＝4EC，点D是BC的中点，且S△ABC＝15，则S1﹣S2＝　 　．

18．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为　 　．

三．解答题（共8小题）
19．已知一个多边形的内角和与外角和的差为1440°，求这个多边形的边数．
20．如图，DE分别与△ABC的边AB，AC交于点D，点E，与BC的延长线交于点F，∠B＝65°，∠ACB＝70°，∠AED＝42°，求∠BDF的度数．

21．如图，点A、D、C、B在同一条直线上，△ADF≌△BCE，∠B＝33°，∠F＝27°，BC＝5cm，CD＝2cm．求：
（1）∠1的度数．
（2）AC的长．

22．如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF．
（1）求证：BG＝CF．
（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．

23．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，∠A＝∠EDF＝60°．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠B＝100°，求∠F的度数．

24．在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．

25．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角
形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“三倍角三角形”．
（1）如果△ABC的两个内角分别为80°、75°，则△ABC　 　（填“是”或“不是”）“三倍角三角形”；
（2）如果一个直角三角形是“三倍角三角形”，则这个直角三角形三个角的度数分别
为　 　；
（3）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，点D为BC边上的一个动点（点D不与B、C重合），当△ABD是“三倍角三角形”时，求∠CAD的度数．

26．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．



参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（　　）
A．4cm，5cm，6cm B．3cm，4cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm D．1cm，2cm，3cm
【分析】不能搭成三角形的3根小木棒满足两条较小的边的和小于或等于最大的边．
解：A、4+5＞6，能构成三角形，不合题意；
B、3+4＞5，能构成三角形，不合题意；
C、2+3＞4，能构成三角形，不合题意；
D、1+2＝3，不能构成三角形，符合题意．
故选：D．
2．一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的每个外角为（　　）
A．50° B．60° C．45° D．120°
【分析】先由多边形的内角和和外角和的关系判断出多边形的边数，即可得到结论．
解：设多边形的边数为n．
因为正多边形内角和为（n﹣2）•180°，正多边形外角和为360°，
根据题意得：（n﹣2）•180°＝360°×2，
解得：n＝6．
∴这个正多边形的每个外角＝＝60°，
故选：B．
3．不能判定两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．两个锐角对应相等
B．两条直角边对应相等
C．斜边和一锐角对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
解：A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意；
B、符合判定SAS，故本选项正确，不符合题意；
C、符合判定AAS，故本选项正确，不符合题意；
D、符合判定HL，故本选项正确，不符合题意．
故选：A．
4．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，分别交BC，AB，BC于点C，D，E，则下列说法中不正确的是（　　）

A．AC是△ABC和△ABE的高 B．DE，DC都是△BCD的高
C．DE是△DBE和△ABE的高 D．AD，CD都是△ACD的高
【分析】三角形的高即从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．
解：A、AC是△ABC和△ABE的高，正确；
B、DE，DC都是△BCD的高，正确；
C、DE不是△ABE的高，错误；
D、AD，CD都是△ACD的高，正确．
故选：C．
5．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝72°，求出∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，求出∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，根据平行线的性质得出∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，推出∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°即可．
解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B，
∵∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，
∴∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°，
∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形，共5个，
故选：D．
6．如图所示，已知OA＝OB，OC＝OD，AD、BC相交于点E，则图中全等三角形共有（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】从已知条件入手，结合全等的判定方法，通过分析推理，一一进行验证，做到由易到难，不重不漏．
解：在△AOD和△BOC中，

∴△AOD≌△BOC（SAS）；
∴∠A＝∠B，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴AC＝BD，
在△CAE和△DBE中，

∴△CAE≌△DBE（AAS）；
∴AE＝BE，
在△AOE和△BOE中，

∴△AOE≌△BOE（SSS）；
在△OCE和△ODE中，

∴△OCE≌△ODE（SSS）．
故选：C．
7．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中，与这100°角对应相等的角是（　　）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠B或∠C
【分析】根据三角形的内角和等于180°可知，相等的两个角∠B与∠C不能是100°，再根据全等三角形的对应角相等解答．
解：在△ABC中，∵∠B＝∠C，
∴∠B、∠C不能等于100°，
∴与△ABC全等的三角形的100°的角的对应角是∠A．
故选：A．
8．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（　　）
A．PQ＜5 B．PQ＞5 C．PQ≥5 D．PQ≤5
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答．
解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，
∴点P到OB的距离为5，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥5．
故选：C．
9．如图，A在DE上，F在AB上，且AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（　　）

A．DC B．BC C．AB D．AE+AC
【分析】通过角的计算可得出∠B＝∠D、∠BCA＝∠DCE，再结合AC＝CE即可证出△ABC≌△EDC（AAS），由此即可得出DE＝BA，此题得解．
解：∵∠1＝∠2，∠AFD＝∠CFB，∠1+∠AFD+∠D＝180°＝∠2+∠CFB+∠B，
∴∠B＝∠D．
∵∠2＝∠3，∠DCE＝∠DCA+∠3，∠BCA＝∠2+∠DCA，
∴∠BCA＝∠DCE．
在△ABC和△EDC中，，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴DE＝BA．
故选：C．
10．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，则下列结论中正确的个数（　　）
①CP平分∠ACF；
②∠ABC+2∠APC＝180°；
③∠ACB＝2∠APB；
④若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN＝AC．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①作PD⊥AC于D，PM⊥BE于M，PN⊥BC于N．由角平分线的性质得出PM＝PN，PM＝PD，得出PM＝PN＝PD，即可得出①正确；
②首先证出∠ABC+∠MPN＝180°，证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），得出∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），得出∠CPD＝∠CPN，即可得出②正确；
③由角平分线和三角形的外角性质得出∠CAE＝∠ABC+∠ACB，∠PAM＝∠ABC+∠APB，得出∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由全等三角形的性质得出AD＝AM，CD＝CN，即可得出④正确；即可得出答案．
解：①作PD⊥AC于D，PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④∵Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴AD＝AM，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴CD＝CN，
∴AM+CN＝AD+CD＝AC，④正确；
故选：D．

二．填空题（共8小题）
11．已知三角形两边的长分别为2、6，且该三角形的周长为奇数，则第三边的长为　5或7　．
【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．可知第三边的取值范围是大于4而小于8，又根据周长为奇数得到第三边是奇数，则只有5和7．
解：第三边x的范围是：4＜x＜8．
∵该三角形的周长为奇数，
∴第三边长是奇数，
∴第三边是5或7．
故答案为：5或7．
12．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝12cm，AC＝9cm，△ACD的周长为27cm，则△ABD的周长为　30　cm．

【分析】利用中线定义可得BD＝CD，进而可得AD+DC＝AD+BD，然后再求△ABD的周长即可．
解：∵△ACD的周长为27cm，
∴AC+DC+AD＝27cm，
∵AC＝9cm，
∴AD+CD＝18cm，
∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴AD+BD＝18cm，
∵AB＝12cm，
∴AB+AD+BD＝30cm，
∴△ABD的周长为30cm，
故答案为：30，
13．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A＝60°，则∠BOC＝　120°　．

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等判断出点O是三个角的平分线的交点，再根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴点O是三个角的平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣60°）＝60°，
在△BCO中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
14．如图，△ADE≌△BCF，AD＝6cm，CD＝5cm，则BD＝　1cm　．

【分析】根据全等三角形的性质得出BC＝AD，再求出答案即可．
解：∵△ADE≌△BCF，AD＝6cm，
∴BC＝AD＝6（cm），
∵CD＝5cm，
∴BD＝BC﹣CD＝1（cm），
故答案为：1cm．
15．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上DE⊥AB于点E，FD⊥BC交AC与点F．若∠AFD＝142°，则∠EDF＝　52°　．

【分析】先根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠B＝∠C，利用等角的余角相等和已知角可求出∠EDB的数，从而可求得∠EDF的度数．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，
∴∠BED＝∠FDC＝90°，
∵∠AFD＝142°，
∴∠EDB＝∠CFD＝180°﹣142°＝38°，
∴∠EDF＝90°﹣∠EDB＝90°﹣38°＝52°．
故答案为：52°．
16．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边直角边（H．L．）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充条件：　BC＝EF　．

【分析】此题是一道开放型题目，根据直角三角形的全等判定解答即可．
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：BC＝EF
17．如图，在△ABC中，E是AC上的一点，AE＝4EC，点D是BC的中点，且S△ABC＝15，则S1﹣S2＝　4.5　．

【分析】根据三角形面积公式，利用AE＝AC得到S△BCE＝3，即S2+S△BDF＝3①，利用点D是BC的中点得到S△ABD＝7.5，即S1+S△BDF＝7.5②，然后把两式相减可得到S1﹣S2的值．
解：∵AE＝4EC，
∴AE＝AC，
∴S△BCE＝S△ABC＝×15＝3，
即S2+S△BDF＝3①，
∵点D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ABC＝×15＝7.5，
即S1+S△BDF＝7.5②，
∴②﹣①得S1﹣S2＝7.5﹣3＝4.5．
故答案为：4.5．
18．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为　18或70　．

【分析】设BE＝3t，则BF＝7t，使△AEG与△BEF全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况：
情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，列方程解得t，可得AG；
情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，列方程解得t，可得AG．
解：设BE＝3t，则BF＝7t，因为∠A＝∠B＝90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，
∵BF＝AE，AB＝60，
∴7t＝60﹣3t，
解得：t＝6，
∴AG＝BE＝3t＝3×6＝18；

情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，
∵BE＝AE，AB＝60，
∴3t＝60﹣3t，
解得：t＝10，
∴AG＝BF＝7t＝7×10＝70，
综上所述，AG＝18或AG＝70．
故答案为：18或70．
三．解答题（共8小题）
19．已知一个多边形的内角和与外角和的差为1440°，求这个多边形的边数．
【分析】已知一个多边形的内角和与外角和的差为1440°，外角和是360度，因而内角和是1800度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数n．
解：设此多边形的边数为n，则：
（n﹣2）•180＝1440+360，
解得：n＝12．
答：这个多边形的边数为12．
20．如图，DE分别与△ABC的边AB，AC交于点D，点E，与BC的延长线交于点F，∠B＝65°，∠ACB＝70°，∠AED＝42°，求∠BDF的度数．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据三角形外角的性质即可求解．
解：∵∠B＝65°，∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB
＝180°﹣65°﹣70°
＝45°，
又∵∠AED＝42°，
∴∠BDF＝∠A+∠AED
＝45°+42°
＝87°．
21．如图，点A、D、C、B在同一条直线上，△ADF≌△BCE，∠B＝33°，∠F＝27°，BC＝5cm，CD＝2cm．求：
（1）∠1的度数．
（2）AC的长．

【分析】（1）根据全等三角形的性质及三角形外角性质求解即可；
（2）根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
解：（1）∵△ADF≌△BCE，∠F＝27°，
∴∠E＝∠F＝27°，
∵∠1＝∠B+∠E，∠B＝33°，
∴∠1＝60°；
（2）∵△ADF≌△BCE，BC＝5cm，
∴AD＝BC＝5cm，
∵CD＝2cm，
∴AC＝AD+CD＝7cm．
22．如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF．
（1）求证：BG＝CF．
（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．

【分析】（1）求出∠C＝∠GBD，BD＝DC，根据ASA证出△CFD≌△BGD即可．
（2）根据全等得出BG＝CF，根据三角形三边关系定理求出即可．
【解答】（1）证明：∵BG∥AC，
∴∠C＝∠GBD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
在△CFD和△BGD中
，
∴△CFD≌△BGD，
∴BG＝CF．
（2）BE+CF＞EF，
理由如下：
∵△CFD≌△BGD，
∴CF＝BG，
在△BGE中，BG+BE＞EG，
∵△CFD≌△BGD，
∴GD＝DF，ED⊥GF，
∴EF＝EG，
∴BE+CF＞EF．
23．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，∠A＝∠EDF＝60°．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠B＝100°，求∠F的度数．

【分析】（1）利用全等三角形的判定定理解答即可；
（2）利用（1）的结论和三角形的内角和定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵AD＝CF，
∴AD+CD＝CF+CD，
∴AC＝DF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E＝100°．
∵∠A＝∠EDF＝60°，
∴∠F＝180°﹣∠EDF﹣∠E＝20°．
24．在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．

【分析】（1）根据题目中的条件和∠BED＝∠CFD，可以证明△BDE≌△CDF，从而可以得到DE＝DF；
（2）作辅助线，过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，从而可以得到△BDE≌△CDG，然后即可得到DE＝DG，BE＝CG，再根据题目中的条件可以得到△EDF≌△GDF，即可得到EF＝GF，然后即可得到EF，BE，CF具有的数量关系．
解：（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，
∴∠DBE＝∠DCF＝90°，
在△BDE和△CDF中，
∵
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
∴DE＝DF；
（2）EF＝FC+BE，
理由：过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（ASA），
∴DE＝DG，BE＝CG．
∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，
∴∠BDE+∠CDF＝60°．
∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，
∴∠EDF＝∠GDF．
在△EDF和△GDF中，
，
∴△EDF≌△GDF（SAS）．
∴EF＝GF，
∴EF＝FC+CG＝FC+BE．

25．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角
形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“三倍角三角形”．
（1）如果△ABC的两个内角分别为80°、75°，则△ABC　是　（填“是”或“不是”）“三倍角三角形”；
（2）如果一个直角三角形是“三倍角三角形”，则这个直角三角形三个角的度数分别
为　30°、60°、90°或22.5°、67.5°、90°　；
（3）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，点D为BC边上的一个动点（点D不与B、C重合），当△ABD是“三倍角三角形”时，求∠CAD的度数．

【分析】（1）由三角形内角和可求第3个内角为25°，由“三倍角三角形”定义可求解；
（2）分两种情况讨论，由“三倍角三角形”定义可求解；
（3）分三种情况讨论，由“三倍角三角形”定义可求解；
解：（1）∵△ABC的两个内角分别为80°、75°，
∴第3个内角为25°，
∵75°＝25°×3，
∴△ABC是“三倍角三角形”；
故答案为：是；
（2）设最小的角为x°，
当3x＝90°时，
∴x＝30°，
∴这个直角三角形三个角的度数分别为30°、60°、90°，
当另一个锐角是3x°，则x+3x＝90°，
∴x＝22.5°，
∴这个直角三角形三个角的度数分别为22.5°、67.5°、90°；
（3）①当∠BDA＝3∠B时，∠BDA＝90°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠CAD＝30°；
②当∠ABC＝3∠BAD时，
∴∠BAD＝10°，
∴∠DAC＝80°；
③∠BDA＝3∠BAD时，
∴∠BAD＝37.5°，
∴∠DAC＝52.5°，
综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．
26．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成GE，那么这样EF＝BE+DF了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键．三角形ABE和AEF中，只有一条公共边AE，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AFD中，已知了一组直角，BG＝DF，AB＝AD，因此两三角形全等，那么AG＝AF，∠1＝∠2，那么∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD．由此就构成了三角形ABE和AEF全等的所有条件（SAS），那么就能得出EF＝GE了．
（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明三角形ABG和ADF全等中，证明∠ABG＝∠ADF时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样．
（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．
【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．

∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴AG＝AF，∠1＝∠2．
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
又∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD

（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．

（3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．
证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD
＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．