2023年浙江省杭州市淳安县中考数学一模试卷　 (含答案)

这是一份2023年浙江省杭州市淳安县中考数学一模试卷　 (含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省杭州市淳安县中考数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列四个数中，最小的数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  苹果的单价为元千克，香蕉的单价为元千克，买千克苹果和千克香蕉共需(    )A. 元 B. 元 C. 元 D. 元3.  袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有，，和四种规格，小朦同学已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取(    )A.  B.  C.  D. 4.  九章算术中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱问：甲，乙两人各带了多少钱？设甲，乙两人持钱的数量分别为，，则可列方程组为(    )A.  B.
C.  D. 5.  某中学青年志愿者协会的名志愿者，一周的社区志愿服务时间如表所示： 时间人数关于志愿者服务时间的描述正确的是(    )A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是6.  在中，，、、所对的边分别是、、则下列各式中，正确的是(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知一次函数，其中的值随的值增大而减小，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 8.  如图，矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值是(    )A.
B.
C.
D. 9.  已知点、是二次函数图象上的两个点，若当时，随的增大而减小，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 10.  如图，是的直径，是的平分线交于点，过作的切线交的延长线于点若，，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.  计算： ______ ．12.  一组数据：，，，，则这组数据的方差是______ ．13.  如图，菱形中，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，分别交边，于点，若，，则图中阴影部分的面积为______ 结果不取近似值
14.  如图，在中，，若，则______．
 15.  已知函数与自变量的部分对应值如表： 下列命题：若是的反比例函数，则；若是的一次函数，则；若是的二次函数，且图象开口向下，则其中正确的是______ 填写正确的序号16.  如图，在矩形中，，点、分别在、边上，沿将四边形翻折得到四边形，且点落在边上，交于点若，则的长为______ ．
 三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
用消元法解方程组时，两位同学的消元方法如下：
小吴解法：由，得．
小严解法：由，得
把代入，得．
上述两位同学的消元过程是否有误，请判断．
请选择一种你喜欢的方法，解出方程组．18.  本小题分
千岛湖某学校想知道学生对“大下姜”，“沪马公园”，“月光之恋”等旅游景点的了解程度，随机抽查了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项每位被调查的学生必须且只能选一项：不知道，了解较少，了解较多，十分了解将问卷调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
本次调查了多少名学生？
根据调查信息补全条形统计图；
该校共有名学生，请你估计“十分了解”的学生共有多少名？
在被调查“十分了解”的学生中，有四名同学普通话较好，他们中有名男生和名女生，学校想从这四名同学中任选两名同学，做家乡旅游品牌的宣传员，请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．
 19.  本小题分
如图，在方格子中，有一条线段，两个端点在格点上，请利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
如图中，在线段上作出一点，使得；
如图中，在线段上作出一点，使得．
20.  本小题分
已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交．
判断是否经过点．
若的图象过点，且．
求的函数表达式．
当时，比较，的大小．21.  本小题分
如图所示，的顶点，在上，顶点在外，边与相交于点，，连接、，已知．
求证：直线是的切线；
若线段与线段相交于点，连接．
求证：∽；
若，求的半径的长度．
22.  本小题分
设二次函数是常数，．
若，求该函数图象的顶点坐标．
若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
若二次函数图象经过，两点，当，时，，求证：．23.  本小题分
如图，在菱形中，，是对角线上一点是线段延长线上一点，且，连接．
如图，若是线段上任意一点，连接，，，求证：≌．
在第题的前提下，求证：．
如图，若是线段延长线上一点，其他条件不变，且，求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，
，
四个数中，最小的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，由此即可判断．
本题考查有理数的大小比较，关键是掌握理数的大小比较法则．
 2.【答案】 【解析】解：根据题意得：买千克苹果和千克香蕉共需元．
故选：．
用买千克苹果的钱数加上千克香蕉的钱数即可．
此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：设第三根木棍的长为，
则，即，
第三根木棍不可能取，
故选：．
根据三角形的三边关系求出第三根木棍的长的范围，判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱，
；
如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：这组数据的众数是和，中位数是，平均数为，
则方差为，
故选：．
根据众数、中位数、平均数及方差的定义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数及方差的定义．
 6.【答案】 【解析】解：在中，，、、所对的边分别是、、，
，
故选：．
根据锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：一次函数，其中的值随的值增大而减小，
，
，
故选：．
根据一次函数的增减性可知，进一步求解即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：如图，连接，

于点，于点，
，
四边形是矩形，
，，，
四边形是矩形，
，
由勾股定理得：，
当时，最小，则最小，
此时，，
，
的最小值为，
故选：．
连接，先证四边形是矩形，得，再由勾股定理得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：点、是二次函数图象上的两个点，
该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上，
当时，随的增大而减小，
该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧，
，
解得，
故选：．
首先根据点、是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，随的增大而减小，可得，据此即可求解．
本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧是解决本题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：如图，连接、，与交于点．
是直径，
，
平分，
，
，
是切切线，
，
，
，
，，
，
，
在中，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接、，与交于点首先证明，再证明，求出、即可解决问题．
本题考查了切线的性质，含角的直角三角形性质的应用，能求出、是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．
 11.【答案】 【解析】解：．
确定最简公分母为，通分后计算即可．
本题考查了分式的加减运算，解决本题首先应通分；题目不难，主要考查运算方法．
 12.【答案】 【解析】解：数据的平均数为，
所以数据的方差为．
故答案为：．
先计算出数据的平均数，然后根据方差公式计算数据的方差即可．
本题考查方差：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差
 13.【答案】 【解析】解：如图，连接交于点，则，

四边形是菱形，，
，，
在中，，，
，，


，
故答案为：．
根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算方法求出扇形的面积，可得答案．
本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法以及菱形的性质是正确解答的前提．
 14.【答案】 【解析】解：过点作于点，

，，
，，
，
．
在中，由勾股定理得
，
．
故答案为：．
先过点作于点，求得，故再在中，由勾股定理得的长，利用锐角三角函数的定义，求得．
求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角或余角的三角函数关系式求三角函数值．
 15.【答案】 【解析】解：若是的反比例函数，则，
解得，，则，故正确；
若是的一次函数，设为，
把，；，代入得：，
解得，
，
当时；时，
，，
，故正确；
若是的二次函数，设解析式为，
函数经过点和，，，
，，
得，
得，
得，
代入得，，
，
当时，不一定大于；
故错误；
故答案为：．
根据反比例函数系数的几何意义即可判断；求得一次函数的解析式，分别求得、的值即可判断；根据二次函数的性质即可判断．
本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的图象及性质；掌握二次函数的性质是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：由折叠的性质得：，
，
，
，
过作于，如图所示：

则，四边形是矩形，
，，
由得：，
，
，
四边形是矩形，
，，
∽，
，
，
过作，交的延长线于，如图所示，

由折叠的性质得：，，
，
，，
，
，
，

，
设，则，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：或舍去，
，，
，
，
．
故答案为：．
由折叠的性质得出，过作于，证∽，得，可得，过作，交的延长线于，由折叠的性质得，，再证出，则，设，则，，，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了矩形的判定与性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、翻折变换的性质以及勾股定理是解题的关键．
 17.【答案】解：上述两个解题过程中，小吴的消元过程有误；

，
由，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以原方程组的解是． 【解析】根据已知步骤得出答案即可；
由得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 18.【答案】解：人，
答：本次调查了人．
组人数为：人，
补全条形图如图所示：

“十分了解”人数为：人；
树状图如下：

共有种等可能情况，其中被选中的两人恰好是一男一女有种．
所以，所选两人恰好是一男一女的概率为． 【解析】根据组人数以及百分比计算即可解决问题；
求出组人数，画出条形图即可解决问题；
用“十分了解”所占的比例即可；
先画出树状图，继而根据概率公式可求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．
此题考查条形统计图和扇形统计图相关联，由样本估计总体，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
 19.【答案】解：如图：

点即为所求；
点即为所求． 【解析】根据平行四边形的对角线互相平分；
根据相似三角形的性质作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
 20.【答案】解：点满足反比例函数的关系式，
因此经过点．
把代入一次函数得，，
又，
解得：，，
的函数表达式为．
由函数的图象可知：当时，，当时，． 【解析】把点的坐标代入反比例函数的关系式，若满足，点在图象上，否则不在函数的图象上，
把代入一次函数的关系式，得到一个方程，再与联立方程组求出、的值，确定函数关系式，
根据图象交点坐标以及函数的增减性进行判断，当自变量在不同取值范围时，两个函数的值的大小不同，
考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用的方法，也是最基本的方法．
 21.【答案】证明：，
，
，
，
，
又是的半径，
直线是的切线；
证明：由知，
，
是等腰直角三角形，
，
，
∽；
解：由知：∽，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
的半径的长度是． 【解析】由，得，又，可得，即得直线是的切线；
由，，可得，即知∽；
由∽，得，又，可得，从而，即的半径的长度是．
本题考查圆的综合应用，涉及三角形相似的判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，圆的切线等知识，解题的关键是掌握切线的判定定理及圆的相关性质．
 22.【答案】解：当时，二次函数，
顶点坐标为；
当时，，因此不过点，
当时，，因此不过点，
故抛物线过点，代入得，，
，抛物线的关系式为；
二次函数是常数，的图象与轴交于点，，
函数图象的对称轴为直线，
当时，函数图象开口向上，当，时，，
，
，
解得，舍去；
当时，函数图象开口向下，时，，
，
，，
，
，
．
故． 【解析】当时，二次函数，即可求出顶点坐标；
先判断抛物线过点，代入解析式即可求得，从而求得抛物线的解析式；
分和两种情况，根据二次函数的增减性和已知条件列出的不等式便可求得结果．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，待定系数法，关键是根据题意正确列出的不等式．
 23.【答案】证明：四边形是菱形，，
，，，
，是等边三角形，
，
，
在和中，
，
≌．
证明：，，
是等边三角形，
，
，
，，
≌，
，
≌，
，，
，
是等边三角形，
，
．
解：如图，点是线段延长线上一点，
，，，
≌，
，
，
∽，
，
，
作于点，设，，则，
，
解关于的方程得，不符合题意，舍去，
，
，，
，，
，
，
的值是． 【解析】由菱形的性质得，，，则，是等边三角形，所以，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌；
由，，得是等边三角形，则，可证明≌，得，再证明是等边三角形，则，所以；
先证明≌，得，由，证明∽，得，则，作于点，设，，则，所以，解关于的方程，求得，而，，所以，即可求得．
此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．