2023年浙江省杭州市桐庐县中考数学一模试卷 (含答案)

这是一份2023年浙江省杭州市桐庐县中考数学一模试卷 (含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省杭州市桐庐县中考数学一模试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）下列选项中的运算正确的是（　　）
A．2×（﹣3）＝6 B．|﹣2|＝﹣2 C． D．0﹣2＝﹣2
2．（3分）如图数轴上的A、B、C、D四点所表示的数分别为a、b、c、d，且O为原点．根据图中各点的位置判断，下列何者的值最小？（　　）

A．|a| B．|b| C．|c| D．|d|
3．（3分）随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高，我国企业已经实现7纳米量产，0.000007用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣6 B．7×10﹣5 C．0.7×10﹣5 D．0.07×10﹣4
4．（3分）方方同学五次“立定跳远”的测试成绩分别6分，8分，9分，9分，对这些数据分析正确的是（　　）
A．平均数是9 B．中位数是8 C．众数是9 D．方差是6
5．（3分）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（3分）已知实数a≤b≤c，则（　　）
A．a+c≤2b B．a+b≥2c C．a+b≤2c D．b≤a+c
7．（3分）若＝2，＝3（　　）
A．13 B．17 C．24 D．40
8．（3分）如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，P是上一点（不与A，B重合），设∠POB＝α，则点P的坐标是（　　）

A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα）
C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）
9．（3分）如图，点A，B是半径为2的⊙O上的两点，则下列说法正确的是（　　）

A．圆心O到AB的距离为
B．在圆上取异于A，B的一点C，则△ABC面积的最大值为2
C．取AB的中点C，当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线长为π
D．以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积为
10．（3分）坐标平面上有一水平线L与二次函数y＝a（x+7）2﹣10的图形，其中a为一正数，且L与二次函数图象相交于A、C两点，其位置如图所示．若AB：BC＝5：1，则AC的长度为何？（　　）

A．17 B．19 C．21 D．24
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：x2﹣16＝　 　．
12．（4分）已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，则2a+b的值为 　 　．
13．（4分）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为 　 　．
​

14．（4分）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇 形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是 　 　．
15．（4分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，则＝　 　．
16．（4分）如图，已知点A是一次函数图象上一点，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC（x＞0）的图象过点B，C，若△OAB的面积为6　 　．

三、解答题（本题有7小题，共66分）
17．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝
18．（8分）“端午节”是我国的传统节日，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的猪肉馅粽、豆沙馅粽、蛋黄馅粽、蜜枣馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
​
请根据以上信息回答：
（1）爱吃A粽的人数的百分比是多少？
（2）若居民区有6000人，请估计爱吃C粽的人数；
（3）若有外型完全相同的A、B、C、D粽子各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法
19．（8分）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AC，点D在BC边上，∠BAD＝∠CAE
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）如果AE∥BC，DA＝DC，连结CE．
求证：四边形ADCE是菱形．

20．（10分）已知：一次函数y1＝x﹣2﹣k与反比例函数．
（1）当k＝1时，x取何值时，y1＜y2；（直接写出结果）
（2）请说明：当k取任何不为0的值时，两个函数图象总有交点．
21．（10分）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与AD边相交于点E
（1）求：．
（2）如图2，连结CE并延长，与BA延长线相交于点F2．
（3）在（2）条件下，连结DF，求△DEF的面积．
​​
22．（12分）二次函数y1＝a（x﹣2）2﹣2a（a≠0）的图象与y轴的交点为（0，1）．
（1）求a的值．
（2）求二次函数在x轴上截得的线段长的值．
（3）对于任意实数k，规定：当﹣2≤x≤1时，关于x的函数y2＝y1﹣kx的最小值记作：y3．求y3的解析式．
23．（12分）如图1，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC交DE于点P．
（1）求证：AC•PE＝AP•BC．
（2）连结OC、AD，若AD∥OC，求证：PE＝PD．
（3）如图2，连结CD，若CD是⊙O的切线


2023年浙江省杭州市桐庐县中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）下列选项中的运算正确的是（　　）
A．2×（﹣3）＝6 B．|﹣2|＝﹣2 C． D．0﹣2＝﹣2
【解答】解：A、2×（﹣3）＝﹣8；
B、|﹣2|＝2；
C、×（﹣2）＝﹣3；
D、0﹣2＝﹣6故D符合题意；
故选：D．
2．（3分）如图数轴上的A、B、C、D四点所表示的数分别为a、b、c、d，且O为原点．根据图中各点的位置判断，下列何者的值最小？（　　）

A．|a| B．|b| C．|c| D．|d|
【解答】解：∵a表示的点A到原点的距离最近，
∴|a|最小，
故选：A．
3．（3分）随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高，我国企业已经实现7纳米量产，0.000007用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣6 B．7×10﹣5 C．0.7×10﹣5 D．0.07×10﹣4
【解答】解：0.000007＝7×10﹣4．
故选：A．
4．（3分）方方同学五次“立定跳远”的测试成绩分别6分，8分，9分，9分，对这些数据分析正确的是（　　）
A．平均数是9 B．中位数是8 C．众数是9 D．方差是6
【解答】解：平均数为＝8，不符合题意；
把这5个数从小到大排列为8、8、8、7、9，排在最中间的数是8，故B选项说法正确；
众数是7或9，故C选项说法错误；
方差为×[（6﹣8）4+2×（8﹣2）2+2×（2﹣8）2]＝2.2，故D选项说法错误．
故选：B．
5．（3分）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：设这个多边形的边数为x．
由题意得，180°（x﹣2）＝360°×3．
∴x＝8．
∴这个多边形的边数为8．
故选：D．
6．（3分）已知实数a≤b≤c，则（　　）
A．a+c≤2b B．a+b≥2c C．a+b≤2c D．b≤a+c
【解答】解：∵a≤b≤c，
即：a≤c，b≤c，
∴a+b≤2c，
故：答案选C．
7．（3分）若＝2，＝3（　　）
A．13 B．17 C．24 D．40
【解答】解：∵＝＝2，
∵＝＝3，
∴a+b＝11+8＝17．
故选：B．
8．（3分）如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，P是上一点（不与A，B重合），设∠POB＝α，则点P的坐标是（　　）

A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα）
C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）
【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，
在Rt△OPQ中，OP＝1，
∴sinα＝，cosα＝，OQ＝cosα，
则P的坐标为（cosα，sinα），
故选：C．

9．（3分）如图，点A，B是半径为2的⊙O上的两点，则下列说法正确的是（　　）

A．圆心O到AB的距离为
B．在圆上取异于A，B的一点C，则△ABC面积的最大值为2
C．取AB的中点C，当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线长为π
D．以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积为
【解答】解：如图①，OH⊥AB于H，
∴AH＝AB＝＝，
∵OA＝2，
∴OH＝＝1，
故A不符合题意；
如图①延长HO交圆于C，此时△ABC的面积最大，
∵CH＝OC+OH＝2+5＝3，AB＝2，
∴△ABC的面积＝AB•CH＝5，
故B不符合题意；
取AB的中点C，连接OC，OB，
∵OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴OC＝＝＝1，
∴当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线是以O为圆心半径是2的圆，
∴C运动的路线长是2π×1＝5π，
故C不符合题意；
如图②四边形ABNM是正方形，连接AQ，作OK⊥AB于K，
∴△OAB的面积＝AB•OK＝×6＝，
∵OP＝OQ＝OA＝OB，
∴△OAP的面积＝△OAB的面积＝△OBQ的面积＝，
∵∠POQ＝120°，
∴扇形OPQ的面积＝＝π，
∴以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积＝扇形OPQ的面积+△OAB的面积×3＝，
故D符合题意．
故选：D．

10．（3分）坐标平面上有一水平线L与二次函数y＝a（x+7）2﹣10的图形，其中a为一正数，且L与二次函数图象相交于A、C两点，其位置如图所示．若AB：BC＝5：1，则AC的长度为何？（　　）

A．17 B．19 C．21 D．24
【解答】解：设对称轴与AC交于点D．
∴AD＝DC，
∵y＝a（x+7）2﹣10．
∴对称轴x＝﹣3．
BD＝7．
∵AB：BC＝5：8．
∴AD：DB：BC＝3：2：2
∴AC＝3BD＝21．

故选：C．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：x2﹣16＝　（x+4）（x﹣4）　．
【解答】解：x2﹣16＝（x+4）（x﹣3）．
故答案为：（x+4）（x﹣4）．
12．（4分）已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，则2a+b的值为 　6+　．
【解答】解：（x﹣2）2＝5，
x﹣2＝±，
解得x3＝2+．x2＝2﹣，
∵方程（x﹣7）2＝3的两根为a、b，且a＞b，
∴a＝7+，b＝2﹣，
∴2a+b＝2（3+）+2﹣．
故答案为：6+．
13．（4分）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为 　224　．
​

【解答】解：设展开图的长方形的长为a，宽为b，
12＝3b，2b+a＝22，
解得a＝14，b＝6，
∴长方体的体积为：4×4×14＝224．
故答案为：224．
14．（4分）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇 形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是 　210°　．
【解答】解：∵圆的周长为2π×6＝12π，
∴另一个扇形的弧长为12π﹣3π＝7π，
设另一个扇形的圆心角为n°，
根据弧长公式得＝5π，
解得n＝210，
即另一个扇形的圆心角度数为210°．
故答案为：210°．
15．（4分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，则＝　　．
【解答】解：如图，在AB右侧作∠BAD＝∠B，

∴BD＝AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝36°，
∴∠BAD＝∠B＝36°，
∵∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝72°，∠ADC＝∠BAD+∠B＝72°，
∴∠DAC＝∠ADC＝72°，
∴AC＝CD，
设AB＝AC＝5，AD＝x（x＞0），
则CD＝1，BD＝x，
∵∠ABC＝∠DBA，∠ACB＝∠DAB，
∴△ABC∽△DBA，
∴，即，
∴x8+x﹣1＝0，
解得：x＝或，
∵x＞2，
∴x＝，
∴＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，已知点A是一次函数图象上一点，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC（x＞0）的图象过点B，C，若△OAB的面积为6　2　．

【解答】解：如图，过C作CD⊥y轴于D．
∵AB⊥x轴，
∴CD⊥AB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BE＝AE＝CE，
设AB＝2a，则BE＝AE＝CE＝a，
设A（x，x），x+2a），x+a），
∵B，C在反比例函数的图象上，
∴x（x+2a）＝（x+a）（，
解得x＝2a，
∵S△OAB＝AB•DE＝，
∴2a2＝7，
∴a＝，
∴AB＝2a＝8．
故答案为：2．

三、解答题（本题有7小题，共66分）
17．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝+3时＝．
18．（8分）“端午节”是我国的传统节日，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的猪肉馅粽、豆沙馅粽、蛋黄馅粽、蜜枣馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
​
请根据以上信息回答：
（1）爱吃A粽的人数的百分比是多少？
（2）若居民区有6000人，请估计爱吃C粽的人数；
（3）若有外型完全相同的A、B、C、D粽子各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法
【解答】解：（1）调查的人数为60÷10%＝600（人），
爱吃A粽的人数的百分比为×100%＝30%．
（2）爱吃C粽的人数的百分比为1﹣30%﹣10%﹣40%＝20%，
6000×20%＝1200（人）．
∴爱吃C粽的人数约为1200人．
（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中他吃到C粽的结果有：AC，CA，CD，共6种，
∴他吃到C粽的概率为＝．
19．（8分）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AC，点D在BC边上，∠BAD＝∠CAE
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）如果AE∥BC，DA＝DC，连结CE．
求证：四边形ADCE是菱形．

【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+CAD，即∠BAC＝∠DAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠ACB＝，∠ADE＝∠E＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠E，
∴△ABC∽△ADE；
（2）证明：如图，

∵AE∥BC，
∴∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF，
由（1）可知，∠DCF＝∠ADF＝∠AEF，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵DA＝DC，
∴AF＝CF，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴AE＝CD，
∵AE∥CD，AE＝CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵DA＝DC，
∴平行四边形ADCE为菱形．
20．（10分）已知：一次函数y1＝x﹣2﹣k与反比例函数．
（1）当k＝1时，x取何值时，y1＜y2；（直接写出结果）
（2）请说明：当k取任何不为0的值时，两个函数图象总有交点．
【解答】解：（1）k＝1时，y1＝x﹣2，y2＝，
由得或，
∴两个函数图象的交点坐标为（2，﹣2）或（2；
图象大致如图：

由图可得：当x＜7或1＜x＜2时，y3＜y2；
（2）由得x﹣2﹣k＝，
∴x3﹣（k+2）x+2k＝2，
关于x的一元二次方程的判别式Δ＝（k+2）2﹣6k＝k2﹣4k+3＝（k﹣2）2，
∵（k﹣5）2≥0，
∴Δ≥5，即x2﹣（k+2）x+6k＝0总有实数解，
∴两个函数图象总有交点．
21．（10分）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与AD边相交于点E
（1）求：．
（2）如图2，连结CE并延长，与BA延长线相交于点F2．
（3）在（2）条件下，连结DF，求△DEF的面积．
​​
【解答】（1）解：如图1中，过点A作AH⊥BE于点H．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°，
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE＝∠EBC＝∠AEB＝30°，
∴AB＝AE，
∵AH⊥BE，
∴BH＝EH，
∵cos∠ABH＝＝，
∴＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BF∥CD，AB＝CD，
∵AB＝AE，
∴AE＝CD，
∵AF∥CD，
∴△AFE∽△DCE，
∴＝，
∴CD2＝AF•DE；
（3）解：连接DF，过点F作FH⊥AE于点H．

∵AD∥BC，
∴∠FAH＝∠ABC＝60°，
∴FH＝AF•cos60°＝AF，
∵CD＝4，
∴AF•DE＝CD5＝16，
∵S△DEF＝•DE•FH＝．
22．（12分）二次函数y1＝a（x﹣2）2﹣2a（a≠0）的图象与y轴的交点为（0，1）．
（1）求a的值．
（2）求二次函数在x轴上截得的线段长的值．
（3）对于任意实数k，规定：当﹣2≤x≤1时，关于x的函数y2＝y1﹣kx的最小值记作：y3．求y3的解析式．
【解答】解：（1）∵二次函数y1＝a（x﹣2）5﹣2a（a≠0）的图象与y轴的交点为（5，1），
∴1＝a（6﹣2）2﹣7a，
解得a＝，
∴a的值为；
（2）由（1）知，a＝，
∴y1＝（x﹣2）2﹣6×＝（x﹣2）4﹣1，
令y1＝7，则（x﹣5）2﹣1＝2，
解得x1＝2+，x2＝2﹣，
∴|x1﹣x2|＝5，
答：二次函数在x轴上截得的线段长的值为2；
（3）∵y1＝（x﹣2）2﹣4，
∴y2＝y1﹣kx＝（x﹣2）6﹣1﹣kx＝x2﹣（k+2）x+3，
∴对称轴为x＝k+2，
当k+2＜﹣8即k＜﹣4时，当x＝﹣2时，y3有最小值，
∴y3＝×（﹣2）2﹣（k+7）×（﹣2）+1＝4k+7；
当﹣2≤k+5≤1时，即﹣4≤k≤﹣4，y2有最小值，
∴y3＝×（k+2）7﹣（k+2）2+7＝﹣（k+4）2+1；
当k+2＞1即k＞﹣1时，当x＝8时，y2有最小值，
∴y3＝×1﹣（k+8）×1+1＝﹣k﹣．
综上所述，y3的解析式为y2＝．
23．（12分）如图1，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC交DE于点P．
（1）求证：AC•PE＝AP•BC．
（2）连结OC、AD，若AD∥OC，求证：PE＝PD．
（3）如图2，连结CD，若CD是⊙O的切线

【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴BC⊥AB，
∵DE⊥AB于点E，AC交DE于点P，
∴PE∥BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴＝，
∴AC•PE＝AP•BC．
（2）如图1，延长AD，
∵AD∥OC，
∴＝＝1，
∵PE∥CB，
∴△APE∽△ACB，
∴＝，
∵PD∥CF，
∴△APD∽△ACF，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝7，
∴PE＝PD．
（3）如图2，连结AD并延长AD，连结BD、OC，
∵CB、CD都是⊙O的切线，
∴CB＝CD，∠OCB＝∠OCD，
∴OC⊥BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AG⊥BD，
∴AG∥OC，
∴＝＝1，
∵PE∥CB，
∴△APE∽△ACB，
∴＝，
∵PD∥CG，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝8，
∴PE＝PD．