数学19.3 矩形 菱形 正方形评课ppt课件

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菱形的定义及其性质菱形的判定
1.定义  有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 .
特别提醒1. 菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等.二者必须同时具备，缺一不可 .2. 菱形的定义既是菱形的基本性质，又是菱形的基本判定方法.
特别提醒： (1)菱形的性质可以用来证明线段相等，角相等，直线平行、垂直以及进行相关的计算 .(2)菱形的性质与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线长一半的平方和 .(3)如果菱形的一个内角为 60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形 .(4)菱形的面积 = 底 × 高 = 两条对角线长乘积的一半 .
3. 矩形与菱形的区别(1)矩形和菱形都建立在平行四边形的基础上，矩形是附加一直角，而菱形是附加一组邻边相等；(2)矩形的两条对角线把矩形分割成四个面积相等的等腰三角形；而菱形的两条对角线把菱形分割成四个全等的直角三角形；(3)矩形的对称轴是两条过两组对边中点的直线，而菱形的对称轴是两条对角线所在的直线 .
[ 期末改编·东至县 ] 如 图 19.3 － 19， △ ABC 中， DE ∥BC， EF ∥ AB， BE 平分∠ ABC，则四边形 DBFE 是菱形吗？为什么？
解题秘方：紧扣定义中“两个条件”进行判断 .
解法提醒菱形的定义既是菱形的性质，又是菱形的一种判定方法 .在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，先判定这个四边形是平行四边形，再证一组邻边相等 .
解： 四边形 DBFE 是菱形，理由：∵ DE ∥ BC，∴∠ DEB= ∠ EBC，∵ BE 平分∠ ABC，∴∠ EBC= ∠ EBD，∴∠ EBD= ∠ DEB，∴ BD=DE，∵ DE ∥ BC， EF ∥ AB，∴四边形 DBFE 是平行四边形，∵ BD=DE，∴四边形 DBFE 是菱形．
如图 19.3－20，在菱形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD上的点，且∠ B= ∠ EAF=60°，∠ BAE=18°，求∠ CEF 的度数 .
特别提醒在菱形中如果出现 “30°”“60°”“120°”“一边等于较短对角线”时，往往都指向等边三角形，我们需用等边三角形的知识来解决 .
解：如图 19.3－20，连接 AC.∵四边形 ABCD 是菱形，∠ B=60°，∴ AB=BC=CD=DA，∠ D= ∠ B=60°，∴△ ABC 和△ ACD 为等边三角形，
解题秘方：紧扣菱形的性质、三角形外角的性质求解 .
技巧点拨在求有关菱形的角的问题时，由于菱形的每条对角线都把菱形分成两个全等的等腰三角形，因此通常通过连接对角线，把四边形问题转化为特殊三角形问题来解答 .
∴ AB=AC，∠ B= ∠ ACF= ∠ BAC=60° .∵∠ EAF=60°，∴∠ BAE= ∠ CAF，∴△ ABE ≌△ ACF(ASA)，∴ AE=AF.又∵∠ EAF=60°，∴△ EAF 是等边三角形，∴∠ AEF=60° .∵∠ AEC= ∠ B+ ∠ BAE= ∠ AEF+ ∠ CEF，∴ 60° +18° =60° + ∠ CEF，∴∠ CEF=18° .
解法提醒(1)只要证明四边形OCED是矩形即可；(2)在 Rt △ ACE中，利用勾股定理即可解决问题 .
解题秘方：本题考查菱形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)求证： OE=CD；
(2)若菱形 ABCD 的边长为 6，∠ ABC=60°，求 AE的长．
1. 判定定理 1  四边都相等的四边形是菱形 .数学语言： 如图19.3 － 22，在四边形 ABCD 中，∵ AB=BC=CD=DA，∴四边形 ABCD 是菱形 .
2. 判定定理 2  对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .数学语言：如图 19.3 － 23，在 ABCD 中，∵ AC ⊥ BD，∴ ABCD 是菱形 .
[ 中考·滨州 ] 如图 19.3－24， 过 ABCD 对角线 AC 与BD 的交点 E 作两条互相垂直的直线，分别交边 AB， BC， CD，DA 于点 P， M， Q， N.
解法点拨证明一个四边形是菱形的方法：若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要考虑证明这个四边形是平行四边形，用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行证明.
解题秘方：本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ EB=ED， AB ∥ CD， ∴∠ EBP= ∠ EDQ，∵∠ BEP= ∠ DEQ，∴△ PBE ≌△ QDE(ASA)；
(1)求证：△ PBE ≌△ QDE；
证明：由(1)得△ PBE ≌△ QDE，∴ EP=EQ，同理可得△ BME ≌△ DNE( ASA)，∴ EM=EN，∴四边形 PMQN 是平行四边形，∵ PQ ⊥ MN，∴平行四边形 PMQN 是菱形．
(2)顺次连接点P， M， Q， N，求证：四边形 PMQN是菱形．
如图 19.3－25， 在四边形 ABCD 中， AB=CD， 点E， F， G， H 分别是 AD， BD， BC， AC 的中点 . 试证明：四边形 EFGH 是菱形 .
解题秘方：紧扣题中中点条件与线段相等这一特征，从证四边相等入手判定菱形 .
技巧点拨判定菱形的方法：1. 若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分；2. 若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等 .