四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高二理科数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2022～2023学年度下期高中2021级期中联考

理科数学

考试时间120分钟，满分150分

注意事项：

1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量加法的运算法则求解即可．

【详解】，

故选：B．

2. 函数的导函数为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用求导公式及导数运算法则求解作答.

【详解】函数，求导得.

故选：D

3. 若可导函数满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据导数定义可直接得到结果.

【详解】由导数的定义知：.

故选：C.

4. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面平行，则实数的值为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】依题意可得，即可得到，从而得到方程，解得即可.

【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，

若直线与平面平行，则，即，即，解得.

故选：C．

5. 若定义在上的函数的导数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A. 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增

B. 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减

C. 函数在处取极大值，无极小值

D. 函数在处取极大值，无极小值

【答案】A

【解析】

【分析】根据导函数的正负可确定单调性，结合极值点定义可确定正确选项.

【详解】对于AB，由图象可知：当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，A正确，B错误；

对于CD，由单调性可知：在处取得极小值，无极大值，CD错误.

故选：A.

6. 若函数在点处的切线斜率为1，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求出，由已知得 列出方程，求解即可．

【详解】因为，

所以在点处的切线斜率为，解得，

故选：D．

7. 若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】令，将问题转化为，利用导数可求得单调性，从而得到，解不等式即可求得结果.

【详解】令，则恒成立，；

，当时，；当时，；

上单调递减，在上单调递增，

，解得：，即的取值范围为.
故选：B.

8. 已知正四面体的棱长为，若、分别是、的中点，则线段的长为（    ）

A. 2 B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】以、、作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出，即可得解.

【详解】，

又、、两两的夹角均为，且，

，

.

故选：B．

9. 函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据图象结合函数定义域、单调性判断B，C错误；由函数在时函数值的符号可判断D.

【详解】由定义域为，排除B；

又，令，得，

的单增区间为，排除C；

当时，，排除D；

故选：A．

10. 若函数有两个极值点，则的取值范围为（    ）

A.  B.

C. 或 D.

【答案】D

【解析】

【分析】函数有两个不同的极值点，则在上有两个不同的实数解，转化为二次方程在有两个不同的实数解，求解即可.

【详解】由题意可得的定义域为，，

因为函数有两个极值点，

所以在上有两个不同的实数解，

所以，解得，

故选：D

11. 如图，半径为1的球是圆柱的内切球，线段是球的一条直径，点是圆柱表面上的动点，则的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先把都用表示，再根据的模长的范围求出数量积的范围即可.

【详解】，

因为线段是球的一条直径，

,

，

又，，

，

故选：A．

12. 若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】将不等式变形，令，，数形结合，转化为两个函数图象相交情况分析.

【详解】，不等式可化为，

令，，

由解得，由解得，

在为增函数，在为减函数，

令，则的图象恒过，若解集恰有个整数，

当时，有无数个整数解，不满足题意；

当时， 如图，2满足不等式且3不满足不等式，即且，

.

故选：C．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】利用空间向量的坐标运算求解作答.

【详解】因为，，所以.

故答案为：

14. ______．

【答案】2

【解析】

【分析】利用微积分基本定理直接运算求值.

【详解】，

故答案为：2．

15. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，利用分离参数法解决恒成立问题，结合三角函数的性质即可求解.

【详解】由题意可知，，

因为在区间单调递减，

所以上恒成立，等价于即可，

因，

所以，即，于是有，

所以的取值范围是.

故答案为：．

16. 如图，正方体的棱长为，若空间中的动点满足，，则下列命题正确的是______．（请用正确命题的序号作答）

①若，则点到平面的距离为；

②若，则二面角的平面角为；

③若，则三棱锥的体积为；

④若，则点的轨迹构成的平面图形的面积为．

【答案】②④

【解析】

【分析】分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，对于①：直接应用点到平面距离的向量公式，即可判断；对于②：直接应用面面角的向量公式，即可判断；对于③：先求出点到平面的距离，即可计算出，得出判断；对于④：延长至点，使得，取中点，中点，连接，，作出平面与正方体的截面，并说明该截面为边长为的正六边形，由条件得，根据空间向量共面定理得点在平面上，即可作出判断．

【详解】对于①：由空间向量的正交分解及其坐标表示可建立如图空间直角坐标系，

所以，，，，，

向量，设平面的法向量，

由，，

则即，取则，

则点与平面的距离为，故①错误；

对于②：设平面的法向量，

又，，

即，取，则，

易得平面的一个法向量，

设二面角的平面角为，

则，

是锐角，

二面角的平面角为，故②正确；

对于③：，，，，

，则，

设平面的法向量为，

由，，

则，取则，

则点到平面的距离为，

由得

易知，

则三棱锥，故③错误；

对于④：延长至点，使得，取中点，中点，连接，并延长，交棱，于点，，交，延长线于点，，连接，交棱，于点，，连接，，如图所示，

则平面与正方体的截面为六边形，，

在平面中，

，点为中点，

，，

在和中

，

，

，

，即点为中点，，

同理可得，，

六边形为正六边形，且边长为，

则其面积，

，，

，

整理得，

点在平面上，

当，点的轨迹构成的平面图形的面积为，故④正确．

故答案为：②④．

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知空间向量，，．

（1）若，求；

（2）若与相互垂直，求．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；

（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.

【小问1详解】

，   

，，

即，且，，解得；

【小问2详解】

，，               

又，解得．

18. 已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在区间的最大值与最小值．

【答案】（1）   

（2）；

【解析】

【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，并结合切点得到切线方程；

（2）先利用导数求得在区间上的单调区间，进而求得在区间上的最大值与最小值.

【小问1详解】

，切点为，

又，，                       

切线方程为，即，

即曲线在点处的切线方程为；

【小问2详解】

由（1）知，令，得或，令，得，

函数在区间，为增函数，在区间为减函数，   

又，，；       

又，，.

19. 如图，在正三棱柱中，，是的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）证明：平面平面．

【答案】（1）；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）分别作，的中点，，连接，，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出直线与的空间向量，即可利用线线角的公式求解.

（2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量数量积为0，即可证明.

【小问1详解】

如图，分别作，的中点，，连接，，

在正三棱柱中，底面ABC，且，

则OA，OB，互相垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系，

已知，则，，，，

设异面直线与所成角为，，

，，

；

【小问2详解】

由题可知，，，，，

设平面的法向量为，

则，令，，

设平面的法向量为，

则，令，，

，平面平面.

20. 制作一个容积为的圆柱体容器（有底有盖，不考虑器壁的厚度），设底面半径为．

（1）把该容器外表面积表示为关于底面半径的函数；

（2）求的值，使得外表面积最小．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据圆柱体积公式可表示出圆柱的高，结合圆柱表面积公式可表示出；

（2）利用导数可求得的单调性，进而确定最值点.

【小问1详解】

设圆柱体水杯的高为，则，表面积，

即，.

【小问2详解】

由（1）得：；令，解得：；

则当时，，单调递减；当时，，单调递增；

当时，表面积取得最小值．

21. 在如图①所示的长方形中，，，是上的点且满足，现将三角形沿翻折至平面平面（如图②），设平面与平面的交线为．

（1）求二面角的余弦值；

（2）求与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）   

（2）．

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值；

（2）设直线与相交于点，即为，是与平面所成角，计算求解即可．

【小问1详解】

如图，取的中点，连接，，则，

又平面平面，又平面平面，

又平面

平面，                                       

延长交于点，由，为的中点，则，，，

分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

 ,，，，，，

平面，平面，，

又，，平面，所以平面，

平面的法向量为，且，

又，，

设平面的法向量为，

则，

令，则，                           

设二面角的平面角为，

，

由题知，二面角的余弦值为；

【小问2详解】

设直线与相交于点，，平面，同理平面，

由平面公理3可得，又，即为，           

平面，是在平面内的投影，

是与平面所成角，

由，又，，

，

与平面所成角正弦值为．

22. 已知函数，．

（1）求函数的导函数在上的单调性；

（2）证明：，有．

【答案】（1）在上单调递增；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）直接对函数求导，利用导数与函数间的关系即可求出结果；

（2）构造函数，将求证结果转化判断函数值大小，再利用函数的单调性即可求出结果.

【小问1详解】

因为，

所以，令，即，

又因为，           

又因为，所以，即有，所以，所以在区间上单调递增，

即在上单调递增；

【小问2详解】

由题知，要证，

即证，

令，则，

即证，

由（1）知在区间上单调递增，又因为，

所以，所以在区间上单调递增，因为，所以，故命题得证．