湖南省长沙市长郡中学、河南省郑州外国语学校 、浙江省杭州第二中学2023届高三年级二模联考数学试题及参考答案

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湖南省长沙市长郡中学、河南省郑州外国语学校 、浙江省杭州第二中学2023届高三二模联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知全集，集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（    ）A． B． C． D．2．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角是（    ）A． B． C． D．3．已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ）A． B． C． D．4．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积、总相等，则这两个几何体的体积、相等.根据“祖暅原理”，“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．函数和函数的图象相交于两点，为坐标原点，则的面积为(   )A． B． C． D．6．已知P为双曲线上一点，为双曲线C的左、右焦点，若，且直线与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（    ）A． B． C． D．7．已知正六棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的体积为，则该六棱锥体积的最大值为（    ）A． B．16 C． D．8．设实数，满足，，则，的大小关系为（    ）A． B． C． D．无法比较 二、多选题9．下列说法正确的是（    ）A．若随机变量，则B．若随机变量，且，则C．一组数据11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位数为19D．若，，，则事件与事件相互独立10．在中，内角，，所对的边分别，，，，下列说法正确的是（    ）A．若，则 B．外接圆的半径为C．取得最小值时， D．时，取得最大值为11．正四棱柱，，是侧棱上的动点（含端点），下列说法正确的是（    ）A．时，三棱锥的体积为B．设平面，则C．平面截正四棱柱所得截面周长的最小值为D．与所成角余弦值的取值范围为12．关于函数，下列说法正确的是（    ）A．当时，函数在处的切线方程为B．当时，函数在上单调递减C．若函数在上恰有一个极值，则D．当时，，满足 三、填空题13．的展开式中常数项为______.14．若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则该方程可以是______. 四、双空题15．2023年2月22日，中国厦门市一名8岁男孩用时4.305秒单手完成4层汉诺塔游戏，成为新的世界纪录保持者.汉诺塔游戏源于1883年法国数学家卢卡斯提出的汉诺塔问题，有，，三根柱子，在柱上放着由下向上逐渐变小的个盘子，现要求把柱上的盘子全部移到柱上，且需遵循以下的移动规则：①每次只能移动一个盘子；②任何时候都不允许大盘子放在小盘子的上面；③移动过程中盘子可以放在，，中任意一个柱子上.若用表示个盘子时最小的移动次数，则______，______. 五、填空题16．已知抛物线：的准线为，过点的直线交于，两点，的中点为，分别过点，，作的垂线，垂足依次为，，，则当取最小值时，______. 六、解答题17．已知函数的部分图像如图所示，其中的图像与轴的一个交点的横坐标为．(1)求这个函数的解析式；(2)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．18．已知正项数列的前项和为，且，（且）.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证：.19．如图，正四棱锥和正三棱锥顶点均为.(1)设平面与平面的交线为，求证：；(2)若，的中点为，求平面与平面所成二面角的余弦值.20．某公司有员工140人，为调查员工对薪酬待遇的满意度，现随机抽取了15人，通过问卷调查，有3人对薪酬不满意.(1)试估计公司中对薪酬不满意的人数；(2)从15名调查对象中抽取2人，用表示其中对薪酬不满意的人数，试求的数学期望；(3)实际上，由于问题比较敏感，被调查者为了保护自己的隐私往往会做出相反的回答，导致调查数据失真.为此对调查方法进行优化，现向15名调查对象提供两个问题：问题A：你对公司薪酬是否不满意？问题B：现场抛一枚硬币，是否正面朝上？在一个密闭房间里有一个箱子，箱子中放入大小相同的10个小球，其中黑色小球7个，白色小球3个，每位调查对象进入房间后，从箱子中摸出一个小球后放回，若是黑球，则回答问题A，若是白球，则抛硬币完成问题B.若有6人回答“是”，试用全概率公式估计公司中对薪酬不满意的人数.21．已知椭圆：（），长轴为，离心率为，是椭圆上的动点，面积的最大值为2.(1)求椭圆的方程；(2)若点是椭圆上另两个动点，求面积的最大值.22．曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，若记，则函数在点处的曲率为.(1)求证：抛物线（）在处弯曲程度最大；(2)已知函数，，，若，曲率为0时的最小值分别为，，求证：.