2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  有理数的相反数等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下面简单几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  对于双曲线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在中，，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，把绕点顺时针旋转某个角度得到，，，则旋转角等于(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，过上一点作的切线，交直径的延长线于点若，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，已知，，则下列比例式中错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家在整个过程中，小辉离家的距离单位：与他所用的时间单位：之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为(    )
 

A. ， B. ，
C. ， D. ，

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  某市参加年中考的考生预计可能达到人，用科学记数法表示这个数为______．

12.  函数中，自变量的取值范围是______．

13.  分解因式：______．

14.  计算的结果是______．

15.  不等式组的解集是______．

16.  二次函数的图象与轴交点坐标是______ ．

17.  袋中装有除颜色外其他完全相同的个小球，其中个红色，个白色从袋中任意地摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是______ ．

18.  已知扇形的弧长为，直径为，则此扇形的圆心角为______ ．

19.  点在正方形的一边上，且的面积为的面积的倍，若，则的长为______

20.  在中，于点，点在上，，连接交于点，，，，则长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．

22.  本小题分
如图，在小正方形的边长均为的方格纸中，有线段，点，均在小正方形的顶点上．
在图中画出一个以线段为一边的平行四边形，点，均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为；
在图中画一个钝角三角形，点在小正方形的顶点上，且三角形面积为，请直接写出的长．
 

23.  本小题分
某中学现有学生人，学校为了进一步丰富学生课余生活，拟调整兴趣活动小组，为此进行一次抽样调查根据采集到的数据绘制的统计图不完整如下：

请你根据图中提供的信息，完成下列问题：
这次抽样调查的学生共有多少人？
通过计算补全条形统计图．
估计该中学现有的学生中，有多少人爱好“书画”？

24.  本小题分
在菱形中，点是对角线的交点，点是边的中点，点在延长线上，且．
求证：四边形是平行四边形；
连接，如果，请你写出图中所有的等边三角形．

25.  本小题分
某商店准备从机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多元，用元购进甲种零件的数量是用元购进乙种零件的数量的倍．
求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？
这个商店甲种零件每件售价为元，乙种零件每件售价为元，商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件，且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的倍还多个，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利大于元求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？

26.  本小题分
已知内接于，是直径，过点作的切线．
如图，求证：；
如图，当是弧的中点时，过点作于求证：；
如图，在的条件下，与相交于点，连接、与相交于点，若的面积为，，求点到的距离．
 

27.  本小题分
已知：抛物线交轴于点和点，与轴交于点，且．
求抛物线解析式；
点是第四象限抛物线上一点，连接交轴于点，若点的横坐标为，的面积为，求与的关系式；
在的条件下，，延长、交于点，点在线段上，过点作于点，的延长线交抛物线于点，点在直线下方的第四象限内，连接、、，，点在的延长线上，连接并延长交轴于点，，当的面积为，点是的中点时，求点的横坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：有理数的相反数等于．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数的概念，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.和不能合并，故本选项不符合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
先根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算，再得出选项即可．
本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：从正面看，底层有个正方形，上层左侧有个正方形．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，解题的关键是明确主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键，属于基础题．
先根据函数的增减性得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解答】
解：双曲线，当时，随的增大而减小，
，解得．
故选C．  

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故选：．
根据勾股定理计算出长，再根据余弦定义可得答案．
此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦：锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作．
 

7.【答案】 

【解析】解：绕点顺时针旋转某个角度得到，
，
又，
，
故选：．
由旋转的性质可得，继而根据可得．
本题主要考查旋转的性质，熟练掌握对应点到旋转中心的距离相等．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．旋转前、后的图形全等是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，

切于点，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，根据切线的性质得到出是直角，求出，再求出，根据三角形的外角性质求出即可．
本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，切线的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理的能力．
 

9.【答案】 

【解析】解：、，
，
，
，
，故A正确，
B、易知∽，
，
，故B正确．
C、∽，
，
，故C正确．
D、，
，
显然，故D错误．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再分别对每一项进行判断即可．
此题主要考查平行线分线段成比例定理，关键是根据平行线分线段成比例定理列出比例式并能进行灵活变形．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意，得：
小辉从家去图书馆的速度为：；
小辉从图书馆回家的速度为：．
故选：．
根据题意可知小辉家与图书馆的距离为，去图书馆花了分钟，回来时用了分钟，再根据“速度路程时间”列式计算即可求解．
本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，应把所有可能出现的情况考虑清楚．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意可得；
解得；
故答案为：．
根据分式有意义的条件是分母不为；分析原函数式可得关系式，解可得答案．
本题主要考查函数自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接化简二次根式进而计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，当时，，
二次函数的图象与轴交点坐标是；
故答案为：．
求出二次函数，当时的值，即可得出答案．
本题考查了二次函数与坐标轴的交点；求出二次函数当时的值是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

从袋中任意地同时摸出两个球共种情况，其中有种情况是两个球颜色相同；
故其概率是，
故答案为：．
列举出所有情况，让两个球颜色相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
 

18.【答案】 

【解析】解：设此扇形的圆心角为，
由题意得，，
解得，，
故答案为：．
设此扇形的圆心角为，代入弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
 

19.【答案】或 

【解析】解：如图，当点在边时，

四边形是正方形，
，，
的面积为的面积的倍，
，
，
，
；
如图，当点在边时，

四边形是正方形，
，，
的面积为的面积的倍，
，
，
．
综上所述，的长度为或，
故答案为：或．
如图，当点在边时，根据正方形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论；如图，当点在边时，根据正方形的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理，分类讨论思想的运用是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：在上取一点，使，连接，
则，

由，可设，，
，
由，知为，
，
在和中，

≌，
，
，
，，
，
，
在和中，

≌，
，
，
在中，
，，，
，
解得．
故答案为：．
利用“”构造全等形，利用“”得到，，之间的关系，从而得出，与它们之间的关系，最后在中利用勾股定理解出即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等，构造出全等三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：



，
当时，
原式． 

【解析】先计算分式的除法，再算同分母分式的减法，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图所示；
如图所示；

． 

【解析】由图可知、间的垂直方向长为，要使构建平行四边形的面积为，则可以在的水平方向取一条长为的线段，可得点；
由图可知、间的垂直方向长为，要使构建的钝角三角形面积为，则可以在的水平方向取一条长为的线段，可得点，且，的长可以根据勾股定理求得．
本题考查勾股定理运用及面积计算方法等，灵活利用数据之间的联系，结合图形解决问题是关键．
 

23.【答案】解：人，
答：这次抽样调查的学生共有人；
人，
如图：

人，
答：中学现有的学生中，有人爱好书画． 

【解析】音乐的人数除以音乐占的比值即可；
总人数减去其他三项的人数即为“体育”的人数，再补全图即可；
先求得所调查的人数中爱好书画人数所占的百分比，再乘以即可．
本题是一道统计题，考查了扇形统计图和条形统计图，以及用样本来估计总体，是基础知识要熟练掌握．
 

24.【答案】证明：四边形是菱形，
，
点是边的中点，
是的中位线，
且，
，
，
，
四边形是平行四边形；

解：，点是边的中点，
，
，
，
为等边三角形；
四边形是平行四边形，
，
为等边三角形；
为等边三角形，
，
，
四边形是菱形，
为等边三角形；
同理得为等边三角形；
图中的等边三角形有：，，， 

【解析】利用菱形的性质得，易得是的中位线，利用中位线的性质得且，利用平行四边形的判定得出结论；
由直角三角形的性质，斜边中线等于斜边的一半得，易得为等边三角形，利用的结论，易得为等边三角形，利用等边三角形的性质，得，利用判定定理得与为等边三角形．
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，三角形的中位线定理，等边三角形的判定及性质，综合运用各定理是解答此题的关键．
 

25.【答案】解：设每个乙种零件的进价为元，则每个甲种零件的进价为元，
依题意，得：，
解得：元，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
元．
答：每个甲种零件的进价为元，每个乙种零件的进价为元．

设该商店本次购进甲种零件个，则购进乙种零件个，
依题意，得：，
解得：，
为正整数，
的最小值为．
答：该商店本次购进甲种零件至少是个． 

【解析】设每个乙种零件的进价为元，则每个甲种零件的进价为元，根据数量总价单价结合用元购进甲种零件的数量是用元购进乙种零件的数量的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设该商店本次购进甲种零件个，则购进乙种零件个，根据总利润单个利润销售数量，结合总获利大于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

26.【答案】证明：是直径，
，
．
为的切线，
，
，
；
证明：连接，，，与交于点，延长交于点，如图，

是弧的中点，
，．
是弧的中点，
，
．
是直径，，
，
．
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：过点作于点，连接，，与交于点，延长交于点，如图，

是直径，，
，
是弧的中点，
，
，
，．
，
是直径，
，
，，
，
，
．
是弧的中点，
，．
．
在和中，
，
≌，
，．
设，则，
，
，
，
．
的面积为，
，
，
．
，

，
．
，，
．
∽，
，
，
．
，，
，
点到的距离为． 

【解析】利用圆周角定理，圆的切线的性质定理和同角的余角相等解答即可；
连接，，，与交于点，延长交于点，利用圆心角，弧，弦的关系定理，圆周角定理，垂径定理和全等三角形的判定与性质解答即可；
过点作于点，连接，，与交于点，延长交于点，利用圆周角定理，垂径定理和等腰三角形的判定与性质得到，利用全等三角形的判定与性质得到，；设，则，利用的结论和三角形的面积公式求得线段，的长度，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求得的长，最后利用平行线之间的距离相等得出结论即可．
本题主要考查了圆的有关概念和性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，垂径定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，本题综合性较强，熟练掌握圆的有关性质，恰当的添加辅助线是解题的关键．
 

27.【答案】解：令，则，
解得：，，
，，
，，
，
，
，即，
将代入，得：，
解得：，
该抛物线的解析式为：；
过点作轴，交轴于点，如图所示：

轴，
∽，
，
点是第四象限抛物线上一点，点的横坐标为，则纵坐标为，
，，，
，，
，
，
，
的面积为：
，
故与的关系式为；
当时，即，
解得：，
则，
，
设直线的解析式为，把、代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
同理可得，直线的解析式为，
联立，
解得：，
，
、、、、，
，，，
，，
如图，过点作于，


则，即，
，
则，
，
，
在凹四边形中，可知，
又，即，
，
延长，使得，过点作交于，
点是的中点，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
∽，
，
，则为等腰直角三角形，
，
设，则，
，即，
，
，，
，
，
又的面积为，即，
负值舍去，
，，
点在线段上，则点在点上方，
设，，，，
则：，
解得：，舍去，
则，
又，
解得：，舍去，
则，
，，
设的解析式为，将，代入得：，
解得：，
的解析式为，
联立直线与抛物线可得：，
解得：，
由题意可知点的横坐标为负值，
点的横坐标为． 

【解析】令，可求得，，再根据，求得，将代入即可求得抛物线解析式；
过点作轴，则可得∽，点的横坐标为，可得，，利用相似三角形性质可得，即：，求出，利用，即可求得与的关系式；
当时，求得，进而可得直线的解析式为：，直线的解析式为：，可求得交点，运用两点间距离公式可得：，，，，，过点作于，可解得，，可得在凹四边形中，可知，结合已知进而可得，延长使得，过点作于，易证得≌，可证得，进而可证∽，则，结合题意易知为等腰直角三角形，设，则，利用相似三角形所列比例关系可得，由，，可得，可得，进而可得，通过的面积为，即，可得，则，，设，，，，可列方程则：，，求得，，进而可得的解析式为，联立直线与抛物线可得：，可得点的横坐标为．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等，得出是解题关键．