2023年广东省深圳市南山区部分学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年广东省深圳市南山区部分学校中考数学二模试卷

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  根据今年的政府工作报告，年经济形势明显成上升势头，城镇新增就业目标为万人左右，万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  一组数据：，，，，，下列对这组数据的统计量说法错误的是(    )

A. 平均数是 B. 中位数是 C. 方差是 D. 众数是

7.  下列选项中的尺规作图，能推出的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  下列命题正确的是(    )

A. 若，则
B. 若是反比例函数图象上的点，则也是该函数图象上的点
C. 矩形对角线相互平分且相等
D. 三角形的一条中位线等分该三角形的面积

9.  算法统宗是我国明代数学家程大位的主要著作在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的．“甜果苦果”就是其中一首．“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑”大意是说：用文钱共买了个甜果和苦果，其中文钱可以买苦果个，文钱可以买甜果个，请问甜、苦果各买几个？若设苦果买个，买甜果个，可以列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，为直径，弦且过半径的中点，过点的切线交的延长线于，且，点为上一动点，于点，当点从点出发逆时针运动到点时，点经过的路径长是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：______．

12.  关于的一元二次方程的一个根是，另一个根是，则 ______ ．

13.  “湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，是深圳地标性建筑之一，摩天轮采用了世界首创的鱼鳍状异形大立架，有个进口轿厢，每个轿厢可容纳人．小亮在轿厢处看摩天轮的圆心处的仰角为，看地面处的俯角为如图所示，垂直于地面，若摩天轮的半径为米，则此时小亮到地面的距离为______米．结果保留根号
 

14.  将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若中点刚好落在矩形纸片的边上，已知矩形纸片的边长为，则的长为______ ．

15.  如图，将▱绕点逆时针旋转到▱的位置使点落在上，与交于点，与的延长线交于点，的延长线与的延长线交于点，若，，，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值，其中．

18.  本小题分
月日是“世界血友病日”，某高校开展义务献血活动，经过检测，献血者血型有“，，，”四种类型，随机抽取部分献血结果统计，根据结果制作如图两幅不完整统计图表：
血型统计表

本次随机抽取献血者人数为______ 人，图中 ______ ；
补全表中的数据；
若该高校总共有万名学生，估计其中型血的学生有______ 人；
现有个自愿献血者，人为型，人为型，人为型，若在人中随机挑选人，利用树状图或列表法求两人血型均为型的概率．

19.  本小题分
应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高，用元购进的甲种书柜的数量比用元购进的乙种书柜的数量少台．
求甲、乙两种书柜的进价；
若该校拟购进这两种规格的书柜共个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的倍请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．

20.  本小题分
一、问题背景：
数学活动课上，老师拿出一个由五连格边长为的正方形连成的形教具，将它放入一个的直角三角形中，
，，如图顶点，，，刚好落在三边上，请求出此直角三角形的面积．
二、问题提出与解决：以下问题二选一解答
小颖同学受到启发，将此教具放入如图的直角坐标系中，顶点，，分别落在坐标轴上，提出问题：如图，如果反比例函数图象经过顶点，试求出反比例解析式．
小明同学也受到启发，画了一个圆，如图，将此教具放入圆内，使圆经过其顶点，，，提出问题：怎么算出圆的面积？

21.  本小题分
一、概念理解：
在直角坐标系中，如果两个函数的图象关于某条平行于轴包括轴的直线轴对称，我们就称它们为“共根函数”，两函数的交点称之为“共根点”，对称轴称为“共根轴”例如：正比例函数和是一对共根函数，轴是它们的共根轴，原点是共根点．
二、问题解决：
在图一网格坐标系里作出与一次函数共根点为的共根函数图象，并写出此函数的解析式______ ．
将二次函数水平向右平移一个单位也可以得到它的共根函数，在图二中通过列表、描点、连线先作出图象，再按要求作出它向右平移后得到的共根函数图象，表格中 ______ ， ______ 这对共根函数的共根点坐标是______ ．

三、拓展提升
在条件下，函数与轴的两个交点分别为，，一条平行于轴的直线与这一对共根函数图象相交，是否存在有两个交点与点，一起构成一个平行四边形，如果存在直接写出的值，如果不存在，请说明理由．
 

22.  本小题分
在四边形中，、分别为边、上的动点，的延长线交延长线于点，的延长线交延长线于点．
问题证明：如图，若四边形是正方形，求证：∽；

拓展应用：如图所示平面直角坐标系，在中，，点坐标为，，分别在轴和轴上，且反比例函数图象经过上的点，且：：，求的值．
深入探究：如图，若四边形是菱形，连接，当时，且，试用关于的式子来表示的值，则 ______ 直接写出结果

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义，进行求解即可．
本题考查了倒数，熟练掌握互为倒数的两数之积为是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】
解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】
本题考查轴对称图形与中心对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，沿对称轴折叠后图形两部分可重合；判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．  

3.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：从正面看，可得图形如下：

故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的形状是正确判断的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意；
B、，故B错误，不符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、，故D正确，符合题意，
故选：．
根据同类项定义、积的乘方与幂的乘方法则，完全平方公式，单项式除以单项式法则逐项判断．
本题考查整式的运算，解题的关键是掌握同类项定义、积的乘方与幂的乘方法则，完全平方公式，单项式除以单项式法则等知识．
 

6.【答案】 

【解析】解：数据的平均数为，所以选项不符合题意；
B.数据的中位数为，所以选项不符合题意；
C.数据的方差为，所以选项符合题意；
D.数据的众数为，所以选项不符合题意．
故选：．
利用平均数的定义对选项进行判断；根据中位数的定义对选项进行判断；根据方差公式计算出数据的方差，从而可对选项进行判断；根据众数的定义对选项进行判断．
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差也考查了中位数、众数和算术平均数．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
点为的垂直平分线的上的点．
故选：．
利用垂直平分线的性质和基本作图进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
 

8.【答案】 

【解析】解：、若，则，故原命题错误，不符合题意；
B、若是反比例函数图象上的点，则不是该函数图象上的点，故原命题错误，不符合题意；
C、矩形对角线相互平分且相等，正确，符合题意；
D、三角形的一条中线等分该三角形的面积，故原命题错误，不符合题意．
故选：．
利用不等式的性质、反比例函数的性质、矩形的性质及三角形的中线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．
 

9.【答案】 

【解析】解：设苦果买个，买甜果个，依题意，得：．
故选：．
根据用文钱可以买甜果和苦果共个，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，，

为半径的中点，
，
，，
在直角三角形中，
，即：，
解得：，；
，
为的中点，即，
在中，根据勾股定理得：，
又，
在中，根据勾股定理得：，
，
始终为直角三角形，点的运动轨迹为以为直径的圆上，
当位于点时，，此时与重合；当位于点时，，此时与重合，
当点从点出发逆时针运动到点时，点所经过的路径长的长，
在中，，
，
，
所对圆心角的度数为，
直径，
的长，
则当点从点出发逆时针运动到点时，点所经过的路径长的长为．
故选：．
连接，，为半径的中点，得到，，进而得到，，求得；由，利用垂径定理得到为的中点，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，由求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，由垂直于，得到三角形始终为直角三角形，点的运动轨迹为以为直径的圆上，如图中红线所示，当位于点时，，此时与重合；当位于点时，，此时与重合，可得出当点从点出发逆时针运动到点时，点所经过的路径长的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点所经过的路径长．
此题主要考查了切线的性质、垂径定理、轨迹等，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到当点从点出发逆时针运动到点时，点所经过的路径长为的长是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：方程的另一个根是，
依题意得：，
，
解得：．
一个根是，
，
，
．
故答案为：．
由根与系数的关系可知，两根之和等于，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出，再将代入方程求出，此题得解．
本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之和等于是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

则，
在中，，米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
小亮到地面的距离为米，
故答案为：．
过点作，垂足为，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，
，
四边形是矩形，
，
是等腰直角三角形，
，，
是的中，
，
设，则，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过点作于点，则，证明∽，可求出，再利用勾股定理求出，进一步得到的长．
本题考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作交于，
▱绕点逆时针旋转到▱，
，，
∽，
，
，
，
．


由旋转的性质可知：≌，．
，
，
≌
，
，
∽，
，
，
∽，
．
，且．
解得：．
利用≌，得到，再利用∽列出关系式得出的长，则．
本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，特别是线段的和差转换和线段比例计算是本题的关键．
 

16.【答案】解：原式
． 

【解析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的加法，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法的运算法则．
 

18.【答案】     

【解析】解：这次随机抽取的献血者人数为人，
；
故答案为：，；
型献血的人数为人，
型献血的人数为人，
补全表中的数据如下表

人；
故答案为：；
画树状图如图所示，

共有个等可能的结果，两人血型均为型的结果有个，
两人血型均为型的概率为．
用型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算的值；
先计算出型的人数，再计算出型人数，从而可补全上表中的数据；
利用型血的学生百分百比即可得答案；
画出树状图，根据概率公式即可得到结果．
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了统计图与统计表．
 

19.【答案】解：设每个乙种书柜的进价为元，则每个甲种书柜的进价为元，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原方程的根，
元．
故每个甲种书柜的进价为元，每个乙种书柜的进价为元；

设购进甲种书柜个，则购进乙种书柜个，购进两种书柜的总成本为元，根据题意得，
，
解得，
，
随的增大而增大，
当时，元．
故购进甲种书柜个，购进乙种书柜个时花费最少，费用为元． 

【解析】设每个乙种书柜的进价为元，每个甲种书柜的进价为元，根据用元购进的甲种书柜的数量比用元购进的乙种书柜的数量少台，列方程求解；
设购进甲种书柜个，则购进乙种书柜个，根据乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的倍，列不等式组求解．
本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解．
 

20.【答案】解：一、问题背景：
如图所示：

由题意知，，，，
，，
，，
，，
，
此直角三角形的面积为；
二、问题提出与解决：
如图所示：过作轴于，

由题意知，，，，，
在中，由勾股定理得，
，
，
∽，
，即，
解得，，
同理∽，
，
即，
解得，，
，
，
，
反比例函数解析式为；
如图，取中点，作，取圆心，连接，，则，

由正方形的性质，，，
设，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
，
的半径为，
圆的面积． 

【解析】一如图，由题意知，，，，则，求出，，的值，再根据直角三角形的面积公式计算即可；
二如图，过作轴于，由题意知，，，，，，然后由∽和∽求出，，，，从而得出坐标，代入反比例函数解析式求，进而可得反比例函数解析式；
如图，取中点，作，取圆心，连接，，则，由正方形的性质，，，设，，在和中，由勾股定理得关于的方程，解方程求的值，的值，进而可得的半径，然后代入圆的面积公式进行求解即可．
本题主要考查了正弦、正切，相似三角形的判定与性质，反比例函数，正方形的性质，圆的面积，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
 

21.【答案】       

【解析】解：一次函数图象过点和点，
与一次函数共根点为的共根函数图象过和，
作出图象如下：

设与一次函数共根点为的共根函数解析式为，
，
解得，
与一次函数共根点为的共根函数解析式为；
故答案为：；
在中，
时，，即，
时，，即，
作出函数图象如下：

将抛物线向右平移一个单位得到的抛物线解析式为，
由得，
这对共根函数的共根点坐标是；
故答案为：，，；
存在有两个交点与点，一起构成一个平行四边形，理由如下：
在中，令得或，
函数与轴的两个交点分别为和，
，
四边形为平行四边形，如图：

两个函数的“共根轴”为直线，
，关于直线对称，
，
，到直线的距离都为，
在中，令得，
；
四边形为平行四边形，如图：

同理可知，到直线的距离都为，
在中，令得，
，
综上所述，的值为或．
由一次函数图象过点和点，可知与一次函数共根点为的共根函数图象过和，描点画出函数图象，用待定系数法可得解析式；
在中，令，即可算得，的值，再描点作出图象，由平移的特征求出平移后抛物线解析式，联立解析式可得“共根点“坐标；
求出，分两种情况画出图形：四边形为平行四边形，在中，令得，即得；四边形为平行四边形，在中，令得，故．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，新定义，对称变换等知识，解题的关键是读懂题意，理解“共根点“，“共根轴“，“共根函数“的意义．
 

22.【答案】 

【解析】证明：如图，四边形是正方形，
，，

，
，
即，
，
，
，，
，
∽；
解：如图，过点作轴于，作轴于，过点作轴于，作轴于，
则，

，
，，
，
，
，
，即，
，
∽，
，
，
轴，轴，
，
，
同理可得：，
：：，
，，
，，
，，
，
．
如图，连接交于，
，
，

四边形是菱形，
，，，，
，，
，
∽，
，
在中，，
，
，，
，
由知：∽，
，
，
，
，
∽，
，
故答案为：
由正方形性质可得，，根据，可得出，推出，，即可证得结论；
过点作轴于，作轴于，过点作轴于，作轴于，可证得∽，得出，进而推出，由：：，，，推出，，即可得出．
连接交于，由菱形性质可得：，，，，利用解直角三角形可得：，进而得出，再证得∽，得出，，再由∽，可得出
本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数中的几何意义，正方形的性质，菱形性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等，涉及知识点较多，综合性强，难度较大，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键．