2022-2023学年广东省深圳市南山外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省深圳市南山外国语学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，可以看作是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如果，那么下列不等式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是(    )
 

A.
B.
C.
D.

4.  若多项式能用完全平方公式分解因式，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  根据图象，可得关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在中，，直线，且分别与的两条边相交，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  下列说法正确的个数是(    )
有两条边、一个角相等的两个三角形全等．
等腰三角形的对称轴是底边上的中线．
全等三角形对应边上的中线相等．
有一个角是的三角形是等边三角形．
，，三条长度的线段能构成直角三角形．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  如图，已知，，周长为，分别以、为圆心，大于的长度为半径作弧，交点分别为、，连接，交于点，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  不等式组的所有整数解的和为，则整数的值有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10.  如图，在中，，，为的中点，，垂足为过点作 交的延长线于点，连接，现有如下结论：平分；；；；其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  已知：点与点关于原点成中心对称，则        ．

12.  一个等腰三角形的两边长分别为和，则周长是______．

13.  把多项式分解因式的结果为______ ．

14.  如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是        ．

15.  是边长为的等边三角形，点为直线上的动点，把线段绕点逆时针旋转至，为边上一动点，则的最小值为______．

三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）

16.  如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点顶点是网格线的交点．
先将竖直向上平移个单位，再水平向右平移个单位得到，请画出；
将绕点顺时针旋转，得，请画出；
求中点旋转到点所经过的弧长结果保留．

17.  某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用元购进足球个和篮球个，已知篮球的单价比足球的单价多元，请解答下列问题：
求出足球和篮球的单价；
若学校欲用不超过元，且不少于元再次购进两种球个，求出有哪几种购买方案？

四、解答题（本大题共5小题，共41.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式组，并写出该不等式组的最小整数解．
．

19.  本小题分
如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且．
求证：是等边三角形；
若，求的长．

20.  本小题分
阅读材料：
用配方法因式分解：．
解：原式．
若，利用配方法求的最小值．
解：．
，，
当时，有最小值．
请根据上述材料解决下列问题：
在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式：        ．
用配方法因式分解：．
若，求的最大值．

21.  本小题分
已知：在和中，，．
如图，若，求证：．
如图，若，则与间的等量关系式为______ ，的大小为______ 直接写出结果，不证明
 

22.  本小题分
如图：已知、，且、满足．
如图，求的面积；
如图，点在线段上不与、重合移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系并证明你的结论；
如图，若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，直线交轴，点，当点在轴上移动时，线段和线段中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、在不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，即，不符合题意；
B、在不等式的两边同时加上，不等号的方向不变，即，不符合题意；
C、在不等式的两边同时乘，不等号法方向改变，即，不符合题意；
D、在不等式的两边同时乘，不等号的方向不变，即，符合题意．
故选：．
根据不等式的性质进行分析判断．
本题主要考查了不等式的性质．不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出，是解题关键．
根据旋转的性质，旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．
【解答】
解：将绕点按逆时针方向旋转后得到，
，，
，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：因为，
即，
所以．
故选：．
利用完全平方公式计算即可．
本题考查对完全平方公式的变形应用能力，要熟记完全平方公式．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据图象，可得：不等式的解集是．
故选：．
根据图象，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：过作，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质得到，，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，注意：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．
 

7.【答案】 

【解析】解：有两条边、一个角相等的两个三角形不一定全等，故不符合题意；
等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，故不符合题意；
全等三角形对应边上的中线相等，正确，故符合题意；
有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故不符合题意；
，因此，，三条长度的线段能构成直角三角形，正确，故符合题意．
因此正确的是．
故选：．
由全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，即可判断．
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握以上知识点是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由尺规作图可知，为线段的垂直平分线，
，
的周长，
，
，
，
的周长为：，
故选：．
由尺规作图可知，为线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质解题即可．
本题主要考查垂直平分线的性质的运用，能够熟练运用垂直平分线的性质得到的长是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得，
所有整数解的和为，
整数解为、、或、、、、、，
或，
解得或，
符合条件的整数的值为和，
故选：．
由得，由得，根据所有整数解的和为知整数解为、、或、、、、、，据此得出的范围，解之可得答案．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
由，推出是的中线，如果是角平分线，则，显然，故错误；
易证是等腰直角三角形，故BF；
由≌，推出，由，推出，即。
在中，，易证；
由≌，推出，，由，即可推出；
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型。
【解答】
解：，
是的中线，
如果平分，则，显然，故错误；
是等腰直角三角形
，
，，
，，
是等腰直角三角形，故BF，故正确；
在和中

，
，
，
，
，故正确；
在中，，
，且，
，故正确；
，
，
，
，
，
，故正确；
故选B．  

11.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
即，，
．
故答案为：．
先根据关于原点对称点的特点求得、的值，然后代入计算即可．
本题主要考查了关于原点对称点的特点，掌握横、纵坐标均互为相反数是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的两边长分别为和，
当腰长是时，则三角形的三边是，，，不满足三角形的三边关系；
当腰长是时，三角形的三边是，，，，满足三角形的三边关系，三角形的周长是．
故答案为：．
根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为或是腰长为两种情况．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提公因式，再用平方差公式．
本题考查因式分解，熟练掌握提公因式和公式法是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

是的平分线，，，
，
，，
，
的面积是，
的面积的面积，
是边上的中线，
的面积的面积，
故答案为：．
过点作，垂足为，过点作，垂足为，利用角平分线的性质可得，从而利用三角形的面积公式可得，然后求出的面积，最后根据是边上的中线，可得的面积的面积，从而进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，作于．

是等边三角形，
，，
，

≌，
，
，
，
，
，
，
点的运动轨迹是直线，
，，
，
，
根据垂线段最短，可知的最小值，
故答案为．
如图，连接，作于首先证明，再求出平行线之间的距离即可解决问题．
本题考查旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

16.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；

中点旋转到点所经过的弧长 

【解析】利用网格特点和平移的性质画出点、、的对应点、、，即可得到；
利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、，即可得到；
根据弧长公式计算．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式和平移变换．
 

17.【答案】解：设足球的单价为元，则篮球的单价为元，
根据题意，得，
解得：，．
即足球的单价为元，则篮球的单价为元；
设购进足球个，则购进篮球个．
根据题意，得，
解得：
，
为整数，
，，．
当，；
当，；
当，．
故有三种方案：
方案一：购进足球个，则购进篮球个；
方案二：购进足球个，则购进篮球个；
方案三：购进足球个，则购进篮球个． 

【解析】设足球的单价为元，则篮球的单价为元，则根据所花的钱数为元，可得出方程，解出即可；
根据题意所述的不等关系：不超过元，且不少于元，等量关系：两种球共个，可得出不等式组，解出即可．
此题考查了一元一次方程及一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，根据题意所述的等量关系及不等关系，列出不等式．
 

18.【答案】解：，
由得，，
由得，，
所以，不等式组的解集是，
所以，该不等式组的最小整数解是． 

【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出最小的整数解即可．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 

19.【答案】证明：于点，于点，
，
为的中点，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
是等边三角形；
解：由知，是等边三角形，
，
，
，
，
连接，则，
，
，
，，
，
，
． 

【解析】根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得，根据等边三角形的判定定理即可得到结论；
由知，是等边三角形，求得，连接，则，得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：，；




；

，
，
当时，有最大值．
根据完全平方公式配方；
按照题干的计算；
按照题干的计算．
本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
故答案为：，．
由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得，，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

22.【答案】解：，，，
，，
、，
，，
的面积；

证明：将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，，
，
，
在与中，，
：≌，，，故CD．

是定值，作于，在上截取，
，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
即：，
，
，
，
． 

【解析】根据非负数的性质得到，，求得，，得到，，于是得到结果；
证明：将绕点逆时针旋转得到根据已知条件得到，由，，同时代的，求出，推出≌，根据全等三角形的性质得到；
是定值，作于，在上截取，由，得到，，根据余角的性质得到，推出≌，根据全等三角形的性质得到，于是得到即：，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．