2022-2023学年安徽省合肥市科大附中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省合肥市科大附中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的为( )
A. x2+2x=−1B. x2−4=2y
C. −2x2+3=0D. (a−1)x2−2x=0
2. 下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 18B. 15C. 0.1D. 6
3. 如果ab>0，a+b<0，那么下列各式中正确的是( )
A. ab= a bB. ab× ba=1C. ab÷ ab=bD. ( ab)2=−ab
4. 下列四组数中，是勾股数的是( )
A. 2.5、6、6.5B. 3、4、6C. 1、2、 5D. 5、12、13
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，AC=2，则BC的值是( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 13
6. 已知关于x的一元二次方程4x2−(4k−2)x+k2=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k≠0B. k≤14C. k<14D. k>14
7. 如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则∠ABC的度数为( )
A. 22°
B. 23°
C. 24°
D. 25°
8. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为( )
A. 5B. 5 5C. 6D. 6 6
9. 已知a= 2023− 2022，b= 2022− 2021，c= 2021− 2020，那么a，b，c的大小关系是( )
A. c10. 如图，在△ACB中，∠A=15°，AB=2，P为AC边上的一个动点(不与A、C重合)，连接BP，则 22AP+PB的最小值是( )
A. 3B. 3C. 1D. 2
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 计算 (−4)2的结果是______．
12. 已知x1，x2是关于x的方程x2−x−2023=0的两个根，则x1+x1x2+x2的值______ ．
13. 若一元二次方程x2+bx+1=0可化为(x−2)2=k，则k的值为______ ．
14. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，连接BB′．
(1)△CEF是______三角形．
(2)若AC=3，BC=4，则BB′=______．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
计算： 27+1 3− 8× 23
16. (本小题8.0分)
解方程：x(x+4)=4．
17. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中△ABC各顶点的坐标分别为A(4,0)，B(−1,4)，C(−3,1)．
(1)在图中作△A′B′C′使△A′B′C′与△ABC关于y轴对称；
(2)若点P是x轴上的一动点，则PB+PC的最小值是______ ．
18. (本小题8.0分)
已知a= 5− 3，b= 5+ 3，求下列各式的值；
(1)1a+1b；
(2)a2b+ab2．
19. (本小题10.0分)
如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BCD是等腰直角三角形，且∠BDC=90°．
(1)求BD的长；
(2)连接AD交BC于点E，求ADAE的值．
20. (本小题10.0分)
关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0．
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根为1，求m的值．
21. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2−CE2=BC2，
(1)试说明：∠C=90°；
(2)若DE=6，BD=8，求CE的长．
22. (本小题12.0分)
因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间将接待游客达28.8万人次．
(1)求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率；
(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
23. (本小题14.0分)
如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠F=90°，∠B=30°，BC=EF，点D在AB边上，BD=DF，∠DCA=60°．
(1)求证：点D是线段AB的中点；
(2)求∠EDF的度数；
(3)将△DEF绕着点D旋转，DE，DF分别交线段BC于点M，N，当∠CDF=45°时，试探索线段BM，MN与CN的数量关系．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A．x2+2x=−1是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
B.x2−4=2y是二元二次方程，不符合题意；
C.−2x2+3=0是一元二次方程，符合题意；
D.当a=1时，(a−1)x2−2x=0化为一元一次方程−2x=0，不符合题意．
故选：C．
根据一元二方程的定义进行判断即可．
此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、 18=3 2，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 15= 55，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 0.1= 110= 1010，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 6是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的定义即可选出正确选项．
本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义：被开方数不含能开的尽的因数或因式，被开方数的因数数整数，因式是整式．
3.【答案】B
【解析】解：∵ab>0，a+b<0，
∴a<0，b<0．
∴ a， b无意义，
∴A的结论不正确；
∵ ab× ba= ba×ab=1，
∴B的结论正确；
∵ ab÷ ab= ab×ba= b2=−b，
∴C的结论不正确；
∵( ab)2=ab，
∴D的结论不正确，
故选：B．
利用二次根式的性质和实数的运算性质解答，对每个选项作出判断即可．
本题主要考查了二次根式的性质和实数的运算性质，二次根式的乘除法，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、因为2.5、6、6.5不都是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意；
B、因为42+32≠62，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意；
C、因为 5不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意；
D、因为132=52+122，所以它们是勾股数，故本选项符合题意．
故选：D．
欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
此题考查了勾股数，勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
5.【答案】A
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，AC=2，
∴BC= AB2−AC2= 32−22= 5．
故选：A．
直接利用勾股定理计算即可．
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.熟记定理是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程4x2−(4k−2)x+k2=0有实数根，
∴Δ=b2−4ac≥0，即[−(4k−2)]2−4×4×k2≥0，
解得k≤14．
故选：B．
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，判别式Δ=b2−4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．由方程有实数根即Δ=b2−4ac≥0，从而得出关于k的不等式，解不等式即可得答案．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，
∴∠BAC=360°−120°−108°=132°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=180°−∠BAC2=180°−132°2=24°，
故选：C．
根据正多边形的内角和定理求得正五边形和正六边形的内角，根据周角的定义即可得到结论．
本题考查了正多边形和圆、熟练掌握正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：设两个正方形的边长是x、y(x则x2=6，y2=24，
x= 6，y=2 6，
则阴影部分的面积是(y−x)x=(2 6− 6)× 6=6，
故选：C．
设两个正方形的边长是x、y(x本题考查了二次根式的应用，主要考查学生的计算能力．
9.【答案】D
【解析】解：∵a= 2023− 2022，b= 2022− 2021，c= 2021− 2020，
∴1a=1 2023− 2022= 2023+ 2022，1b=1 2022− 2021= 2022+ 2021，1c=1 2021− 2020= 2021+ 2020，
∵ 2023+ 2022> 2022+ 2021> 2021+ 2020，
∴1a>1b>1c，
∴a故选：D．
首先分别求出a，b，c的倒数，比较出a，b，c的倒数的大小关系，然后根据两个正实数，倒数越大，这个数越小，判断出a，b，c的大小关系即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：两个正实数，倒数越大，这个数越小．
10.【答案】A
【解析】解：以AP为斜边在AP的下方作等腰直角三角形ADP，则AD=DP= 22AP，
∴ 22AP+PB=DP+PB，
∴当D，P，B在一条直线上时， 22AP+PB取得最小值．
∵△ADP是等腰直角三角形，
∴∠DAP=45°．
∵∠BAC=15°，
∴∠DAP=60°．
在Rt△ABD中，
∵sin∠BAD=BDAB，
∴BD=AB⋅sin60°=2× 32= 3．
∴ 22AP+PB的最小值为 3．
故选：A．
以AP为斜边在AP的下方作等腰直角三角形ADP，找出DP= 22AP，则当D，P，B在一条直线上时， 22AP+PB取得最小值，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．
本题主要考查了胡不归问题，等腰直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，以AP为斜边在AP的下方作等腰直角三角形ADP是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】解： (−4)2= 16=4．
故答案为：4．
根据算术平方根的定义解答即可．
此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．
12.【答案】−2022
【解析】解：∵x1，x2是关于x的方程x2−x−2023=0的两个根，
∴x1+x2=−ba=1，x1x2=ca=−2023，
∴x1+x1x2+x2=1+(−2023)=−2022．
故答案为：−2022．
利用根与系数的关系得到x1+x2=−ba=1，x1x2=ca=−2023，再代入所求式子中计算即可．
本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解，解题关键是熟知根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
13.【答案】3
【解析】解：∵(x−2)2=k，
∴x2−4x+4−k=0，
∴b=−4，4−k=1，
解得k=3．
故答案为：3．
把方程(x−2)2=k化为一般式得到x2−4x+4−k=0，然后对比原方程得到b=−4，4−k=1，从而可求出k的值．
本题考查了解一元二次方程−配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
14.【答案】(1)等腰直角;
(2)45 2;
【解析】解：(1)∵将AC沿CE折叠，A落在D处，
∴∠CED=∠AED=90°，∠ECD=12∠ACD，
∵将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，
∴∠DCF=12∠BCD，
∴∠ECD+∠DCF=12∠ACB=45°，
即∠ECF=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角；
(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2=5，
∵CE⊥AB，
∴S△ABC=12AC·BC=12AB·CE
∴CE=125，
∴EF=125，
在Rt△ACE中，AE= AC2−CE2=95，
∴BF=AB−AE−EF=5−95−125=45，
由翻折知：BF′=BF=45，
∵∠EFC=45°，
∴∠CFB=180°−45°=135°，
由翻折知：∠B′FC=∠BFC=135°，
∴∠B′FD=135°−45°=90°，
∴△BFB′是等腰直角三角形，
∴BB′= 2BF=45 2，
故答案为：45 2．
(1)沿CE折叠可知∠CED=∠AED=90°，∠ECD=12∠ACD，沿CF折叠可知∠DCF=12∠BCD，即可得出△CEF是等腰直角三角形；
(2)由△ACB的面积求出CE的长，，根据勾股定理求出AE的长，然后由翻折的性质证明△BFB′是等腰直角三角形，即可解决问题．
本题考查了翻折变换的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟记各定理是解决问题的关键．
15.【答案】解：原式=3 3+ 33−2 2× 63
=3 3+ 33−4 33
=2 3．
【解析】首先化简二次根式，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
16.【答案】解：x(x+4)=4，
方程可化为：x2+4x=4，
配方，得x2+4x+4=4+4，
(x+2)2=8，
根据平方根的意义，得x+2=±2 2，
即x1=−2+2 2或x2=−2−2 2．
【解析】利用配方法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，掌握配方解一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】 29
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′为所作；

(2)作C点关于x轴的对称点D，连接BD交x轴于P点，如图，则D(−3,−1)，
∵PC=PD，
∴PC+PB=PD+PB=BD，
∴此时PC+PB的最小，
∴BD= (−1+3)2+(4+1)2= 29，
∴PB+PC的最小值是 29．
故答案为： 29．
(1)利用关于y轴对称的点的坐标特征得到点A′、B′、C′，然后描点即可；
(2)作C点关于x轴的对称点D，连接BD交x轴于P点，如图，利用对称的性质和两点之间线段最短可判断此时PC+PB的最小，然后计算出BD的长度即可．
本题考查了作图−轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键(先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点).也考查了最短路径问题．
18.【答案】解：∵a= 5− 3，b= 5+ 3，
∴a+b=2 5，ab=2，
(1)原式=b+aab=2 52= 5．
(2)原式=ab(a+b)=2×2 5=4 5．
【解析】本题考查二次根式的化简求值、因式分解等知识，熟练掌握二次根式的混合运算法则及灵活运用因式分解是解题的关键.中考常考基础题．
先求出ab、a+b的值，再对(1)(2)化简，最后代入ab、a+b的值化简即可．
19.【答案】解：(1)∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴BC=1
∵△BCD是等腰直角三角形，∠BDC=90°
∴BD=sin45°⋅BC= 22(法二：由勾股定理：BC2=BD2+DC2，BD=DC得，BC2=2BD2，则BD= 12= 22)
故BD的长为 22
(2)∵△ABC是边长为1的等边三角形，△BCD是等腰直角三角形
∴易证得△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠BAE=∠CEA
∴E为BC中点，得BE=EC，AE⊥BC
∴在Rt△AEC中，由勾股定理得AE= AC2−EC2= 1−(12)2= 32
同理得ED= BD2−BE2= ( 22)2−(12)2=12
∵AD=AE+ED
∴ADAE=AE+EDAE=1+EDAE=1+ 33
故ADAE=3+ 33．
【解析】(1)已知BC=AB=AC=1，则在等腰直角△BCD中，由勾股定理即可求BC
(2)易证△ABD≌△ACD，从而得E点BC的中点，再根据等腰三角形的三线合一结合勾股定理即可求AE，DE，即可求得ADAE的值
此题主要考查等腰三角形“三线合一”性质，熟练运用等腰三角形“三线合一”性质是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵Δ=[−(m+2)]2−4(2m−1)×1=(m−2)2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，(m−2)2+4>0，即Δ>0，
∴关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0恒有两个不相等的实数根；
(2)解：根据题意，得
12−1×(m+2)+(2m−1)=0，
解得，m=2．
【解析】(1)根据关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0的根的判别式的符号来证明结论；
(2)根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0，即可求得m的值．
本题综合考查了根的判别式、一元二次方程解的定义．
21.【答案】解：(1)如图所示，连接BE，
∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，
∴DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
又∵AE2−CE2=BC2，
∴BE2−CE2=BC2，
∴△BCE是直角三角形，且∠C=90°；
(2)在Rt△BDE中，BE= DE2+BD2= 62+82=10，
∴AE=10，
设CE=x，则AC=10+x，而AB=2BD=16，
在Rt△ABC中，BC2=AB2−AC2=162−(10+x)2，
在Rt△BCE中，BC2=EB2−EC2=102−x2，
∴162−(10+x)2=102−x2，
解得x=2.8，
∴CE=2.8．
【解析】(1)连接BE，依据DE垂直平分AB，即可得到AE=BE，再根据AE2−CE2=BC2，可得BE2−CE2=BC2，进而得到△BCE是直角三角形；
(2)依据勾股定理可得BE的长为10，再根据勾股定理即可得到方程162−(10+x)2=102−x2，解方程即可得出CE的长．
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，以及线段垂直平分线的性质的运用，关键是掌握：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
22.【答案】解：(1)设年平均增长率为x，由题意得：
20(1+x)2=28.8，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(舍)．
答：年平均增长率为20%；
(2)设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：
(y−6)[300+30(25−y)]=6300，
整理得：y2−41y+420=0，
解得：y1=20，y2=21．
∵让顾客获得最大优惠，
∴y=20．
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【解析】(1)设年平均增长率为x，根据东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．列出方程求解即可；
(2)设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可．
本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=90°−∠B=60°，
∵∠DCA=60°，
∴∠A=∠DCA，
∴CD=AD，
∵∠BCD=∠ACB−∠DCA=30°，
∴∠BCD=∠B，
∴CD=BD，
∴AD=BD，点D是线段AB的中点．
(2)解：∵CD=AD，∠DCA=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，
∵AD=BD，BD=DF，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
∵AC=DF，∠ACB=∠F，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠EDF=∠A=60°．
(3)如图，作点B关于DE的对称点B′，连接MB′，DB′，NB′，

∵点B、B′关于DE对称，
∴MB=MB′，DB=DB′，∠BDE=∠B′DE，∠BME=∠B′ME，
∵CD=BD，
∴CD=B′D，
∵∠BDC=∠ACD+∠A=120°，∠EDF=60°，∠CDF=45°，
∴∠BDE=∠BDC−∠CDF−∠EDF=15°，
∴∠B′DN=∠EDF−∠B′DE=45°，
∴∠CDN=∠B′DN=45°，
∵DN=DN，
∴△CDN≌△B′DN，
∴CN=B′N，∵∠BME=∠BDE+∠B=45°，
∴∠NMB′=180°−∠BME−∠B′ME=90°，
∴B′M2+MN2=B′N2，
∴BM2+MN2=CN2．
【解析】(1)由题意可知：∠A=∠DCA=60°，∠BCD=∠B=30°，由等边对等角可得AD=CD=BD，即可解答；
(2)由(1)可得出△ACD是等边三角形，从而得出AC=AD=CD=BD，由已知BD=DF等量代换得到DF=AC，再证明△ABC≌△DEF，即可得
出结论；
(3)作点B关于DE的对称点B′，连接MB′，DB′，NB′，可得MB=MB′，DB=DB′，∠BDE=∠B′DE，∠BME=∠B′ME，从而由已知可得∠BDE=15°，进而得到∠B′DN=∠EDF−∠B′DE=45°，∠CDN=∠B′DN=45°，证明△CDN≌△B′DN，得到CN=B′N，根据∠BME=∠B′ME=45°，可得∠NMB′=90°，由勾股定理可得结论．
本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定以及勾股定理的应用，属于压轴题，难度较大，知识点涉及较多，熟练掌握相关性质定理是解题关键．