上海市莘庄中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

莘庄中学2022学年第二学期高二年级数学期中

2023.4

一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 已知函数，则       

2. 已知函数，则的导数       

3. 在报名的3名男教师和3名女教师中，选取3人参加义务献血，要求男、女教师都有，

则不同的选取方法数为        (结果用数值表示)

4. 的二项展开式中的系数为       

5.设 则         

6. 除以17的余数为__16____.

7. 若函数满足，则       

8. 在二项式的展开式中任取两项，则所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率是________

9. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现同时从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入对方口袋，共进行了2次这样的操作后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为________

10. 设定义在R上的奇函数的导函数为，已知，当时，

，则不等式的解集为          

11. 若函数与的图像恰有一个公共点，则实数a的取值范围是      

12. 已知、是函数的两个极值点，若， 则的取值范围为       

二、选择题（本大题共4题，每题5分）

13. 函数的图像大致为（    ）

      A                     B                    C                    D

14. 已知A、B是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是（    ）

A.           B.          

C.               D.                              

15. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法错误的是（  ）

A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法

B．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法

C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法

D．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法

16. 如图所示，甲、乙两人同时出发，甲从点A到B，乙从点C到D，且每人每次都只能向

上或向右走一格. 则甲、乙的行走路线没有公共点的概率为（    ）

A.        B.        C.         D.                     

三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为1024.

（1）求展开式中二项式系数最大的项； ------------6分

（2）求展开式的所有有理项，并指明是第几项.­-----------8分

18. 已知函数，其中b、d为常数，函数是其导函数，

且满足.

（1）求函数的解析式；    ------------7分

（2）若函数在某点处的切线过点，求切线的一般式方程. -----------7分

19. 设甲、乙两射手独立地射击同一目标，甲的命中率为，乙的命中率为，求：

（1）在甲、乙各一次的射击中，目标被击中的概率；------------6分

（2）在甲、乙各两次的射击中，甲比乙多击中目标的概率. -------------8分

20. 12月31日是某校艺术节总汇演之日，当天会进行隆重的文艺演出，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，现回答以下问题：（用排列组合数列式，并计算出结果）

（1）为了活跃气氛，学校会把20个荧光手环发给台下的12名家长代表，每位家长至少一根，共计有多少种分配方案；-----------4分

（2）若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有多少种出场顺序；---4分

（3）演出结束后，学校安排甲、乙等9位志愿者打扫A，B，C三个区域的卫生，每个区域至少需要2名志愿者，则共有多少种安排方式？甲、乙打扫同一个区域的概率是多少？

-------------------------8分

21. 已知函数，

（1）判断函数的奇偶性；----------4分

（2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围；-----------6分

（3）记（是自然对数的底数）. 若对任意、，且时，均有成立，求实数的取值范围．------------8分

莘庄中学2022学年第二学期高二年级数学期中

2023.4

一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 已知函数，则       

2. 已知函数，则的导数       

3. 在报名的3名男教师和3名女教师中，选取3人参加义务献血，要求男、女教师都有，

则不同的选取方法数为   18     (结果用数值表示)

4. 的二项展开式中的系数为  80     

5.设 则      15    

6. 除以17的余数为__16____.

7. 若函数满足，则   1    

8. 在二项式的展开式中任取两项，则所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率是________

9. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现同时从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入对方口袋，共进行了2次这样的操作后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为________

答案：.提示：分两类：① 两次都互相交换白球的概率为；

② 第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率为. 

 ∴

10. 设定义在R上的奇函数的导函数为，已知，当时，

，则不等式的解集为          

11. 若函数与的图像恰有一个公共点，则实数a的取值范围是      

答案：

12. 已知、是函数的两个极值点，若， 则

的取值范围为       

二、选择题（本大题共4题，每题5分）

13. 函数的图像大致为（  C  ）

      A                     B                    C                    D

14. 已知A、B是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是（  C  ）

A.           B.          

C.               D.                              

15. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法错误的是（  D  ）

A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法

B．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法

C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法

D．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法

16. 如图所示，甲、乙两人同时出发，甲从点A到B，乙从点C到D，且每人每次都只能向

上或向右走一格. 则甲、乙的行走路线没有公共点的概率为（  B  ）

A.        B.        C.         D.                     

【第16题】每一组甲、乙的行走路线拥有公共点的行走路线唯一对应了一组甲从到，乙从到的路线. 甲从点到，需向右走4步，向上走4步，共需8步，于是从点到共有种走法；乙从点到，向上走4步，共需8步，于是从点到共有种走法，根据分步乘法计数原理知：共有种不同路径. 

同理，甲从到共种走法，乙从到共种走法，那么共有种相交情况，故所求概率为

三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为1024.

（1）求展开式中二项式系数最大的项； ------------6分

（2）求展开式的所有有理项，并指明是第几项.­-----------8分

17.（1）由题意：；

（2），

因此时，有理项为.

18. 已知函数，其中b、d为常数，函数是其导函数，

且满足.

（1）求函数的解析式；    ------------7分

（2）若函数在某点处的切线过点，求切线的一般式方程. -----------7分

18.（1）；（2）或

19. 设甲、乙两射手独立地射击同一目标，甲的命中率为，乙的命中率为，求：

（1）在甲、乙各一次的射击中，目标被击中的概率；------------6分

（2）在甲、乙各两次的射击中，甲比乙多击中目标的概率. -------------8分

19.（1）；（2）

20. 12月31日是某校艺术节总汇演之日，当天会进行隆重的文艺演出，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，现回答以下问题：（用排列组合数列式，并计算出结果）

（1）为了活跃气氛，学校会把20个荧光手环发给台下的12名家长代表，每位家长至少一根，共计有多少种分配方案；-----------4分

（2）若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有多少种出场顺序；---4分

（3）演出结束后，学校安排甲、乙等9位志愿者打扫A，B，C三个区域的卫生，每个区域至少需要2名志愿者，则共有多少种安排方式？甲、乙打扫同一个区域的概率是多少？

-------------------------8分

解答：（1）隔板法：

（2）捆绑、插空：

（3）①. 若按2，2，5分组，则有：

②.若按2，3，4分组，则有：

③. 若按3，3，3分组，则有：

故共有2268+7560+1680=11508种安排方式.

分类：若按2，2，5分组，甲、乙在同一组的安排方式有种

若按2，3，4分组，甲、乙在同一组的安排方式有

若按3，3，3分组，甲、乙在同一组的安排方式有=420

故：甲、乙在同一组的概率为

21. 已知函数，

（1）判断函数的奇偶性；----------4分

（2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围；-----------6分

（3）记（是自然对数的底数）. 若对任意、，且时，均有成立，求实数的取值范围．------------8分

21.（1）偶函数；非奇非偶函数…………………4分

（2）因为

，则   故……………………6分

当时，函数严格增，

时，函数严格减……………………8分

从而函数的极大值为，极小值为……………………9分

当时，直线与的图像有3个交点

即时方程有3个不同实根.……………………10分

（3）函数在上严格减，所以，…………………11分

所以对任意的，且恒成立，

等价于

对任意的，且恒成立，

即，且恒成立，……………13分

所以在上是严格增函数，

在上是严格减函数，

由在上恒成立，

得在恒成立，

而在上为增函数，且在处取得最小值1，所以.…………15分

由在上恒成立，

得在上恒成立，

令

    因为

从而在上严格增，在上严格减，

所以在取得最大值，故………………17分

所以实数a的取值范围为.………………18分