2023届海南省陵水县高三模拟考试数学试题含解析

2023届海南省陵水县高三模拟考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C．或 D．

【答案】B

【分析】求出或，从而求出交集.

【详解】或，则

故选：B

2．若i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为（    ）．

A． B．3 C． D．2

【答案】D

【分析】通过条件计算出复数z的代数形式，即可得实部.

【详解】，

则，

则z的实部为.

故选：D.

3．已知a、b都是正实数, 那么""是"a>b"的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】先讨论充分性,当时,

,所以充分性成立.

再讨论必要性,当a>b时，   所以，所以必要性成立.故选C.

4．设，则                                     （　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：先分析出ab<0,a+b<0，再利用作差法比较的大小关系得解.

详解：由题得＜ln1=0,>. 所以ab<0.

.

所以

，所以.

故答案为B.

点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2)解答本题的关键是对数的运算.

5．已知，，均为锐角，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先根据已知条件求解，结合平方关系可得，然后利用倍角公式可得.

【详解】因为均为锐角，所以，

又因为，，

所以，.

因为，

所以，，所以.

故选：D.

【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求值问题一般是先根据已知角与所求角的关系，结合相关公式可求，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.

6．如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则的展开式中的常数项是（    ）

A．15 B．-15 C． D．

【答案】A

【分析】根据圆柱与球的体积公式、面积公式可得m,n，根据二项展开式的通项公式计算常数项即可.

【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，

所以圆柱的体积，球的体积，

所以.

又圆柱的表面积为，球的表面积为，

所以，

所以，

则，

展开式的通项公式，

令，解得，其常数项为.

故选：A

7．若方程 ()表示双曲线,则该双曲线的离心率为

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【详解】因为方程表示双曲线,所以

因为，所以 ，选B.

8．已知.则（     ）

A．-30 B．30 C．-40 D．40

【答案】B

【解析】令，得，进而得含的项为，从而得解.

【详解】令，则有：，

即，

展开式的通项公式为：，

所以中含的项为：.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令，转化为求的展开中含的项.

二、多选题

9．2019年中国5G建设有序推进，新型信息基础设施能力不断提升，有力支撑社会的数字化转型，电信业务发展迅速，下图是2010～2019年中国移动电话用户数及增速走势图．根据该图，下列说法正确的是（    ）

A．2010～2019年中国移动电话用户数逐年增加

B．2011～2019年中国移动电话用户数增速的中位数为7.2%

C．2011～2019年中国移动电话用户数在2011年增速最快

D．中国移动电话用户数在2011～2014年的增速逐年递减，因此用户数逐年减少

【答案】BC

【分析】由统计图结合统计知识逐一判断即可.

【详解】解：对于A，2015年与2014年相比中国移动电话用户数减少，所以A不正确；

对于B，2011～2019年中国移动电话用户数的增速按从小到大的顺序排列，为，2.3%，4.0%，4.6%，7.2%，，则增速的中位数为7.2%，故B正确；

对于C，2011～2019年中国移动电话用户数在2011年增速最快，故C正确；

对于D，中国移动电话用户数在2011～2014年的增速逐年递减，但都是正增长，故D错误；

故选：BC

10．已知函数（a为常数，）的图像关于直线对称，函数，则下面说法正确的是（   ）

A．将的图像向左平移个单位可以得到的图像

B．的图像关于点对称

C．在上单调递减

D．的最大值为1

【答案】ABC

【分析】由正弦函数的性质，为的最大值，由此求得值，然后由两角和的正弦公式化简函数式，再根据三角函数的图象变换，正弦函数的对称性、单调性与最值判断各选项．

【详解】由题意，，

，

，

将的图像向左平移个单位所得图像的解析式为，A正确；

，B正确；

时，，此时是减函数，C正确；

的最大值为，D错误．

故选：ABC．

11．已知向量，，则（    ）

A．当时，∥ B．的最小值为

C．当时， D．当时，

【答案】AC

【分析】A选项，利用向量共线定理进行判断；B选项用坐标表达出为关于x二次函数，配方求最小值；C选项利用向量夹角公式进行求解；D选项利用，先求出，再求解.

【详解】当时，，，此时，∥，选项A正确；

，最小值为，故选项B错误；当时，，，故 ，故，选项C正确；当，解得：，此时，故D选项错误

故选：AC

12．已知向量，，若与共线，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数在上单调递增

C．直线是图象的一条对称轴

D．将的图像向左平移个单位得到函数的图象

【答案】ACD

【分析】利用向量共线的坐标运算结合余弦的二倍角公式先求出，再根据余弦函数的性质逐一判断即可.

【详解】解：因为向量，，且与共线

则

即：

所以

对A，函数的最小正周期为，故A正确；

对B，由，得，，所以函数的单调递增区间为，，而，故B错误；

对C，由，，得，，即的对称轴为，，当时，，所以是图象的一条对称轴，故C正确；

对D，，将的图像向左平移个单位得到，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．

【详解】由题，当时，，故点在曲线上．

求导得：，所以．

故切线方程为．

故答案为：．

14．若为实数，则实数___________.

【答案】0

【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的类型求出参数的值；

【详解】解：

因为为实数，所以，解得

故答案为：

15．某公司的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示对呈线性相关关系．

根据上表提供的数据得到回归方程中的，预测广告费支出10万元时，销售额约为 _____________万元.（参考公式：）

【答案】85                              

【分析】求出样本数据中心点，代入，即可求出线性回归直线方程，当时，代入方程求即可.

【详解】由所给表格可知，

所以 ,

即线性回归直线方程为，

当时， ，即销售额大约为85万元，

故填85.

【点睛】本题主要考查了线性回归直线方程的求法，及应用线性回归直线方程进行估计，属于中档题.

16．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，则以该四棱锥外接球的球心为球心且与平面相切的球的体积为________________．

【答案】

【分析】先确定四棱锥外接球的球心，再利用等体积法求球体的半径即可求解问题.

【详解】将四棱锥放入如下图所示的正四棱柱中，可知其外接球的球心为与的交点，因此以该四棱锥外接球的球心为球心且与平面相切，其半径为点到平面的距离.

由题意可知，此正四棱柱的高，即为等腰直角三角形斜边上的高，此高为，

所以由，

即，解得，

所以此球的体积为.

故答案为：

四、解答题

17．在中，角所对的边分别为，且，.

(1)求角的大小；

(2)若，求证：为等边三角形.

【答案】(1)；

(2)见解析.

【分析】（1）利用向量的坐标和向量的数量积的运算求得关于的一元二次方程求得的值，则可求得．

（2）根据已知条件，利用余弦定理可求得的值，和的关系，代入原式可求得，进而判断出,即三角形为等边三角形．

【详解】（1）由，

得．

因为，所以，

解得或．

因为，

所以，

（2）在中，由余弦定理得，

因为，，

所以， ①                

又，所以，

代入①整理得，解得．                

所以，

于是，

所以为等边三角形．

18．设等比数列的前项和为，且，．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合题干条件求解基本量，利用等比数列的通项公式求解即可；

（2）分组求和即可得解.

【详解】（1）设数列的公比为，则

解得，．

故．

（2）由（1）可得．

则

．

19．如图，已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的一点.

(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；

(2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；

【答案】(1)见解析（2）0.5

·

【详解】

(1)证明：∵SA⊥底面ABCD，BDÌ底面ABCD，∴SA⊥BD

∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD

∴BD⊥平面SAC，又BDÌ平面EBD

∴平面EBD⊥平面SAC.   

(2)解：设AC∩BD＝O，连结SO，则SO⊥BD

由AB＝2，知BD＝

SO＝

∴S△SBD＝ BD·SO＝··＝6

令点A到平面SBD的距离为h，由SA⊥平面ABCD, 则·S△SBD·h＝·S△ABD·SA

∴6h＝·2·2·4 Þ h＝ ∴点A到平面SBD的距离为

20．2022北京冬奥会即将开始，北京某大学鼓励学生积极参与志愿者的选拔.某学院有6名学生通过了志愿者选拔，其中4名男生，2名女生.

(1)若从中依次抽取2名志愿者，求在第1次抽到男生的条件下，第2次也抽到男生的概率；

(2)若从6名志愿者中任选3人负责滑雪项目服务岗位，且所选3人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列答案见解析，数学期望：

【分析】（1）设“第1次抽到的男生”为事件A，“第2次抽到男生”为事件B，则“第1次和第2次都抽到男生”为事件AB，然后利用条件概率的公式求解即可，

（2）由题意可得的取值可能为0，1，2，然后求出各自对应的概率，从而可求出分布列和数学期望

【详解】（1）设“第1次抽到的男生”为事件A，“第2次抽到男生”为事件B，则“第1次和第2次都抽到男生”为事件AB.

方法一根据分步乘法计数原理，得，，

所以.

方法二易知，，

所以.

（2）的取值可能为0，1，2

依题意，得

所以的分布列为

.

21．已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，椭圆另一个焦点是，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线过点，且与椭圆交于两点，求的内切圆面积的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用将点的横坐标代入直线，求得点的坐标，代入的坐标运算，求得的值，也即求得点的坐标，将的坐标代入椭圆，结合，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程并写出根与系数关系，由此求得的面积，利用导数求得面积的最大值，并由三角形与内切圆有关的面积公式，求得内切圆的半径的最大值.

【详解】（1）设椭圆方程为，点在直线上，且点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则点.

∵

∴

又

解得

∴椭圆方程为

（2）由（1）知，，过点的直线与椭圆交于两点，

则的周长为，又（为三角形内切圆半径），

∴当的面积最大时，其内切圆面积最大.

设直线的方程为：，，则

消去得，

∴

∴

令，则，∴

令，

当时，，

在上单调递增，

∴，当时取等号，

即当时，的面积最大值为3，

结合，得的最大值为，

∴内切圆面积的最大值为.

【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求解和椭圆的几何性质，考查直线和椭圆相交，所形成的三角形有关最值的计算，属于中档题.

22．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若，，试证：.

【答案】（1）单调增区间为与，减区间为；（2）见解析

【分析】（1）求导，令，可得增区间，令，可得减区间，要注意函数定义域为；

（2）构造函数，，求导后得，在上恒成立，即在上单调递增，利用函数的单调性可得在上恒成立，因为，所以，即①；同理，构造函数，，可证②，结合①②，结论可证.

【详解】（1）由题设知函数的定义域为且

故当时，；当时，；

所以的单调增区间为与，减区间为；

（2）由（1）知：，先证.

构造函数，

则

故在上恒成立，即在上单调递增

所以在上恒成立，

又，得，又且函数在上单调递减

故，即       ①

再证.构造函数，

故在上恒成立，即在上单调递增

所以在上恒成立，

又，得，

又且函数在上单调递增

故，即       ②

结合①②得：

【点睛】本题主要考查利用导数求单调区间以及通过构造函数证明不等式，难度较大.