2023届天津市高三三模数学试题含解析

2023届天津市高三三模数学试题

一、单选题

1．已知，，则“”是“函数是奇函数”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据函数奇偶性的定义和性质得出“函数是奇函数”的等价条件，再根据“” 或；由充分必要条件的定义即可得到结论．

【详解】解：函数的定义域为，

若函数为奇函数，

则，

当时，，若为奇函数，

则，

即，，

即函数为奇函数的充要条件是，

，或，

“”推不出“函数是奇函数”，

“函数是奇函数” 可以得到“”；

则“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件．

故选：．

【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义是解决本题的关键．属于基础题．

2．已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据，为的两个不相等的非空子集，且，知，再判断选项中的命题是否正确．

【详解】解：，，

，，，，

故选：．

3．设、，若（为虚数单位）是一元二次方程的一个虚根，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】分析可知实系数一元二次方程的两个虚根分别为、，利用韦达定理可求得、的值，即可得解.

【详解】因为是实系数一元二次方程的一个虚根，则该方程的另一个虚根为，

由韦达定理可得，所以.

故选：C.

4．函数的大致图像为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】结合函数的定义域，零点，时函数值的符号进行判断.

【详解】由知，，排除C选项；

函数没有定义，排除B；

时，，根据指数函数的单调性可知，，

又弧度是第二象限角，故，于是时，，排除D.

故选：A.

5．某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（    ）

A．的数据较更集中

B．

C．甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于

D．

【答案】D

【分析】根据正态分布曲线的性质和特点求解.

【详解】对于A，Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确；

对于B，因为c与 之间的与密度曲线围成的面积 与密度曲线围成的面积 ，

，正确；

对于C， ， 甲种茶青每500克超过 的概率 ，正确；

对于D，由B知： ，错误；

故选：D.

6．已知函数，，若，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】判断出函数是偶函数，且在区间上单调递增，然后比较、、三个数的大小，由此可得出、、的大小关系.

【详解】，该函数的定义域为，

，所以，函数为偶函数，

当时，，

任取，，则，，所以，，

，，即，

所以，函数在上单调递增，，

，则，即.

故选：A.

【点睛】本题考查函数值的大小比较，解题的关键在于分析函数的单调性与奇偶性，考查推理能力，属于中等题.

7．中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体；对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为（    ）

A．24 B．28 C．32 D．36

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用四棱锥、三棱柱的体积公式结合给定数据建立关系式，求出长方体的体积作答.

【详解】如图，令四棱锥的底面边长为a，高为h，三棱柱的高为b，

依题意，四棱锥的体积，即，三棱柱的体积，即有，

因此，于是长方体的体积，

所以该正四棱台的体积为.

故选：B

【点睛】关键点睛：求几何体的体积，将给定的几何体进行恰当的分割，转化为可求体积的几何体求解是关键.

8．已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程，

再设，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和.

【详解】

设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，，

所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中点.

根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点，

所以MO是的中位线，所以，

又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为.

所以，，双曲线C的渐近线方程为，

设，T到两渐近线的距离之和为S，则，

由，即，

又T在上，则，即，解得，，

由，故，即距离之和为.

故选：A.

【点睛】由平面几何知识，，依据双曲线的定义，可将转化为用a表示，进而的双曲线的标准方程.

9．已知，，若对，，使得成立，若在区间上的值域为，则实数的取值不可能是.

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意首先确定函数的值域，然后数形结合得到关于的不等式，求解不等式可得的取值范围，据此可得选项.

【详解】，其中，

由题意可知：，即：，

则函数的值域为的子集，

设函数的最小正周期为，在区间上的值域为，则：，

即：，解得.

结合选项可知实数的取值不可能是.

故选D.

【点睛】本题主要考查双量词问题的处理方法，三角函数的图像与性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二、填空题

10．在的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中含x项的系数为________．

【答案】

【分析】先写出的展开式的通项，然后利用前三项的系数成等差数列来列方程求得，再令通项中的的次数为1可求得，进而可求出展开式中含x项的系数.

【详解】的展开式通项为，

根据前三项的系数成等差数列得，

解得或（舍去）

令，得，

展开式中含x项的系数.

故答案为：.

11．已知直线平分圆，则圆中以点为中点的弦弦长为________

【答案】

【分析】由圆的标准方程确定圆心坐标和半径，由题意可知该直线经过圆心，求出a，利用几何法求弦长即可求解.

【详解】由，得，

因为直线平分圆C，

所以该直线经过圆心C，得，解得.

则，

当圆心C与该点的连线与弦垂直时，满足题意，

所以圆C以点为中点的弦弦长为.

故答案为：.

三、双空题

12．现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率为________；甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为，的数学期望为，则________．

【答案】     ；     4.

【分析】根据超几何分布，即可求解甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率；当时，X的取值可能是2，3，4；当时，X的取值可能是0，1，2，利用超几何分布分布求出对应的概率，结合数学期望的公式分布计算即可求解.

【详解】由题可知，

甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率；

当时，X的取值可能是2，3，4，

且，，，

则．

当时，X的取值可能是0，1，2，

且，，，

则．

故．

故答案为：；4.

四、填空题

13．已知，，则的最大值为________ .

【答案】

【分析】先根据条件确定取值范围，再根据基本不等式以及二次函数性质求最值.

【详解】因为，

所以，同理可得，

因此，

而

所以，当且仅当时取等号,

即的最大值为.

【点睛】本题考查利用基本不等式以及二次函数性质求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.

五、双空题

14．已知函数，则函数存在_____个极值点；若方程有两个不等实根，则的取值范围是___________

【答案】     4；    

【分析】利用导数研究的单调性和极值，作出的图象；由关于的方程有两个不相等的实数根，得到函数与有一个交点，利用图象法求解．

【详解】对于函数．

当时，．

令，解得：或；令，解得：；

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

而，；，．

当时，．

令，解得：；令，解得：；

所以在上单调递减，在上单调递增．

而；，，．

作出的图象如图所示：

所以函数存在4个极值点.

解关于的方程有两个不相等的实数根,

即关于的方程有两个不相等的实数根，

只有一个实数根，所以关于的方程有一个非零的实数根，

即函数与有一个交点，横坐标．

结合图象可得：或，

所以的取值范围是．

故答案为：4；.

六、填空题

15．设，，是的三个内角，的外心为，内心为．且与共线．若，则___________．

【答案】2

【分析】由O，I分别是三角形的外心和内心，利用与共线得到线段的长度关系，用，表示出相应线段，得到等式.

【详解】

设内切圆半径为r，过O，I分别作BC的垂线，垂足分别为M，D，

则，，

因为与共线，所以，又因为，，

所以，

因为，所以，

即，所以.

故答案为：2

七、解答题

16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA=.

（1）若a=，c=，求b的值；

（2）若角A的平分线交BC于点D，，a=2，求的面积.

【答案】（1）b=4；（2）.

【分析】（1）由求出，再根据余弦定理可求出；

（2）根据得到，根据角平分线定理得到，根据余弦定理求出，根据三角形面积公式求出，从而可得.

【详解】（1）因为tanA=，且，所以， 所以cosA=，

由余弦定理得，所以，

所以，

解得b=4或b=﹣1(舍)，

（2）因为，所以，所以，所以，

因为∠CAD=∠BAD，所以，即，

又因为a=2，由余弦定理得，

解得，

所以，

所以.

【点睛】关键点点睛：熟练掌握余弦定理、三角形的面积公式是解题关键.

17．如图，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，，，.

（1）求证：；

（2）求证：平面；

（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成的角.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)30°.

【详解】试题分析:（1）根据矩形性质得，再由条件，利用线面垂直判定定理得平面，即得结论（2）先根据线线平行得线面平行：平面，平面，再根据线面平行得面面平行：平面平面，即得线面平行（3）过作与的延长线垂直，则根据二面角定义得就是二面角的平面角，再根据面面垂直判定与性质定理得平面，即是直线与平面所成的角，最后通过解三角形得结果

试题解析：证明：（）∵四边形为矩形，∴，

又∵，，平面，，∴平面，

∵平面，∴．

（）∵，平面，平面，∴平面．

∵四边形是矩形，∴，又平面，

平面，∴平面，

又，平面，，∴平面平面，

∵平面，∴平面．

（）过作与的延长线垂直，是垂足，连结．

∵，，∴就是二面角的平面角，

∴，，∴，，

∵，，，∴．

∵平面，平面，

∴平面平面，又平面平面，，

∴平面，

∴是直线与平面所成的角，

∴，∴，

∴直线与平面所成的角为．

18．已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，，数列满足其中．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）求

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）设出数列，的公差和公比，利用已知给的式子，可以求出数列的首项、公差和数列的首项及公比；

（Ⅱ），

，

，

分别求和，最后求出.

【详解】（Ⅰ）设数列的公差为，数列公比为，

，，

，

所以，因此；

（Ⅱ），

，

，

，

得

，所以

.

【点睛】本题考查了求等差数列、等比数列的通项公式，以及求数列的和，分类是解题的关键.

19．已知、为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且面积的最大值为．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与椭圆交于、两点，的面积为，，当点在椭圆上运动时，试问是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，求出的取值范围．

【答案】(1)

(2)为定值

【分析】（1）根据已知条件可求得的值，结合的值，可得出的值，即可得出椭圆的标准方程；

（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理结合三角形的面积公式可得出，可得出点的坐标，将点的坐标代入椭圆的方程，可求得的值；②当直线的斜率不存在时，设，根据三角形的面积公式以及已知条件求出、的值，可得出点的坐标，将点的坐标代入椭圆的方程，可求得的值.综合可得出结论.

【详解】（1）解：当点为椭圆短轴的顶点时，的面积取最大值，可得，

，则，

因此，椭圆的方程为.

（2）解：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，

联立可得，

，可得，

由韦达定理可得，，

，

原点到直线的距离为，，

整理可得，

设，由，可得，．

又因为点在椭圆上，所以有，

整理可得：，

即为．

由，，

可得

，

可得，即有为定值；

②当直线的斜率不存在时，设点，则，

，所以，，可得，

设，由，可得，．

由，可得，整理可得.

综上所述，为定值.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

20．已知函数，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)记，设，为函数图象上的两点，且．

（ⅰ）当，时，若在点处的切线相互垂直，求证：；

（ii）若在点处的切线重合，求的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)（ⅰ）证明见解析；（ii）

【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，判断函数的单调性即可；

（2）（ⅰ）求出的解析式，根据基本不等式的性质判断即可；

（ii）求出的坐标，分别求出曲线在的切线方程，结合函数的单调性确定的范围即可.

【详解】（1），则，

当即时，，在上单调递减，

当时即时，，

令，得或；令，得；

此时在和上单调递减，在上单调递增；

（2）（ⅰ），据题意有，又，

则且，

所以，

当且仅当，即，时取等号．

（ii）要在点处的切线重合，首先需要在点处的切线的斜率相等，

而时，，则必有，即，，

处的切线方程是：，

处的切线方程是：，即，

据题意则，，

设，，，

令，在上恒成立,

则在上单调递增,

则在上，在上单调递增，

则,

令，则在上单调递增,

所以，故在恒成立

即当时的值域是，

故，即为所求．

【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：

（1）转化为函数最值问题，利用导数解决；

（2）转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题；

（3）参变分离法，结合函数最值或范围解决.