2023届四川省宜宾市高三三模数学（理）试题含解析

2023届四川省宜宾市高三三模数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简集合，根据集合的运算和集合的关系的定义依次判断各选项即可.

【详解】因为对数不等式的解集为，

所以，又，

所以，A错误；

，B错误；

，C正确，D错误；

故选：C.

2．已知复数，且，其中a，b是实数，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据复数的概念确定共轭复数，然后利用复数相等确定实部与虚部关系，即可得的值.

【详解】因为，所以，则由得：

，即，

故，解得：.

故选：B.

3．已知数列的前n项和为，则使得最小时的n是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】分与讨论项的正负即可求解.

【详解】当时，数列恒为负，

当时，数列恒为正，

所以当时最小.

故选:B.

4．已知p：，q：表示椭圆，则p是q的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由椭圆方程的定义化简命题，根据充分条件和必要条件的定义即可判断结论.

【详解】若方程表示椭圆，

则，

解得或，

故：或，又p：，

所以p是q的必要不充分条件，

故选：C.

5．已知两个平面，，两条直线l，m，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，，，则

D．若l，m是异面直线，，，，，则

【答案】D

【分析】根据直线、平面的位置关系一一判断求解.

【详解】对于A，若，，则或或与相交，A错误；

对于B，若，，，则与可以相交或平行，B错误；

对于C，若，，，，则与可以相交或平行，C错误；

对于D，因为，，所以存在直线，

因为l，m是异面直线，所以l与相交，

因为，所以，

又因为，，所以，D正确，

故选:D.

6．在黑板上从左到右写2，0，2，3四个数，对两个相邻的数，每次用右边的数减左边的数的差填在这两数中间，从3开始到最左边的2为止，称为填一次.比如填第一次：2，-2，0，2，2，1，3，其中划线部分是填的右边的数减左边的数的差.则这样填2023次之后，黑板上所有数的和是（    ）

A．2023 B．2025 C．2028 D．2030

【答案】D

【分析】通过观察找到填写一次之后数字之和变化的规律即可求解.

【详解】原来四个数的和为2+0+2+3=7，填第一次后，七个数分别为2，-2，0，2，2，1，3，其和为8，

填2次之后，数变为了2，-4，-2，2，0，2，2，0，2，-1，1,2，3，其和为9，

……，每填写一次，黑板上的数字之和增加1，故填2023次之和，黑板上所有数字之和为.

故选：D

7．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将原问题转化为恒成立的问题，然后求解实数a的取值范围即可.

【详解】由题意可得：，

因为函数在区间上单调递增，

所以在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

二次函数开口向下，对称轴为，则函数在区间上单调递减，

当时，，则该函数区间上的值域为，

综上可知：实数的取值范围是.

故选：A

8．同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件甲表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件乙表示“第二枚骰子向上的点数为偶数”，事件丙表示“两枚骰子向上的点数之和为”，事件丁表示“两枚骰子向上的点数之和为”，则（    ）

A．事件甲与事件乙互斥 B．

C．事件甲与事件丁相互独立 D．事件丙与事件丁互为对立事件

【答案】C

【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得.

【详解】用表示第一枚骰子向上的点数，表示第二枚骰子向上的点数，则两枚骰子的情况用数对表示，

则所有可能情况有，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，

，，，，，，共个结果，

对于A：显然事件甲与事件乙可以同时发生，如出现，故事件甲与事件乙不互斥，即A错误；

对于B：，故B错误；

对于C：记事件甲为，事件丁为，则，，

，

所以，即事件甲与事件丁相互独立，故C正确；

对于D：事件丙与事件丁不能同时发生，但是可以都不发生，故事件丙与事件丁互为互斥不对立事件，故D错误；

故选：C

9．已知点是圆上的一个动点，点是直线上除原点外的任意一点，则向量在向量上的投影的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】取点，则，设点，其中，利用向量投影的定义以及三角恒等变换可求得向量在向量上的投影的最大值.

【详解】取点，则，设点，其中，

所以，向量在向量上的投影为

，

若向量在向量取最大值，则，

所以，

，

因为，则，

当且仅当时，等号成立，故向量在向量上的投影的最大值是为.

故选：A.

10．若函数的最小值是，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求时函数的最小值，再根据函数的最小值，得时，，求出m的取值范围.

【详解】当时，，，

，，单调递减，

，，单调递增，，

因为的最小值为，所以当时，，

当时，.

①若，在上单调递减，

，，得；

②若，在上单调递减，在上单调递增，，舍去.

综上.

故选：B.

11．如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得DA，DB，DC三条棱与地面所成角均相等，此时水平面为HJK，如图2所示．若在图2中，则在图1中（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用条件求出，再利用图1和图2中水的体积相等，求出，从而求出结果.

【详解】因为DA，DB，DC三条棱与地面所成角均相等，所以三棱锥为正三棱锥，设正方体的棱长为2，则，所以，则图1中，则，所以.

故选：D.

12．在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若，，则面积的最大值是（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】由正弦定理和和角公式得到，设出点的坐标，根据，得到点C的轨迹，从而确定面积的最大值.

【详解】，，，

，，，

由正弦定理得.

设，，，

∵，

∴，

，

化简得，点C的轨迹是以为圆心，半径为的圆.

过C作，当CD最大时，有最大值，.

故选：C

二、填空题

13．某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩不及格（在90分以下）的学生人数为______.

【答案】150

【分析】根据正态分布曲线的性质即可求解.

【详解】由已知可得，，所以.

又，根据正态分布的对称性可得，

所以.

所以，可估计成绩不及格（在90分以下）的学生人数为.

故答案为：150.

14．音乐是由不同频率的声音组成的．若音1（do）的音阶频率为f，则简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则______．

【答案】0

【分析】根据条件求出和，再求的值.

【详解】相邻两个音的频率比分别为，，，，，，

由题意，，，

.

故答案为：0.

15．已知函数，，若，则的最小值是______.

【答案】

【分析】依题意可得，则，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，即可得解.

【详解】因为，所以，即，，

令，，所以，令，解得，

当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，，

所以的最小值是.

故答案为：

16．已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，离心率为，过作渐近线的垂线交C于A，B两点，点A在第一象限，若，则的周长为______.

【答案】18

【分析】根据离心率求出a,b关系，用m表示双曲线方程，设直线方程，与双曲线方程联立，利用弦长求出m，然后利用双曲线定义即可求解

【详解】因为，所以，所以，

则渐近线，不妨设，，，

则双曲线的方程，

设，，所以AB：，

联立，得，

所以，，

所以，所以，

所以，

所以，所以，所以.

故答案为：18.

三、解答题

17．在中，角，，所对边分别记为，，.条件①：；条件②：.从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.

(1)证明：；

(2)求的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)5

【分析】（1）根据所选式子利用三角恒等变换公式化简，即可得证；

（2）利用正弦定理及三角恒等变换公式将变形为，再利用基本不等式计算可得；

【详解】（1）若选①，∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

又、为的内角，

∴.

若选②，∵，

∴，

∴，

∴，

显然，∴，

∴，

∴，

又、为的内角，

∴，

∴.

（2）由（1）可知，所以，所以，

由正弦定理可得

，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以的最小值为.

18．近几年，在缺“芯”困局之下，国产替代的呼声愈发高涨，在国家的政策扶持下，国产芯片厂商呈爆发式增长．为估计某地芯片企业的营业收入，随机选取了10家芯片企业，统计了每家企业的研发投入（单位：亿）和营业收入（单位：亿），得到如下数据：

并计算得，，，，．

(1)求该地芯片企业的研发投入与营业收入的样本相关系数r，并判断这两个变量的相关性强弱（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，r精确到0.01）；

(2)现统计了该地所有芯片企业的研发投入，并得到所有芯片企业的研发投入总和为268亿，已知芯片企业的研发投入与营业收入近似成正比．利用以上数据给出该地芯片企业的总营业收入的估计值．

附：相关系数，．

【答案】(1)，两个变量线性相关程度较高

(2)该地芯片企业的总营业收入的估计值为亿元．

【分析】（1）由条件数据求，利用关系，

，求值，代入公式求相关系数即可；

（2）设该地芯片企业的总营业收入的估计值为m，由条件，列关系式求即可.

【详解】（1）因为，，

所以，，又，，，

所以，

，

，

所以，

故两个变量线性相关程度较高．

（2）设该地芯片企业的总营业收入的估计值为m，

则，解得，

所以该地芯片企业的总营业收入的估计值为亿元．

19．如图（1），在正三角形中，分别为中点，将沿折起，使二面角为直二面角，如图（2），连接，过点E作平面与平面平行，分别交于.

(1)证明：平面；

(2)点H在线段上运动，当与平面所成角的正弦值为时，求的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)或1

【分析】（1）先证明G为AC的中点，即可证明，再证明≌，从而证明，即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，设，求得或表示出相关点坐标，求出平面平面的一个法向量，结合空间角的向量求法，利用与平面所成角的正弦值为，列式求解，可得答案.

【详解】（1）作DE中点O，连接，

分别为中点，则,

而二面角为直二面角，且平面平面,

平面，故平面，

∵平面平面ABD，平面平面，平面平面,

∴

同理，

由分别为中点，，则四边形为平行四边形，

故，∴F为BC中点，∴G为AC的中点，

而，∴，

∵平面，平面，∴，

而，平面，∴平面，

平面，∴，∴，

由于，GE是公共边，∴≌，

∴，即,

又平面，∴平面.

（2）由（1）知平面，以O为坐标原点，为轴，

建立如图所示空间直角坐标系,

令，则,,,,,

,,,

设，,,故，

∴，∴，

设平面的法向量，，，

则，取，∴，

，而与平面所成角的正弦值为，

∴，解得或1.

20．已知点A在y轴右侧，点B，点C的坐标分别为，，直线AB，AC的斜率之积是3.

(1)求点A的轨迹D的方程；

(2)若抛物线与点A的轨迹D交于E，F两点，过B作于H，是否存在定点G使为常数？若存在，求出G的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）设点，，利用斜率公式结合已知条件化简可得出点的轨迹的方程；

（2）设、，将抛物线的方程与曲线联立，列出韦达定理，求出直线的方程并化简，即可求得直线所过定点的坐标.

【详解】（1）设点，，

因为AB，AC的斜率之积是3，所以.

所以点A的轨迹D的方程为.

（2）由

得，，，

设，，则，，

又因为，，所以，

因为，

所以直线EF的方程为，

即，

所以直线EF过定点，

当G为BP的中点时，因为于H，所以，

所以存在定点，使为常数.

【点睛】求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.

21．已知函数.

(1)讨论函数的极值点个数；

(2)若，的最小值是，求实数m的所有可能值.

【答案】(1)时，恰有一个极值点；时，恰有三个极值点；

(2).

【分析】（1）求出函数的导数，按与分类讨论，并借助零点存在性定理推理作答.

（2）利用（1）中信息，按与探讨利用导数函数的最小值作答.

【详解】（1）函数的定义域是，求导得，

令，求导得，递减，

递增，，

①当时，，递减，递增，有1个极小值点；

②当时，，

令，则，函数在上递增，，即，

当时，，此时，使得，

令，有，令，，

即有在上递增，，函数在上递增，，则，

当时，，此时，使得，

因此递减，递增，

递减，递增，有3个极值点，

所以当时，恰有一个极值点；当时，恰有三个极值点.

（2）由（1）知，①当时，在上单调递减，在上单调递增，

，即，令，

，函数在上单调递增，，则；

②当时，，使得，，使得，

递减，递增，

递减，递增，

其中，则，

显然符合要求，即有，

综上提，

所以m的所有可能值是上的实数.

【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.

22．在平面直角坐标系中，曲线E的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，射线：与E交于A，B两点，射线：与E交于C，D两点．

(1)求曲线E的极坐标方程；

(2)求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）把曲线E的参数方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式求解作答.

（2）把、的极坐标方程分别代入曲线E的极坐标方程，利用韦达定理列式求解作答.

【详解】（1）由消去参数得，即，

把代入圆E的普通方程得圆E的极坐标方程：.

（2）把代入得：，

设点，则，于是，

同理，，

因此，而，即，

所以的取值范围是.

23．已知函数的最大值为2．

(1)求的值；

(2)证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1），根据绝对值三角不等式可求解；

（2）利用“乘1法”证明，又，利用基本不等式证明即可.

【详解】（1），当时取等号，

∵，，∴，

∴由题可知，∴.

（2），

当且仅当时等号成立.

，

当且仅当时等号成立.

∴．