2023届江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）高三三模数学试题含解析

2023届江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）高三三模数学试题

一、单选题

1．已知U＝R，A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x||x－3|＞1}，则A∪＝（    ）

A．{x|1≤x≤4} B．{x|2≤x≤3}

C．{x|1≤x＜2} D．{x|2＜x≤3}

【答案】A

【分析】先化简集合A，B，再利用集合的补集和并集运算求解.

【详解】解：因为，或，

所以，，

故选：A．

2．设向量均为单位向量，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】将两边平方转化为，从而得到与之间的关系.

【详解】若，则，所以，

，所以，满足充分性；

若，两边平方得，所以，满足必要性．

故选：B．

3．某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（    ）

A．120种 B．240种 C．360种 D．480种

【答案】A

【分析】将两个1捆绑在一起，可以设置的不同数字密码有种，计算即可.

【详解】将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有种.

故选：A

4．星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为，其中EP是激光器输出的单脉冲能量，Er是水下潜艇接收到的光脉冲能量，S为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：km2，光斑面积与卫星高度有关）．若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减T满足（单位：dB）．当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2，则此时Γ大小约为（    ）（参考数据：1g2≈0.301）

A．－76.02 B．－83.98 C．－93.01 D．－96.02

【答案】B

【分析】由，可得，代入，由对数的性质求解即可.

【详解】因为，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2，

所以，

则，

故选：B．

5．已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由可得，分别表示出圆柱的侧面积和圆锥侧面积，即可得出答案.

【详解】圆锥的高，如图，

由可得：，∴，

∴,

圆柱侧面积，

圆锥侧面积，.

故选：D．

6．已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则PQ＋PF的最大值为（    ）

A．3 B．6

C． D．

【答案】D

【分析】由椭圆的定义结合题意可得，即可求出PQ＋PF的最大值.

【详解】圆M：的圆心为，

设椭圆的左焦点为，如下图，由椭圆的定义知，，

所以，所以

，

当且仅当三点在一条直线上时取等，

，，，.

故选：D．

7．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用和差角公式展开，得到，即可得到，再利用两角差的余弦公式计算可得.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以，

所以

.

故选：A．

8．已知，（b＞1），则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分别取，，，利用对数运算求解判断.

【详解】若，则，∴，，，故A错．

若，则，∴，，故B错．

若，则，，．

对于C，，故C对，

对于D，，而，故D错，

故选：C．

二、多选题

9．设z为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（    ）

A．若z∈R，则z＝ B．若z2∈R，则z∈R

C．若z2＋1＝0，则z＝i D．若（1＋i）z＝1－i，则|z|＝1

【答案】AD

【分析】设.A选项，，后由共轭复数定义可得答案；B选项，注意到；C选项，注意到；D选项，利用复数除法可得，后由复数模公式可判断选项正误.

【详解】设.

A选项，因z∈R，则，则，故A正确；

B选项，注意到，但，故B错误；

C选项，注意到，则有可能为，故C错误；

D选项，，则，故D正确.

故选：AD

10．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，E为AB的中点，则（    ）

A．BC1∥平面A1EC

B．二面角A1－EC－A的正弦值为

C．点A到平面A1BC1的距离为

D．若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的半径为

【答案】ACD

【分析】A选项，连接，使相交于F，连接EF，通过证明即可判断选项正误；B选项，通过证明平面，可得二面角A1－EC－A的平面角为；C选项，利用等体积法结合可得答案；D选项，利用正弦定理，可得外接圆半径，后可得球的半径.

【详解】A选项，连接，使相交于F，连接EF，因F，E分别为中点，

则，因平面，平面，则BC1平面A1EC，故A正确；

B选项，由题可得平面ABC，又平面ABC，则.又，

，平面，平面，则平面.

又平面，则，结合，可知二面角A1－EC－A的平面角为，则，故B错误；

C选项，设点A到平面A1BC1的距离为d，取AC中点为G，连接BG.

则，

又，，，由余弦定理可得，则，

得.则，故C正确.

D选项，设外接圆半径为，由正弦定理，.

又设三棱锥外接球半径为，则三棱锥外接球与以外接圆为底面的圆柱外接球相同，则.故D正确

故选：ACD

11．已知函数及其导函数的定义域均为，，，且当时，，则（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】BC

【分析】本题根据函数对称性，周期性与导数与单调性相关知识可得结果.

【详解】因，则关于对称，又因，则关于对称，所以的周期为4，

A：因，所以，

当时，，所以，∴，故A错．

B：当时，∴在上单调递减， ，，

因，所以，即，

所以，故B正确.

C：关于对称且关于对称，所以关于对称，即为奇函数，为偶函数，故C正确.

D：因在上单调递减，关于对称，所以在上单调递减，因的周期为4，所以在上单调递减，所以，D错误.

故选：BC.

12．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得.

【详解】对于A：，，

所以，故A错误；

对于B：，，∴，

，故B正确；

对于C：，，∴，故C正确.

对于D：，

，∴，∴，

∴，所以D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．某工厂月产品的总成本（单位：万元）与月长量（单位：万件）有如下一组数据，从散点图分析可知与线性相关．如果回归方程是，那么表格中数据的值为______．

【答案】6.4/

【分析】分别求出工厂总成本和月长量的平均值，代入回归方程，即可求出表格中数据的值.

【详解】由题意及表知，

，，

∵回归方程是，

∴，

∴．

故答案为：6.4.

14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，a1＋a5＝3a2，则_____．

【答案】/

【分析】由，得到与的关系，再利用等差数列的前n项和公式和通项公式求解.

【详解】解：，

∴，

∴，

．

故答案为：

15．已知F1，F2，分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率为____．

【答案】

【分析】根据二倍角公式求出，再求出离心率即可.

【详解】易知MN关于x轴对称，令，，

∴，，∴，∴．

，，，

∴，

∴．

故答案为: .

16．如图，在△ABC所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．已知，且asinA＋csinC＝4asinCsinB，则FH＝_____________．

【答案】

【分析】通过正弦定理化简已知条件，再结合面积公式和余弦定理即可求出的长度.

【详解】由题意，

在中，，，

由正弦定理，，

∵，

∴，

连接如下图所示，

在中，

由余弦定理， ，

又，

∴，

∴．

故答案为：.

四、解答题

17．将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数的图象．

(1)若，求函数在区间上的最大值；

(2)若函数在区间上没有零点，求ω的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）由函数图象变换知识可得，后由单调性可得最值情况；（2）由（1）结合题意可知，.后由

可进一步确认大致范围，后可得答案.

【详解】（1）函数的图象先向右平移个单位长度，则解析式变为：

，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），

则解析式变为.则.

当时，，

因函数在上单调递减，在上单调递增，

，.

∴，∴在区间上的最大值为．

（2），当时，，

要使在上无零点，则，.

，，，，

当时，；当时，，

当时，舍去．

综上：的取值范围为．

18．已知数列满足，，．

(1)证明：是等比数列；

(2)证明：存在两个等比数列，，使得成立．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由构造出，用等比数列定义证明即可；

（2）通过两次构造等比数列，求出的通项公式，根据通项公式得出结论即可.

【详解】（1）由已知，，∴，

∴，

显然与，矛盾，∴，

∴，

∴数列是首项为，公比为的等比数列.

（2）∵，∴，

∴，

显然与，矛盾，∴，

∴∴，

∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴，①，

又∵由第（1）问，，②，

∴②①得，，

∴存在，，两个等比数列，， 使得成立．

19．综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级：原获C等级的学生有的概率提升为B等级：原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．

(1)若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；

(2)从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C等级的概率．

【答案】(1)分布列见解析，

(2)

【分析】（1）求出的所有可能取值及其对应的概率，即可求出ξ的分布列，再由期望公式求出ξ的数学期望；

（2）记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C”，由条件概率公式代入求解即可.

【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，3，

，，

，，

∴的分布列如下：

．

（2）记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C”，

．

20．如图，三棱锥P－ABC的底面为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2．D，E分别为AC，BC的中点，PD⊥平面ABC，点M在线段PE上．

(1)再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并给予证明；

(2)在（1）的条件下，求直线BP与平面MBD所成的角的正弦值．

条件①：；

条件②：∠PED＝60°；

条件③：PM＝3ME：

条件④：PE＝3ME．

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）如图，建立以D为原点的空间直角坐标系，设，，由平面MBD⊥平面PBC，可得两平面法向量互相垂直，即可得，据此可知可选择①④或②③；

（2）由（1）所建立空间直角坐标系及平面MBD法向量，利用向量方法可得答案.

【详解】（1）因PD⊥平面ABC，平面ABC，平面ABC，则，

又由题可知，则如图，建立以D为原点的空间直角坐标系，

则，，，，

设，.

则，，，，.

故.

设平面MBD法向量为，

则，令，可得；

设平面PBC法向量为，

则，可令，可得.

要使平面MBD⊥平面PBC，需满足.

注意到条件①，

PD⊥平面ABC，平面ABC，，又由题可知，则条件②，

条件③，条件④.

则当条件①④成立或条件②③成立时，都有，即可以使平面MBD⊥平面PBC；

（2）由（1），当选择①④时，，，.

则，平面MBD法向量为，

设BP与平面MBD所成角为，则；

当选择②③时，，，.

则，平面MBD法向量，

设BP与平面MBD所成角为，则；

.

21．已知抛物线与都经过点．

(1)若直线与都相切，求的方程；

(2)点分别在上，且，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意求得，，利用导数的几何意义，求得切线的方程，根据为曲线的公切线，联立方程组，结合，进而求得的方程；

（2）设，，根据，列出方程得到关系式，分类讨论，即可求解．

【详解】（1）因为曲线都过点，所以，解得，

即，

设直线与曲线相切于点，令，可得，

则切线的斜率，所以切线方程为，即，

由，整理得，

因为为曲线的公切线，所以，解得，

所以直线的方程为，即．

（2）设，，又，

，

所以，可得，

两式相减得到，

当时，，，此时，，

则，，且，

可得，所以，

所以；

当时，，此时方程无解，（舍去），

综上，可得的面积为．

22．已知函数，．

(1)若，证明：当时；

(2)当时，，求a的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)．

【分析】（1）令，对求导，得到的单调性可证得，令，对求导，可得在上单调递增，即可证得，即可证得；

（2）由题意分析可得要使恒成立即时，恒成立，通过放缩变形证明恒成立，即可求出a的取值范围.

【详解】（1）当时，，所以即证：，，

先证左边：，令，，

在单调递增，∴，即．

再证右边：，令，

，

∴在上单调递增，

∴，即，

∴时，．

（2），

令，，

因为，所以题设等价于在恒成立，

由（1）知，当时，，于是：

①当时，恒成立；

②当时，等价于，

（i）当时，，

令，因为在上递增，

且，所以存在，使，

所以当，，即，不合题意；

(ii)当时，

令，，

则，

，

所以在上单调递增，

所以，所以，所以.

综上：a的取值范围为．

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式或在不等式中求参数的取值范围的问题，常见的几种方法有：

（1）直接构造函数法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.