2023届四川省成都市简阳市阳安中学高三下学期三诊模拟考试数学（文）试题含解析

2023届四川省成都市简阳市阳安中学高三下学期三诊模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据对数不等式求解,再求解即可.

【详解】因为,故.

故选：C.

2．（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的模长公式化简分子，再运用复数的除法运算进行化简求值即可．

【详解】

故选：A．

3．已知直线，，若，则的值为（    ）

A． B． C．或 D．或4

【答案】A

【解析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，由此可解得实数的值.

【详解】已知直线，，且，

则，解得.

故选：A.

【点睛】结论点睛：利用一般式方程判定直线的平行与垂直：

已知直线和直线.

（1）且；

（2）.

4．某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm）均在区间内，按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（    ）

A．20 B．40 C．60 D．88

【答案】C

【分析】根据频率分布直方图计算出“优质苗”的占比,再乘以100可得结果

【详解】由频率分布直方图可知，“优质苗”的占比为，

因此，所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为.

故选：C.

5．命题“”，命题“”，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】先根据命题求出的范围，再根据充分性和必要性的定义得答案.

【详解】对于命题，，得，

可以推出，但是不能推出，

p是q的充分不必要条件.

故选：A.

6．已知数列为各项均为正数的等比数列，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出的值，可得出等比数列的通项公式，再利用对数的运算性质以及等差数列的求和公式可求得所求代数式的值.

【详解】设等比数列的公比为，则，，

整理可得，解得，所以，，

所以，.

故选：B.

7．如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出青铜器的上面、中间和下面几何体的体积，即得解.

【详解】解：青铜器的最上面的圆柱的体积，

中间的圆台的体积为，

最下面的圆台的体积为.

所以该青铜器的体积为.

故选：A

8．在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的3倍，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用面积之比可得，，作边上高，垂足为，即可求.

【详解】

因为，

即，在中，作边上高，垂足为，

则，

故选:A.

9．已知函数，，若存在2个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】题目转化为函数的图像与直线有2个交点，画出图像，根据图像知，解得答案.

【详解】存在2个零点，故函数的图像与直线有2个交点，

画出函数图像，如图，平移直线，可以看出当且仅当，即时，

直线与函数的图像有2个交点.

故选：A

10．在中，，，为的中点，将绕旋转至，使得，则三棱锥的外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】推导出平面，计算出的外接圆的直径，可得出三棱锥的外接球直径为，再利用球体表面积公式可求得结果.

【详解】如下图所示：

圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心.

翻折前，在中，，，为的中点，则，

且，

翻折后，则有，，

又因为，、平面，所以，平面，

由已知，则是边长为的等边三角形，

将三棱锥置于圆柱上，使得的外接圆为圆，

所以，的外接圆直径为，

所以，三棱锥的外接球直径为，则，

因此，三棱锥的外接球表面积为.

故选：C.

11．已知是坐标原点，是双曲线的左焦点，平面内一点满足是等边三角形，线段与双曲线交于点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设双曲线的右焦点为，根据是等边三角形得，再由可得，在中利用余弦定理可得，再由双曲线定义可得答案.

【详解】设双曲线的右焦点为，连接，

因为是等边三角形，所以，

，又，所以，

在中，，

则，则，则.

故选：A.

12．已知函数,则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】化简，得到，令，令，求得，得到在上单调递增，且函数为偶函数，进而得到上单调递减，把不等式转化为，列出不等式，即可求解.

【详解】由函数，

所以，令，

可得

令且，

可得在上恒成立，所以，

所以在上单调递增，

又由，

所以函数为偶函数，则在上单调递减，

又由，即，即，

整理得，解得或，

即不等式的解集为.

故选：B.

二、填空题

13．已知向量，，则的值为______.

【答案】

【分析】由坐标运算结合模长公式求解即可.

【详解】因为，所以.

故答案为：

14．已知等差数列中，，则数列的通项公式是___________.

【答案】/

【分析】设公差为d，由基本量代换列方程组，解出，即可得到通项公式.

【详解】设等差数列的公差为d，由题意可得：，

解得：，

所以.

故答案为：.

15．曲线在点处的切线方程为______．

【答案】

【分析】利用导数几何意义求解即可.

【详解】，

，

则切线方程为：，即.

故答案为：

三、双空题

16．已知椭圆的长轴长为，离心率为，为上的两个动点，且直线与斜率之积为（为坐标原点），则椭圆的短轴长为_______，_________.

【答案】         

【分析】根据椭圆长轴长、离心率可求得，由此可得短轴长及椭圆方程；设，，根据斜率关系，结合两角和差公式可整理得到，利用两点间距离公式，结合诱导公式和同角三角函数关系可求得结果.

【详解】椭圆的长轴长为，，又离心率，

，椭圆的短轴长为，椭圆；

设，，

，，

.

故答案为：；.

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质，求解距离平方和的关键是能够通过三角换元的方式，结合斜率关系得到所满足的关系式，进而结合诱导公式来进行求解.

四、解答题

17．已知数列前n项和为．从下面①②中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分．

①数列是等比数列，，且成等差数列；

②数列是递增的等比数列，，；

(1)求数列的通项公式；

(2)已知数列的前n项的和为，且．证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）选①：根据等比数列基本量的计算，求出首项及公比即可求解；

选②：根据等比数列的性质有，结合已知求出即可得公比，从而得答案；

（2）由（1）根据对数的运算性质求出，然后利用裂项相消求和法求出即可证明.

【详解】（1）选①：因为数列是等比数列，设公比为，，且，，成等差数列，

所以，解得，所以；

选②：因为数列是递增的等比数列，，，

所以，所以，，

所以；

（2）由（1）知：，且，

所以.

18．2022年12月2日晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，两个乘组移交了中国空间站的钥匙，6名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有人驻留模式．为调查大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经计算，有97.5%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关，但没有99%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关．

附表：

(1)求n的值．

(2)现采用分层抽样的方法在调查结果“了解中国航天事业”的学生中抽取5人，再从这5人中抽取3人进行第二次调查，以便了解学生获得中国航天事业信息的渠道，则至少有2名男生被第二次调查的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出，再对照临界值表结合题意可得，即可得解；

（2）先根据分层抽样求出所抽取5人中男生和女生的人数，再根据古典概型即可得解.

【详解】（1）完成列联表如图所示：

，

由题意可得，解得，

又因，所以；

（2）由（1）得了解中国航天事业的学生有人，

其中男生有人，女生有人，

则所抽取5人中男生有人，女生有人，

则至少有2名男生被第二次调查的概率.

19．在四棱锥中，底面是边长为6的菱形，，，.

(1)证明：平面；

(2)若，M为棱上一点，满足，求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）连接交于，连接，利用线面垂直的判定推理作答.

（2）求出点到平面的距离，再利用等体积法求解作答.

【详解】（1）在四棱锥中，连接交于，连接，如图，因为底面是菱形，则，

又是的中点，，则，而平面，

所以平面.

（2）连接，由平面，平面，则，

而，平面，因此平面，

又是边长为6的菱形，，则，面积，

过作交于，而，且，

则，显然，于是，面积，

令点到平面的距离为，又平面，由，

即，得，解得，

所以点到平面的距离为.

20．已知斜率存在的直线过点且与抛物线交于两点.

(1)若直线的斜率为1，为线段的中点，的纵坐标为2，求抛物线的方程；

(2)若点也在轴上，且不同于点，直线的斜率满足，求点的坐标.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题知直线的方程，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解；

（2）设出直线的方程及的坐标，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出将韦达定理代入，化简求出参数即可得点的坐标.

【详解】（1）因为直线的斜率为1且过点，

所以直线的方程为：，

设，

由，得：，

所以，

所以，

因为为线段的中点，的纵坐标为2，

所以，

所以抛物线的方程为：.

（2）设直线的方程为：，，

，得：，

所以，

由

由，

所以，

即，

所以，

所以点的坐标为.

21．已知函数（a为非零常数），记（），．

(1)当时，恒成立，求实数a的最大值；

(2)当时，设，对任意的，当时，取得最小值，证明：且所有点在一条定直线上．

【答案】(1)

(2)证明见解析.

【分析】（1）转化为时求，令，利用导数求出可得答案；

（2）求出，，可得，时，，当时，，利用导数求出时，取得最小值，且，可得答案；

【详解】（1）由，，

令，，

时，，时，

∴在上单调递减，上单调递增，

∴，

∴，

即的最大值为；

（2）解：，∴，，

，，

时，，

当时，，

，令，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

∴时，取得最小值，

且，

∴为在定直线上运动；

【点睛】方法点睛：对于求参数的取值范围的问题，可以转化为求函数最值的问题，本题考查了利用导数解决求参数、函数的最值、函数零点的问题，考查了学生分析问题、解决问题以及运算的能力，属于难题.

22．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为（t为参数）.

(1)若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)过点向直线l作垂线，垂足为Q，说明点Q的轨迹为何种曲线.

【答案】(1)，

(2)的轨迹为以点为圆心，为半径的圆

【分析】（1）根据直线的参数方程和求解；利用，求解；

（2）在时直接求出Q的坐标，在时，写出过点P且与直线l垂直的直线方程，与直线l的方程联立消参求得Q的轨迹方程，然后检验，进而得到答案.

【详解】（1）解：由直线的参数方程为

∵，

∴直线l的普通方程为，即.

由得，

因为，，

所以曲线的直角坐标方程为.

（2）若，由，可知直线l的方程为，

于是过点向直线l作垂线，垂足为.

若，由直线l的参数方程可知直线l的斜率为，

∴过点且与直线l垂直的直线方程为.

联立方程组整理得，

∴点的轨迹方程为，

即，

显然，点也在上，

所以动点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆.

23．已知函数.

(1)解不等式；

(2)若在上恒成立，求实数的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分、、三种情况解不等式即可；

（2）由，可得，由可得在上恒成立，进而求解.

【详解】（1）因为，

所以解不等式，

而，

当时，不等式为，解得；

当时，不等式为不成立，不等式无解；

当时，不等式为，解得.

综上所述，不等式的解集为.

（2）由，可得，

因为，当且仅当，即或时等号成立.

所以在上恒成立，

故要使在上恒成立，只须，

即实数的最小值为.