2023届北京市朝阳区高三一模数学试题查漏补缺练习（一）含解析

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2023届北京市朝阳区高三一模数学试题查漏补缺练习（一）

一、单选题
1．已知集合，集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简，再由集合并集的运算即可得解.
【详解】由题意，，
所以.
故选：C.
2．已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】求解集合B，然后根据交集的定义计算即可.
【详解】解：集合或，又集合，
所以.
故选：C
3．已知集合，集合，则集合（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用一元二次不等式以及指数不等式的解法化简集合A、B，再根据并集的定义求解即可．
【详解】集合，
集合，
集合．
故选：B．
4．设集合，若，则实数m=（    ）
A．0 B． C．0或 D．0或1
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案.
【详解】设集合，若，
，或，
当时，，此时；
当时，，此时；
所以或.
故选：C
5．若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD.
【详解】，，即，故A正确；
取，则不成立，故B错误；
取，则不成立，故C错误；
取，则，故D错误.
故选：A
6．已知，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用特殊值法，结合已知逐一判断即可.
【详解】因为，所以，选项A正确；
当时，显然满足，但，选项B不正确；
当时，显然满足，但，选项C不正确；
当时，显然满足，但是，选项D不正确，
故选：A
7．已知，下列不等式正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】A作差法比较大小；B特殊值法，令即可判断正误；C根据指数函数的单调性判断大小关系；D令，利用对数函数的性质判断即可.
【详解】A：，又，则，，故，即，错误；
B：当时，不成立，错误；
C：由，则，正确；
D：由，即，当时有，错误.
故选：C
8．设，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】逐一判断，对A取，，可得结果；对B取，可得结果；对C利用不等式的性质判断即可；对D取可判断.
【详解】解：A.取，，则不成立；
B.取，，则不成立；
C.∵，∴，正确；
D.取，∵，∴，因此不成立.
故选：C.
9．设，若，则（    ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】先求出展开式第项，再由列出方程，即可求出的值.
【详解】展开式第项，
∵，∴，
∴.
故选：A.
10．在二项式的展开式中，的系数为（　　）
A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80
【答案】A
【分析】根据二项展开式的通项，可得，令，即可求得的系数，得到答案.
【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，
令，可得，
即展开式中的系数为，故选A.
【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
11．在的展开式中，若二项式系数的和为32，则x的系数为（　　）
A．﹣40 B．﹣10 C．10 D．40
【答案】D
【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于1，求出的值，即可求得的系数．
【详解】根据的展开式中，二项式系数的和为 ．
而 的展开式中，通项公式为
令，求得 ，可得展开式中的系数为
故选D．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
12．在的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含项的系数等于（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据展开式的第三项的二项式系数最大可得，再由二项式展开式的通项公式，即可得答案；
【详解】由题意得，
，
当时，，
含项的系数等于，
故选：A.
【点睛】本题考查二项式定理的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意二项式系数与系数的区别.
13．已知点，．若直线上存在点P，使得，则实数k的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将问题化为直线与圆有交点，注意直线所过定点与圆的位置关系，再应用点线距离公式列不等式求k的范围.
【详解】由题设，问题等价于过定点的直线与圆有交点，

又在圆外，所以只需，可得.
故选：D
14．当曲线与直线有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出所表示的半圆，结合直线所过的定点，应用数形结合法判断直线与半圆有两个相异的交点，直线的位置情况，即可求k的范围.
【详解】由题设，表示圆的半圆，又直线过定点，
由下图知：k的取值范围在直线与半圆左侧相切时斜率(不含)、直线过时斜率之间.

当在半圆左侧相切时到直线距离等于半径，即，可得.
当直线过时，；
综上，要使直线与半圆有两个相异的交点，k的取值范围是.
故选：C
15．设，若直线与圆相切，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用直线与圆相切的性质可得，的关系式，再借助均值不等式求解能求出的取值范围．
【详解】,直线与圆相切，
圆的圆心，半径，
则，整理得，
，
，，
解得或，
的取值范围是
故选：D
16．已知直线l：和圆C：，若存在三点A，B，D，其中点A在直线l上，点B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，则实数m的取值范围是（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断出正方形的边长为1，对角线为.把题意转化为存在点A使.利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】圆C的半径为1，所以，即正方形的边长为1，对角线为，即.
设点C到直线l的距离为d.
存在点A在直线l上，点B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，相当于存在点A使.
所以.
即，解得：.
故选：C
17．已知函数，则“”是“”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.
【详解】因为定义域为，，
所以为奇函数，且为上的增函数.
当时，，所以，
即“”是“”的充分条件，
当时，，由的单调性知，
，即，
所以“”是“”成立的必要条件.
综上，“”是“”的充要条件.
故选：C
18．设，，则“”是“”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据基本不等式判断充分性，根据举反例说明必要性不成立，即可得结论.
【详解】因为，，则，当且仅当时等号成立，故充分性成立；
若，满足，但，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
19．“”是“”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合指数函数的单调性即可得出答案.
【详解】因为指数函数单调递增，
由可得：，充分性成立，
当时，，但不一定，必要性不成立，
故选：A
20．已知函数的定义域为，则“存在，对任意，均有”是“有最大值”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据最大值的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】只有当∃M，，且，使得，这时有最大值，
反之，若有最大值，则存在，对任意，均有成立.
所以函数的定义域为，则“存在，对任意，均有”是“有最大值”的必要不充分条件.
故选：B
21．过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．或2
【答案】B
【分析】由题意易得所以，从而，再由求解.
【详解】解：在中，因为，
所以，则，
所以，
故选：B
22．双曲线：的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线C的右支在第一象限的交点为A，与y轴的交点为B，且△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】为等边三角形，则，，故，得到离心率.
【详解】为等边三角形，则，
中，，故，故.
故选：B
23．若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线渐近线和离心率的公式即可.
【详解】渐近线方程为；
；
；

故选：A.
24．已知双曲线的左右焦点分别为，M双曲线C左支上一点，且，点F1关于直线对称的点在y轴上，则C的离心率为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由双曲线的定义结合离心率的计算公式，即可得到结果.
【详解】
设点关于直线对称的点为P，连接，则为正三角形，∴
又，∴，
，由双曲线的定义知，解得，
故选:A．
25．在长方体中，与平面相交于点M，则下列结论一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平面交线的性质可知，又平行线分线段成比例即可得出正确答案，对于ABD可根据长方体说明不一定成立.
【详解】如图，连接，交于，连接，，

在长方体中，平面与平面的交线为,
而平面，且平面，
所以，
又，，
所以，故C正确.
对于A，因为长方体中与不一定垂直，故推不出，故A错误；
对于B，因为长方体中与不一定相等，故推不出，故B错误；
对于D，由B知，不能推出与垂直，而是中线，所以推不出，故D错误.
故选：C
26．如图，设分别是长方体棱上的两个动点，点在点的左边，且满足，有下列结论：

①平面；
②三棱锥体积为定值；
③平面；
④平面平面；
其中，所有正确结论的序号是（    ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【分析】根据线面位置关系、面面位置关系判断命题①③④，由棱锥体积公式判断②．
【详解】与显然不垂直，而，因此与显然不垂直，从而平面是错误的，①错；
，三棱锥中，平面即平面，到平面的距离为是定值，中，的长不变，到的距离不变，面积为定值，因此三棱锥体积是定值，②正确；
平面就是平面，而与平面相交，③错；
长方体中平面，平面，所以平面平面，即平面平面，④正确．
故选：C．
27．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．//
B．
C．//平面
D．平面
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.
【详解】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

令，是底面的中心，分别是的中点，
则，，，
对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；
对于B，因，则，即，B正确；
对于C，设平面的法向量为，则，令，得，
，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；
对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.
故选：B
28．如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则下列说法不正确的是（    ）

A．与不可能平行
B．与是异面直线
C．点的轨迹是一条线段
D．三棱锥的体积为定值
【答案】A
【分析】设平面与直线交于，连接，，则为的中点，分别取，的中点，，连接，，，证明平面平面，即可分析选项ABC的正误；再由，得点到平面的距离为定值，可得三棱锥的体积为定值判断D．
【详解】解：设平面与直线交于，连接，，
则为的中点，分别取，的中点，，
连接，，，
如图.

∵，平面，平面，
∴平面，同理可得平面，
又、是平面内的两条相交直线，
∴平面平面，而平面，∴平面，
得点的轨迹为一条线段，故C正确；
并由此可知，当与重合时，与平行，故A错误；
∵平面平面，和平面相交，∴与是异面直线，故B正确；
∵，则点到平面的距离为定值，∴三棱锥的体积为定值，故D正确．
故选：A．
29．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（    ）
A．的一个周期为 B．的最大值为
C．的图象关于直线对称 D．在区间上有3个零点
【答案】D
【分析】A.代入周期的定义，即可判断；
B.分别比较两个函数分别取得最大值的值，即可判断；
C.代入对称性的公式，即可求解；
D.根据零点的定义，解方程，即可判断.
【详解】A.，故A错误；
B.，当，时，取得最大值1，，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B错误；
C.，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；
D.，即，，
即或，解得：，
所以函数在区间上有3个零点，故D正确.
故选：D
30．已知函数满足，则函数是（    ）
A．奇函数，关于点成中心对称 B．偶函数，关于点成中心对称
C．奇函数，关于直线成轴对称 D．偶函数，关于直线成轴对称
【答案】D
【分析】，求得，再根据余弦函数的性质即可判断.
【详解】
因为，即
所以，即，
则，
所以，
令
对于AC，因为，所以函数是偶函数.AC错误；
对于BD，，所以函数关于直线成轴对称，B错误D正确.
故选：D
31．记函数的最小正周期为T，为的导函数．若，为偶函数，则的最小值为（    ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】对求导，由题设可得求得，再由为偶函数，求得，即可得最小值.
【详解】由且，则，
又，故，则，得，
由为偶函数，即为偶函数，
所以且，则，，
当时的最小值为2.
故选：B
32．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象，若，则的值不可能为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式和三角函数平移可求得；根据最值可确定，通过讨论的取值可得到选项.
【详解】，，
的最小正周期，
，，又，
不妨设
与分别对应的最大值点和最小值点，
；
当时，；当时，；当时，
故选：C
33．如图，圆M为的外接圆，，，N为边BC的中点，则（    ）

A．5 B．10 C．13 D．26
【答案】C
【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解.
【详解】 是BC中点，
，
M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，
，
同理可得，
.
故选：C
34．已知O是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（    ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】由已知可得且，根据已知投影向量可得，进而有，再由即可得求结果.
【详解】由，故为中点，又O是的外心，
易知：，且，

由在上的投影向量，即，
所以，
由图，.
故选：A
35．已知点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，则的最小值为（    ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题可设，，然后根据向量数量积的坐标表示及三角函数的性质即得.
【详解】因为点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，

则，设，，
所以，
所以，
即的最小值为
故选：D.
【点睛】方法点睛：向量数量积问题常用方法
一是利用基底法，结合平面向量基本定理及数量积的定义求解；
二是利用坐标法，结合图形建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积.
36．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】计算得出，求出的取值范围，由此可求得的取值范围，从而可得最小值.
【详解】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形，
当点位于正六边形的顶点时，取最大值，
当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即，
所以，.

所以，.
的最小值为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
37．已知项数为的等差数列满足，．若，则k的最大值是（    ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【分析】通过条件，，得到，
再利用条件得到，
进而得到不等关系：，从而得到的最大值.
【详解】由，，得到，
即，
当时，恒有，即，
所以，
由，得到，
所以，，
整理得到：，所以.
故选：B
38．对任意，若递增数列中不大于的项的个数恰为，且，则的最小值为（    ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】先由条件得出，进而结合等差数列前n项和列出不等式，解不等式即可.
【详解】由递增数列中不大于的项的个数恰为可知，又，故，即，解得或，又，故的最小值为10.
故选：C.
39．设等差数列的前n项和为．若，则下列结论中正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据，可得，，从而可判断AB，举出反例即可判断C，根据等差数列的性质结合基本不等式即可判断D.
【详解】解：因为，
所以，故A错误；
，所以，
则公差，故B错误；
所以等差数列为递增数列，
则，，
则，
所以，
所以，故D正确；
对于C，当时，
，。
此时，故C错误.
故选：D.
40．已知数列的通项公式为，那么满足的整数
A．有3个 B．有2个 C．有1个 D．不存在
【答案】B
【详解】因为，检验，时，
，不合题意.
时，
，满足题意
由对称性知，.所以，均满足题意