2023届广东省惠州市高三下学期一模试题数学

惠州市2023届高三第一次模拟考试

数学试题参考答案与评分细则

一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.

1.【解析】两复数相乘为实数，则复数复数的虚部为-2.故选.

2.【解析】由得，则其元素个数为3，故选.

3.【解析】因为，所以该数学成绩的分位数为第2个数据70，选.

4.【解析】由图2知无水部分体积与有水部分体积比为，所以图1中高度比为，得.选.

5.【解析】因为，所以，即，所以，即，所以，故选.

6.【解析】由图4可知，“心形”关于轴对称，所以上部分的函数为偶函数，排除；又“心形”函数的最大值为1，而选项中时，，排除.故选.

7.【解析】由已知得总项数7项，则，展开式的通项，当是偶数时该项为有理项，从中任取2项，则都是有理项的概率为.选.

8.【解析】对于A，由函数是“类奇函数”，所以，且，所以当时，，即，故A正确；

对于B，由，即随的增大而减小，若，则成立，故B正确；

对于，由在上单调递增，所以，在上单调递减，设，在上单调递增，即在上单调递增，故C错误；

对于D，由，所以，所以函数也是“类奇函数”，所以D正确；故选.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.【解析】对于，由于，则，故正确；

对于，故，故错误，

对于的方差是3，则的方差不变，故正确；

对于回归方程必过样本中心点，则，解得，故错误，

10.【解析】，则

对于，故正确，

对于，且，故正确，

对于，故错误，

对于，故正确，故选：.

11.【解析】数形结合作出抛物线图象，由过焦点直线斜率及抛物线定义可得，

故错误；由图知为钝角知错误，故选：.

12.【解析】对于，连接，可证得四点共面，

又可证得，所以平面，故错误；

对于，三棱锥的外接球半径，

三棱锥的外接球的表面积为，故正确；

对于，

，故正确；

对于，设二面角的平面角为，则，所以，于是，

，且

，故正确.故选.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.    14.    15.（答案一般形式）；    16.

13.【解析】设公差为，故.故答案为：.

14.【解析】因为弦将圆分成两段弧长之差最大，此时垂直，

由圆半径为，由勾股定理得.

15.【解析】由，故，

令，即，【答案的一般形式】，对取特殊值即可，

取，得；取，得（答案不唯一）.

16.【解析】由，得，设，由，

得点的轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不含右顶点），因为是的角平分线，且为的内心，设，

由内切圆的性质得，，得，在上的投影长为，则在上的投影向量为.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分，其中第一小问6分，第二小问4分）

【解析】（1）当时，，解得，

当时，.

可得，

整理得：，

从而，

又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列；

所以，

所以，

（2）由（1）得，所以，所以，

，.

所以

18.（本小题满分12分，其中第一小问5分，第二小问7分）

【解析】（1）【解法一】

在中，由余弦定理.

得，即①，

同理，在中，，

即.②

①-②得，

所以当长度变化时，为定值，定值为1

【解法二】

在中，由余弦定理

得，即，

同理，在中，，

所以.

化简得，即

所以当长度变化时，为定值，定值为1.

（2）.

令（或写出，

所以.

所以，即时，.

有最大值为14.

19.（本小题满分12分，其中第一小问4分，第二小问8分）

【解析】（1）【解法一】连接，由已知得，，且，所以四边形是平行四边形，..

即，

又平面平面，

所以平面.

【解法二】连接，由已知得，

，即，

又平面平面.

所以平面.

（2）取中点，连接，由题易得是正三角形，所以，即，.由于平面.分别以为轴，建立如图空间直角坐标系，

假设点存在，设点的坐标为，

设平面的法向量，则，

即，可取，.

又平面的法向量为，

所以，解得：

由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即.

故上存在点，当时，二面角的余弦值为..

20.（本小题满分12分，其中第一小问4分，第二小问8分）

【解析】（1）当时，，.

，

又切点为

切线方程为，化简得.

（2）【解法一】当时，恒成立，故，

也就是，即，

由得，

令，则，

令，则，

可知在单调递增，则，即在恒成立，.

故在单调递增.

所以，故在恒成立.所以在单调递增，而，所以，

故.

【解法二】因为当时，恒成立，故

由，

令，得或，

①当，即时，在上恒成立，

在上单调递减，，

当时合题意，当时不合题意；.

②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，

设，则恒成立，在上单调递减，

，即，合题意；..

综上，.

【解法三】因为当时，恒成立，也就是，

即恒成立，

令

恒成立，在上单调递增，.

.

①当，即时，在上单调递增，

，合题意；

②当，即时，存在，使得，即.

在上单调递减，在上单调递增，..

，不合

题意.

综上，.

21.（本小题满分12分，其中第一小问4分，第二小问8分）

【解析】（1）双曲线的渐近线方程为和，.

所以有分

由题意可得，

又，则，解得分则双曲线的方程为..

（2）【解法一】当直线斜率不存在时，易知此时，直线，

不妨设，得；

当直线斜率存在时，设直线的方程为，

与双曲线的方程联立，可得，

直线与双曲线的右支相切，可得，故

设直线与轴交于，则.

又双曲线的渐近线方程为，

联立，可得，.

同理可得，

综上，面积为2..

【解法二】当直线斜率不存在时，易知此时，直线，

不妨设，，得；.

当直线斜率存在时，设直线的方程为，

与双曲线的方程联立，可得，

直线与双曲线的右支相切，可得，故

设直线与轴交于，则.

又双曲线的渐近线方程为，

联立，可得，

同理可得，

设渐近线的倾斜角为角则所以.又

所以.

综上，面积为2.

22.（本小题满分12分，其中第一小问4分，第二小问8分）

【解析】（1）设第1天选择米饭套餐”，=“第2天选择米饭套餐”，

“第1天不选择米饭套餐”..

根据题意，且

由全概率公式，得..

（2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，

根据题意.

由全概率公式，得

即，因此.

因为，所以是以为首项，为公比的等比数列..

（ii）由（i）可得.

当为大于1的奇数时，...

当为正偶数时，..

因此当时，.