2023届湖南省长沙市雅礼中学高三一模数学试题含答案

这是一份2023届湖南省长沙市雅礼中学高三一模数学试题含答案，共22页。
  雅礼中学2023届模拟试卷（一）数学注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上.2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的．1. 已知集合，，则（    ）A.  B. C. 且 D. 2. 下列说法正确的是（    ）A. 若，则与的方向相同或者相反B. 若，为非零向量，且，则与共线C. 若，则存在唯一的实数使得D. 若，是两个单位向量，且．则3. 函数的最小正周期为（    ）A.  B.  C.  D. 不能确定4. 给定一组数据：1，3，2，1，5，则这组数据的方差及第40百分位数分别是（    ）A. 5，2 B. ，2 C. ，1.5 D. 5，1.55. 已知，则（    ）A. 1024 B. 1023 C. 1025 D. 5126. 已知数列满足，，若表示不超过的最大整数，则（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 57. 若，则当，1，2，…，100时（    ）A.  B. C.  D. 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A.  B. C.  D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知复数z共轭复数为，则下列说法正确的是（    ）A. B. 一定是实数C. 若复数，满足．则D. 若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数10. 已知不恒为0的函数，满足，都有．则（    ）A.  B. C. 为奇函数 D. 为偶函数11. 如图，已知双曲线：的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B，连接，，与双曲线左支交于点P，与渐近线分别交于点M，N，则（    ）A. B. C. 过的双曲线的弦的长度的最小值为8D. 点B到两条渐近线的距离的积为12. 如图，正方体的棱长为3，E为AB的中点，，动点M在侧面内运动（含边界），则（    ）A. 若∥平面，则点M的轨迹长度为B. 平面与平面ABCD的夹角的正切值为C. 平面截正方体所得的截面多边形的周长为D. 不存在一条直线l，使得l与正方体的所有棱所成的角都相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 计算：________．14. 六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有________种排法．15. 函数的最小值为________．16. 如图，已知抛物线C：，圆E：，直线OA，OB分別交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知正数数列，，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列前项和．18. 在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，求BC边上的高AD的最大值．19. 斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．（1）在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD长；若不存在，请说明理由；（2）求点到平面距离．20. 2023年中非经贸合作座谈会议在长沙举行，拟在某单位招募5名志愿者，该单位甲、乙、丙三个部门可分别向单位推选3名志愿者以供选拔，每个部门有3个小组，每个小组可向本部门推选2名志愿者供部门选拔，假设每名志愿者入选的机会相等．（1）求甲部门志愿者入选人数为1人的概率；（2）求所招募5名志愿者来自三个部门的概率；（3）求某小组志愿者入选人数X的分布列及期望．21. 已知函数．（1）当时，求的最大值；（2）当时，求证：（记）．22. 已知椭圆C：，直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）点为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为，试探究直线l是否过定点，并说明理由；（2）若．过点O作，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程．
  雅礼中学2023届模拟试卷（一）数学1. 已知集合，，则（    ）A.  B. C. 且 D. 【答案】C2. 下列说法正确的是（    ）A. 若，则与的方向相同或者相反B. 若，为非零向量，且，则与共线C. 若，则存在唯一的实数使得D. 若，是两个单位向量，且．则【答案】B3. 函数的最小正周期为（    ）A.  B.  C.  D. 不能确定【答案】A4. 给定一组数据：1，3，2，1，5，则这组数据的方差及第40百分位数分别是（    ）A. 5，2 B. ，2 C. ，1.5 D. 5，1.5【答案】C5. 已知，则（    ）A. 1024 B. 1023 C. 1025 D. 512【答案】B6. 已知数列满足，，若表示不超过的最大整数，则（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 5【答案】A7. 若，则当，1，2，…，100时（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知复数z的共轭复数为，则下列说法正确的是（    ）A. B. 一定是实数C. 若复数，满足．则D. 若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数【答案】BD10. 已知不恒为0的函数，满足，都有．则（    ）A.  B. C. 为奇函数 D. 为偶函数【答案】BD11. 如图，已知双曲线：左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B，连接，，与双曲线左支交于点P，与渐近线分别交于点M，N，则（    ）A. B. C. 过的双曲线的弦的长度的最小值为8D. 点B到两条渐近线的距离的积为【答案】AD12. 如图，正方体的棱长为3，E为AB的中点，，动点M在侧面内运动（含边界），则（    ）A. 若∥平面，则点M的轨迹长度为B. 平面与平面ABCD的夹角的正切值为C. 平面截正方体所得的截面多边形的周长为D. 不存在一条直线l，使得l与正方体的所有棱所成的角都相等【答案】ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 计算：________．【答案】14. 六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有________种排法．【答案】9015. 函数的最小值为________．【答案】16. 如图，已知抛物线C：，圆E：，直线OA，OB分別交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为________．【答案】四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知正数数列，，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）因式分解，从而可推导得，再利用累乘法计算数列的通项公式；（2）根据裂项相消法计算数列的前项和.【小问1详解】∵，∴，又，∴，即．又，且，∴【小问2详解】，∴，，又，∴.18. 在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，求BC边上的高AD的最大值．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知等式即得解；（2）利用余弦定理和基本不等式求出，再求出，即得解.【小问1详解】根据正弦定理可得，又，∴．∵,∴．【小问2详解】，∴，当且仅当时取等号.∵，∴，∴，∴，∴AD的最大值为.19. 斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．（1）在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）存在，    （2）【解析】【分析】（1）连接，以O点为原点，如图建立空间直角坐标系，设，根据，求出即可；（2）利用向量法求解即可.【小问1详解】连接，因为，为的中点，所以，由题意知平面ABC，又，，所以，以O点原点，如图建立空间直角坐标系，则，，，，由得，同理得，设，得，又，，由，得，得，又，∴，∴存点D且满足条件；【小问2详解】设平面的法向量为，，，则有，可取，又，∴点到平面的距离为，∴所求距离为.20. 2023年中非经贸合作座谈会议在长沙举行，拟在某单位招募5名志愿者，该单位甲、乙、丙三个部门可分别向单位推选3名志愿者以供选拔，每个部门有3个小组，每个小组可向本部门推选2名志愿者供部门选拔，假设每名志愿者入选的机会相等．（1）求甲部门志愿者入选人数为1人的概率；（2）求所招募的5名志愿者来自三个部门的概率；（3）求某小组志愿者入选人数X的分布列及期望．【答案】（1）；    （2）；    （3）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）利用对立事件的概率公式求解；（3）先写出X的取值，再求出概率，写出分布列，求出期望.【小问1详解】由题得．所以甲部门志愿者入选人数为1人的概率为.【小问2详解】由题得．所以所招募的5名志愿者来自三个部门的概率为.【小问3详解】由题意可知X取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P所以．21. 已知函数．（1）当时，求的最大值；（2）当时，求证：（记）．【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数分析函数在上的单调性，进而求得最大值；（2）构造函数，求导得，由于当时，，所以，结合可得在区间上恒成立，进而得到在区间上为增函数，进而求解即可得证.【小问1详解】由，，所以，令，得，即；令，得，即，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，，．所以．【小问2详解】设，所以，当时，，所以，又，所以恒成立．所以在区间上恒成立．所以在区间上为增函数，所以，所以当时，.【点睛】关键点睛：本题第（2）问关键在于构造函数求导后，利用时，，放缩成，进而得到在区间上恒成立，从而得到在区间上为增函数，即可求解.22. 已知椭圆C：，直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）点为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为，试探究直线l是否过定点，并说明理由；（2）若．过点O作，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程．【答案】（1）直线l过定点；    （2）【解析】【分析】（1）利用点在椭圆上和直线斜率公式即可证得直线l过定点；（2）利用三角函数设出A，B两点坐标，再利用题给即可求得，进而得到点Q的轨迹方程．【小问1详解】直线过定点，下面证明：设，，，又，，∴，  ∴直线过原点满足．又当PA两点固定时为定值，有且仅有一个斜率值与之相乘之积为， 则直线重合，则重合，∴直线l过定点．【小问2详解】设，，，不妨设，∴，，又点A，B在椭圆上，∴，，∴，，两式相加得，由，得，∴点Q的轨迹是以点O为圆心以为半径的圆，∴点Q的轨迹方程为．