2023届陕西省宝鸡市千阳县中学高三第十二次模考数学（文）试题含解析

2023届陕西省宝鸡市千阳县中学高三第十二次模考数学（文）试题

一、单选题

1．设，则（    ）

A．i B． C．1 D．

【答案】A

【分析】利用复数的乘法可求运算结果.

【详解】,

故选：A

2．设集合.若，则（    ）

A．  B．

C．1 D．3

【答案】B

【分析】根据包含关系结合交集的结果可求的值.

【详解】因为，故，故或，

若，则，，此时，符合；

若，则，，此时，不符合；

故选：B

3．某中学高一､高二和高三各年级人数见下表.采用分层抽样的方法调查学生的健康状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（    ）

A．18 B．22 C．40 D．60

【答案】A

【分析】根据分层抽样的概念及方法，列出方程，即可求解.

【详解】设该样本中高三年级的人数为人，

根据分层抽样的概念及方法，可得，解得人.

故选：A.

4．已知某圆锥的底面半径为1，高为，则它的侧面积与底面积之比为（    ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】C

【分析】计算圆锥的侧面积为，圆锥的底面积为，得到答案.

【详解】圆锥的侧面积为：；圆锥的底面积为：；

故选：C

5．已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是（    ）

A．，0 B．4， C．16，0 D．4，0

【答案】D

【分析】利用向量的坐标运算得到|2用θ的三角函数表示化简求最值．

【详解】解：向量，向量，则2（2cosθ，2sinθ+1），

所以|22＝（2cosθ）2+（2sinθ+1）2＝8﹣4cosθ+4sinθ＝8﹣8sin（），

所以|22的最大值，最小值分别是：16，0；

所以|2的最大值，最小值分别是4，0；

故选：D．

【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．

6．已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先由题得到，结合，即可求得.

【详解】无论椭圆焦点位于轴或轴，根据点,,为椭圆的三个顶点,

若是正三角形,则，即，即，

即有，则，解得.

故选：C.

7．在中，若，分别是方程的两个根，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出方程的根，不妨设，，由同角三角函数基本关系及两角和的正弦公式求解即可.

【详解】由解得或，由三角形内角易知：，，

则，所以，

所以，

故选：B

8．当时，函数取得最大值，则（　　）

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】根据条件列方程组求出a和b.

【详解】因为函数定义域为，所以依题可知， ，

而 ，

所以，即 ，所以 ，

因此当时，,故函数在递增；时，,

故函数在上递减，时取最大值，满足题意，即有 ；

故选：C．

9．函数的图象如图所示，则（    ）

A．

B．在上单调递增

C．的一个对称中心为

D．是奇函数

【答案】B

【分析】根据函数的部分图象求出函数的解析式，利用三角函数的性质即可求解.

【详解】由题意及图可知，,

所以，

因为的图象经过点，

所以，解得，

因为，

所以，

当时，所以的解析式为，故A错误；

因为，所以，所以在单调递增，所以在上单调递增，故B正确；

，所以的一个对称中心不为，故C错误；

，显然该函数的是奇函数，故D错误.

故选：B.

10．如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（　　）

A． B．平面ABCD

C．三棱锥的体积为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值

【答案】D

【分析】利用直线与平面垂直的性质可证得；运用两个平面平行的性质，可证明平面ABCD；结合三棱锥的体积公式可求其体积为定值；在线段上选取特殊位置，结合异面直线所成的角，即可求得异面直线AE，BF所成的角不是定值.

【详解】对于选项A，在正方体中，平面，

平面，所以，即，

四边形为正方形，则，

又，平面，平面，所以平面，平面，所以，故A正确.

对于选项B，在正方体中, 平面平面，

平面，所以平面ABCD，故B正确.

对于选项C，连接交于点，设三棱锥的高为，

，平面，平面，

所以点B到直线的距离即为，，

又因为平面，即平面，所以AO为三棱锥的高，

在中，，所以，

（定值），故C正确.

对于选项D，设异面直线AE，BF所成的角为，连接交于点，

当点与重合时，因为，此时点与点重合，连接，

在正方体，且，所以四边形为平行四边形，

所以，即为异面直线AE，BF所成的角，

在中，，，，

因为，所以为直角三角形，，所以异面直线AE，BF所成的角的正弦值为.

当点与重合时，，此时点与点重合，，即，

即为即为异面直线AE，BF所成的角，

在中，，，，

，所以异面直线AE，BF所成的角的正弦值为,

异面直线AE，BF所成的角不是定值,故D错误.

故选：D.

【点睛】11．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合，逐项判断即可.

【详解】因为是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且两函数在上单调递减，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，

所以，，

所以，，，

所以B正确，C,D错误；

若，则，A错误.

故选：B.

12．已知函数，点、分别是函数图象上的最高点和最低点，则的值为（    ）

A． B．3 C． D．7

【答案】B

【分析】由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质求出、两点坐标，最后根据数量积的坐标表示计算可得.

【详解】因为，

因为，所以，所以

令，解得，所以，即，

令，解得，所以，即，

所以，，

所以.

故选：B

二、填空题

13．函数的图象在处的切线方程为________．

【答案】

【分析】先对求导，再求出所求切线的斜率与切点，从而由点斜式方程即可得出答案.

【详解】由可得，

所以所求切线的斜率为，

又当时，，即切点为，

所以函数的图象在处的切线方程为：.

故答案为：.

14．已知长方体的底面是边长为2的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为___________

【答案】24π

【分析】由余弦定理可求出长方体的高，再由外接球直径为长方体对角线得解.

【详解】设长方体的高为c，外接球的半径为，

如图，

则，，，

由余弦定理知，，

解得，所以，

所以.

故答案为：

15．若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________．

【答案】/

【分析】设点，圆心，的最小值即为的最小值减去圆的半径，求出的最小值即可得解．

【详解】依题可设，圆心，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，

的最小值即为的最小值减去半径．

因为，，

设，

，由于恒成立，

所以函数在上递减，在上递增，即，

所以，即的最小值为．

故答案为：．

16．已知函数在区间单调，其中为正整数，，且.则图像的一条对称轴__________.

【答案】

【分析】由正弦函数的单调性与周期性，可得，所以，在同一个周期内，由，取其中点值，即可得图象的一条对称轴；

【详解】因为函数在区间单调，

，，

，在同一个周期内，

，

图像的一条对称轴为.

故答案为：

三、解答题

17．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，.

(1)证明.

(2)记圆柱的体积为，四棱锥P-ABCD的体积为，求；

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据垂直关系，要证明线线垂直，转化为证明平面；

（2）首先求圆柱和四棱锥的体积，再求体积的比值.

【详解】（1）证明：由已知得是等边三角形，

，是直径，所以，即，

则为等边三角形的角平分线，

所以，

又PC是圆柱的母线，则PC⊥平面ABCD ，平面，所以

又，平面，

则BD⊥平面PCA， 平面，所以

（2）由已知得，，则，

所以,,,

于是，，

所以.

18．记数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)对任意，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先求出，再根据得到，即可求出通项公式；

（2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得.

【详解】（1）因为，

所以，

当时，，

所以从第项起为以为公比的等比数列，所以，

所以数列的通项公式；

（2）由（1）知，

则①，

②，

①-②得，

化简得.

19．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.

已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.

(1)请完成上面的列联表；

(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”

(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6号或10号的概率.

（参考公式：，其

【答案】(1)表见解析

(2)有95%的把握认为“成绩与班级有关系”

(3)

【分析】（1）根据优秀率计算优秀人数，即可完善列联表；

（2）计算，与临界值比较得出结论；

（3）列出基本事件空间，利用古典概型计算即可.

【详解】（1）因为从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为，

所以优秀的人数为（人），

据此可得列联表：

（2）根据列联表中的数据，得到

1

因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”.

（3）设“抽到6号或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y），

则所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、……、（6，6），共36个.

事件A包含的基本事件有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（4，6），（5，5），，共8个，

∴P.

20．设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．

（1）求直线AB的斜率；

（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

【答案】（1）1；（2）y＝x＋7．

【分析】（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝，代入即可求得斜率；

（2）由（1）中直线AB的斜率，根据导数的几何意义求得M点坐标，设直线AB的方程为y＝x＋m，与抛物线联立，求得根，结合弦长公式求得AB，由知，|AB|＝2|MN|，从而求得参数m.

【详解】解：（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，

于是直线AB的斜率k＝＝＝1．

（2）由y＝，得y′＝．

设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．

设直线AB的方程为y＝x＋m，

故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|．

将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0．

当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2．

从而|AB|＝|x1－x2|＝．

由题设知|AB|＝2|MN|，即＝2(m＋1)，

解得m＝7．

所以直线AB的方程为y＝x＋7．

21．设函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.

【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.

【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.

（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.

【详解】（1）函数的定义域为，

又，

因为，故，

当时，；当时，；

所以的减区间为，增区间为.

（2）因为且的图与轴没有公共点，

所以的图象在轴的上方，

由（1）中函数的单调性可得，

故即.

【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.

22．如图，在极坐标系Ox中，，弧所在圆的圆心分别是，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.

(1)分别写出的极坐标方程；

(2)曲线由构成，若点在上，且，求的极坐标.

【答案】(1)，，；

(2)或或或.

【分析】（1）求出弧所在圆的极坐标方程，再求出曲线的极坐标方程作答.

（2）求出满足的点P的轨迹的极坐标方程，再解方程组作答.

【详解】（1）因为弧所在圆的圆心为，半径为1，该圆过极点，圆的方程为，

因此曲线的方程是；

因为弧所在圆的圆心为，半径为1，该圆过极点，圆的方程为，

因此曲线的方程是；

因为弧所在圆的圆心为，半径为1，该圆过极点，圆的方程为，

因此曲线的方程是.

（2）设，于是，

当时，，即，解得；

当时，，即，解得或；

当时，，则，解得，

所以点的极坐标为或或或.

23．已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时不等式成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）方法一：将代入函数解析式，求得，利用零点分段法将解析式化为，分类讨论即可求得不等式的解集；

（2）方法一：根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.

【详解】（1）［方法一］：【通性通法】零点分段法

当时，，即，所以不等式等价于或或，解得：．

故不等式的解集为．

［方法二］：【最优解】数形结合法

如图，当时，不等式即为．

由绝对值的几何意义可知，表示x轴上的点到对应的点的距离减去到1对应点的距离．结合数轴可知，当时，，当时，．故不等式的解集为．

（2）［方法一］：【通性通法】分类讨论

当时，成立等价于当时，成立．

若，则当时，；

若，由得，，解得：，所以，故．

综上，的取值范围为．

［方法二］：平方法

当时，不等式成立，等价于时，成立，即成立，整理得．

当时，不等式不成立；

当时，，不等式解集为空集；

当时，原不等式等价于，解得．

由，解得．故a的取值范围为．

［方法三］：【最优解】分离参数法

当时，不等式成立，等价于时，成立，

即，解得：，而，所以．故a的取值范围为．

【整体点评】（1）方法一：利用零点分段法是解决含有两个以及以上绝对值不等式的常用解法，是通性通法；

方法二：利用绝对值的几何意义解决特殊类型的绝对值不等式，直观简洁，是该题的最优解．

（2）方法一：分类讨论解出绝对值不等式，利用是不等式解集的子集求出，是通性通法；

方法二：本题将绝对值不等式平方，转化为解含参的不等式，利用是不等式解集的子集求出，虽可解出，但是增加了题目的难度；

方法三：利用分离参数，将不等式问题转化为恒成立最值问题，思想简单常见，是该题的最优解．