2022届宁夏吴忠市高三一轮联考数学（理）试题含解析

2022届宁夏吴忠市高三一轮联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，先得到，再求交集，即可得出结果.

【详解】因为，

所以，

因此.

故选：D.

【点睛】本题主要考查集合交集运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型.

2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】首先化简复数和，再根据复数的几何意义判断对应的点所在的象限.

【详解】

，复数在复平面内对应的点是，在第一象限.

故选：A

【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义，属于基础题型.

3．已知命题p：，；命题q：若，则下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先判断出命题的真假，然后逐项判断含有逻辑联结词的复合命题的真假.

【详解】解：命题，使成立，故命题为真命题；

当，时，成立，但不成立，故命题为假命题；

故命题，，均为假命题，命题为真命题．

故选：B．

4．函数的图像在点处的切线方程为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】求得切线的斜率为，并计算出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.

【详解】，则，则，，

因此，所求切线方程为，即.

故选：A.

【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.

5．踢毽子是中国民间传统的运动项目之一，起源于汉朝，至今已有两千多年的历史，是一项简便易行的健身活动.某单位组织踢毽子比赛，把10人平均分成甲、乙两组，其中甲组每人在1分钟内踢毽子的数目分别为26，29，32，45，51；乙组每人在1分钟内踢毽子的数目分别为28，31，38，42，49.从甲、乙两组中各随机抽取1人，则这两人踢毽子的数目之和为奇数的概率是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先确定从甲、乙两组中各随机抽取1人总事件数，再确定抽取两人踢毽子的数目之和为奇数所包含事件数，最后根据古典概型概率公式求解.

【详解】从甲、乙两组中各随机抽取1人有种取法；

其中抽取两人踢毽子的数目之和为奇数有种取法；

从而所抽两人踢毽子的数目之和为奇数的概率是

故选：C

【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.

6．已知的面积，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用余弦定理和三角形的面积公式求出的值，再根据正弦定理和的值．

【详解】解：中，，

面积为，

，

又，

；

又，

，

，

．

故选：B．

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查计算能力，属于基础题．

7．在等比数列中，，是方程的两个根，则（    ）

A． B．2 C．1 D．

【答案】A

【分析】利用根与系数的关系和等比数列的性质求解即可

【详解】由题意可得

所以.

因为

所以，，所以，

所以，所以.

故选：A.

8．若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法不正确的是（    ）

A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减

C．不是函数图象的对称轴 D．在上的最小值为

【答案】B

【解析】由函数图像的变换可得，结合余弦函数的周期性、单调性、对称轴等即可判断选项，得出答案.

【详解】解：，

对A，的最小正周期为，故A正确；

对B，当 时， 时，故在上有增有减，故B错误；

对C，，故不是图象的一条对称轴，故C正确；

对D，当时，，且当，即时，取最小值，故D正确．

故选：B.

9．已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.

【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C，，则，

当时，，与图象不符，排除C.

故选：D.

10．在直三棱柱中，.、分别是、的中点，，则与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】以C为坐标原点，以CB、CA、方向分别为x、y、z轴正方向，建立空间坐标系，如图，设，分别求出的坐标，根据空间向量的数量积求出即可.

【详解】以C为坐标原点，以CB、CA、方向分别为x、y、z轴正方向，建立空间坐标系，

如图，设，

则，

所以，

故选：D

11．F1、F2分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】如图，设等边三角形边长为，设，根据双曲线的定义有，解得.在三角形中，由余弦定理得，化简得.

12．已知是函数的导数，且，当时，，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，根据导数判断单调性，再利用奇偶性求出解集.

【详解】设，则，

因为当时，，所以当时，，

即在上单调递增，

因为，所以为偶函数，则也是偶函数,所以在上单调递减.

因为,所以,

即,

则，解得，

故选：D.

二、填空题

13．已知则________.

【答案】14

【解析】根据函数解析式，由内而外，逐步计算， 即可得出结果.

【详解】因为，所以，

则.

故答案为：14.

【点睛】本题主要考查求分段函数值，属于基础题型.

14．已知向量，且，则实数k=____．

【答案】-6

【分析】由向量平行的坐标公式求解即可.

【详解】，

，解得

故答案为：

15．已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为，且它的六个顶点均在球的球面上，则球的体积为__________.

【答案】

【分析】根据题意画出图形，由正弦定理求出的外接圆半径，再根据勾股定理，求出球的半径，根据球的体积公式即可求解.

【详解】解：如图所示，

设中心为，连接，

根据等边三角形性质知：是外接圆半径，

根据正弦定理得：，得：，

又，

在中，，

故球的体积为：.

故答案为: .

16．已知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则的最小值是_______________.

【答案】4

【分析】由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得、，进而可得，再利用，结合基本不等式即可得解.

【详解】对求导得，

因为直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，

所以即，

所以，所以切点为，

由切点在切线y=x－a上可得即，

所以，

当且仅当时，等号成立.

所以的最小值是.

故答案为：.

【点睛】本题考查了导数的运算、导数几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用及运算求解能力，属于中档题.

三、解答题

17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求角C；

(2)若，的面积为，M为AB的中点，求CM的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式，结合正弦定理边角互化，再根据余弦定理，即可求解；

（2）首先判断三角形的形状，再根据三角形面积公式求边长，最后根据余弦定理求长.

【详解】（1）由正弦定理，可化为,

整理得到，

即.

又由余弦定理，得.

因为，所以.

（2）因为，所以为等腰三角形，且顶角.

故，所以.

在中，由余弦定理，得

，

，

解得.

18．2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．

（1）完成列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；

（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为，求出的分布列及期望值．

附公式及表：，其中．

【答案】（1）有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）分布列见解析，期望为；

【分析】（1）根据分层抽样方法求出男生、女生人数，填写列联表，计算，对照附表得出结论；

（2）由题意知的可能取值，计算所求的概率值，写出分布列，计算数学期望值．

【详解】解：（1）120名学生中男生有（人，女生有65人，

结合题意填写列联表如下：

计算，且，

所以有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；

（2）利用分层抽样抽取8名学生，男生有3人，女生5人，

从这8名学生中抽取3名，抽取男生的个数的可能取值为0，1，2，3；

计算，，，；

所以的分布列为：

的数学期望值为．

19．如图，底面 是边长为1的正方形，平面，，与平面所成角为60°.

（1）求证： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）.

【分析】（1）由已知可得且，由线面垂直的判定定理即可得到证明；（2）以为原点，方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴建立空间直角坐标系，利用已知条件求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式计算即可.

【详解】（1）证明：∵平面，平面，

∴所以，

又∵底面是正方形，

∴.

∵，

∴平面.

（2）解：∵两两垂直，

∴以为原点，方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴建立空间直角坐标系，

由已知可得，∴，

由，可知.

则，    

∴,.

设平面的一个法向量为，

则，即

令，则.

∵平面，则为平面的一个法向量，

∴，，

∵二面角为锐角，

∴二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查空间向量在立体几何中的应用，求解二面角大小的关键是正确解出两个半平面的法向量，然后由法向量的夹角得出二面角的大小．

20．已知椭圆的左顶点为，离心率为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当取得最大值时，求的面积．

【答案】（1）；（2）

【分析】(1)由左顶点M坐标可得a=2，再由可得c，进而求得椭圆方程．(2)设l的直线方程为，和椭圆方程联立，可得，由于，可用t表示出两个交点的纵坐标 和，进而得到的关于t的一元二次方程，得到取最大值时t的值，求出直线方程，而后计算出的面积．

【详解】(1) 由题意可得：，，得，则.

所以椭圆的方程:

(2) 当直线与轴重合，不妨取，此时

当直线与轴不重合，设直线的方程为：,设，

联立得，

显然，，.

所以

当时，取最大值.

此时直线方程为，不妨取，所以.

又,所以的面积

【点睛】本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考题．

21．已知函数．

（1）若函数在定义域上的最大值为，求实数的值；

（2）设函数，当时，对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）先对函数求导，对实数分和两种情况讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，进而可求最大值，由此可求出实数的值；

（2）由已知整理可得，对任意的恒成立，结合，，可知，故只需对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最大值的取值范围，由此可求得满足条件的实数的最小整数值．

【详解】（1）由题意，函数的定义域为，，

当时，，函数在区间上单调递增，

此时，函数在定义域上无最大值；

当时，令，得，

由，得，由，得，

此时，函数的单调递增区间为，单调减区间为．

所以函数，

即为所求；

（2）由，因为对任意的恒成立，

即，当时，对任意的恒成立，

，，，

只需对任意的恒成立即可．

构造函数，，

，，且单调递增，

，，一定存在唯一的，使得，

即，，

且当时，，即；当时，，即.

所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

，

因此，的最小整数值为.

【点睛】本题考查了利用导数求解函数的最值，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；

（2）若直线与曲线的交点分别为，，求．

【答案】（1）曲线方程为，表示焦点坐标为，对称轴为轴的抛物线；（2）10.

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的转化，将曲线的方程化为直角坐标方程；（2）把直线的参数方程为，化为一般方程，然后与联立，利用弦长公式，得到.

【详解】解 (1)因为，所以，即，

所以曲线表示焦点坐标为，对称轴为轴的抛物线．

(2)设点，点

直线过抛物线的焦点，则直线参数方程为化为一般方程为，代入曲线的直角坐标方程，得，

所以

所以

【点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，直线的参数方程化一般方程，弦长公式等，属于简单题.

23．设函数，.

（1）求不等式的解集；

（2）已知关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1），利用零点分域法去绝对值即可求解.

（2）由题意知当时，恒成立，代入可得，即，转化为对于恒成立，即可求出的取值范围

【详解】（1）因为，所以，，

，或，或解得或或，

所以，故不等式的解集为.

（2）因为，所以当时，恒成立，

而，

因为，所以，即，由题意，知对于恒成立，

所以，故实数的取值范围.

【点睛】本题主要考查了解含两个绝对值得不等式，以及不等式恒成立问题求参数范围，属于中档题.