2023届广西壮族自治区柳州高中、南宁市两校高三下学期5月联考数学（文）试题含答案

广西壮族自治区柳州高中、南宁市两校2023届高三下学期5月联考

文科数学

注意事项：

1.本卷共150分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知复数在复平面对应的点在实轴上，则（    ）

A.    B.    C.2    D.-2

3.已知某地三个村的人口户数及贫困情况分别如图1和图2所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取的户数进行调查，则样本容量和抽取村贫困户的户数分别是（    ）

A.150，15    B.150，20    C.200，15    D.200，20

4.新疆棉花是世界上最优质的棉花之一，普通的优质棉纱纤维长度左右，而新疆超长棉纱纤维长度可以达到以上.用超长棉纱制成的纯毛巾，质地柔软，手感舒适，色彩鲜艳，吸水性极好.某商场中有5款优质毛巾，其中有3款是用新疆超长棉纱制成的，在这5款毛巾中任选2款，只有一款是用新疆超长棉纱制成的概率是（    ）

A.    B.    C.    D.

5.下列函数既是奇函数又在上是增函数的是（    ）

A.    B.

C.    D.

6.函数的图像大致为（    ）

A.    B.

C.    D.

7.已知等比数列的前项和为，若，则（    ）

A.    B.1    C.-1    D.

8.如图所示，是某三棱锥的三视图（由左至右，由上至下依次是主视图､左视图､俯视图），则该三棱锥的体积为（    ）

A.4    B.    C.    D.1

9.的值所在的范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

10.已知一个圆台的上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，体积为，则该圆台的高为（    ）

A.3    B.4    C.5    D.6

11.18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当很大时，常数.利用以上公式，可以估计的值为（    ）

A.    B.    C.    D.

12.果树的负载量，是影响果树产量和质量的重要因素.苹果树结果期的负载量（单位：）与干周（树干横截面周长，单位：）可用模型模拟，其中均是常数.则下列最符合实际情况的是（    ）

A.时，是偶函数

B.模型函数的图象是中心对称图形

C.若均是正数，则有最大值

D.苹果树负载量的最小值是

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量满足，则__________.

14.已知数列通项公式，则数列的前10项和为__________.

15.已知直线，圆的圆心在第一象限，且与都相切，则圆的一个方程为__________.（写出满足题意的任意一个即可）

16.若是双曲线的右焦点，是双曲线上的一点，过点的直线与轴交于点，且，则直线的斜率为__________.

三､解答题：本大题共7小题，满分70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题（60分）

17.（本小题满分12分）

在中，角所对的边分别为.已知.

（1）求的值；

（2）若的内切圆半径为，求.

18.（本小题满分12分）

某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，如图是职工甲和职工乙微信记步数情况：

（1）从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；

（2）下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图.已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图，并说明理由.

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，.点为棱的中点，点为棱上的一点，且，平面平面.

（1）证明：平面；

（2）证明：平面.

20.（本小题满分12分）

已知函数在点处的切线为，函数在点处的切线为.

（1）若均过原点，求这两条切线斜率之间的等量关系.

（2）当时，若，此时的最大值记为，证明：.

21.（本小题满分12分）

已知抛物线上一点的横坐标为4，且到焦点的距离为5，

（1）求抛物线的方程；

（2）点是抛物线上异于原点的不同的两点，且满足，求的最小值.

（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）[选修：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程.

（2）已知直线过点，与曲线交于两点，求的值.

23.（本小题满分10分）[选修：不等式选讲]

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

文科数学参考答案

一､（60分）

1.A

2.C

3.A 

4.A 

5.A 

6.D 

7.A  

8.C 

9.B

10.A

11.B

12.C

二､（20分）

13.4

14.717 

15.（答案不唯一）

16. 

三､（70分）

17.（1）因为，

所以

即，又，

所以，

所以，又，即；

（2）由余弦定理得①

由等面积公式得.

即.

整理得，②

联立①②，解得，

所以.

18.（1）令时间为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，

从3月2日至3月7日这6天中，3月2日､5日､7日这3天中，

甲乙微信记步数都不低于10000，

故.

（2）3月3日符合要求.理由如下：根据频率分步直方图知：微信记步数落在

（单位：千步）区间内的人数依次为人，50人，人，人，人

由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，

根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.

由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，

根据折线图知：只有3月3日和3月6日，

所以3月3日符合要求.

19.（1）由条件易得：，

则，，

，由余弦定理可知：，

则，所以.

又平面平面，

且平面平面，

且平面，

则平面，

（2）由（1）可知.

取棱中点为，连接，

因为为的中点，所以，且

又，所以，且

所以，且，所以四边形为平行四边形，

所以.

又平面，

且平面，则平面.

20.（1）由题可得

，

因为均过原点，所以，

因为均过原点，所以

所以.

（2）由题，

记，

，记，

在单调递减，且，

使得，即，

且在上单调递增，在上单调递减.

，

又，

故得证.

21.（1）由题及抛物线的定义知点到抛物线准线的距离为5，

抛物线的准线方程为

，解得，故抛物线的方程

为；

（2）依题意，设，

由，解得，

所以，

设，

由，得

则，所以

，

即，

所以

，

设，当且仅当时等号成立，

则，

所以当时，取最小值为.

22.（1）曲线的参数方程为（为参数），

由，

故，即

又直线，所以

即，即，

所以，即，

所以曲线，直线.

（2）解：由，所以，

故直线的标准参数方程为（为参数），

将其代入曲线中，得，

所以，

故.

23.（1）当时，.

所以等价于或或

解得，所以不等式的解集为.

（2）因为，所以等价于，

所以，即，

所以在时恒成立.

所以，解得，即实数的取值范围是.