2023届海南省琼中县高三下学期统考数学试题（B）含解析

这是一份2023届海南省琼中县高三下学期统考数学试题（B）含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届海南省琼中县高三下学期统考数学试题（B） 一、单选题1．设集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】先求出集合,然后再求交集.【详解】解：因为集合，又因为集合，所以故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，以及不含参数的一元二次不等式的解法，属基础题.2．设，则=（    ）A． B． C． D．2【答案】B【分析】对复数进行运算化简得，再进行模的计算，即可得答案；【详解】，故选：B.【点睛】本题考查复数模的计算，考考运算求解能力，属于基础题.3．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由二倍角公式变形，再分子分母同除以化简代入即可求解.【详解】因为，所以．故选：B．4．已知，若时满足，则的取值范围为（  ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题设可得且，应用凑配法及不等式性质求的范围.【详解】当时，且在上递减，在上递增，， 且，则，即，整理可得．， ， ．，．故选：A5．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设的中点为，连接、、，易知即为异面直线与所成的角（或其补角），由余弦定理，计算得即可．【详解】如图，设的中点为，连接、、，易知即为异面直线与所成的角（或其补角）设三棱柱的侧棱与底面边长均为1，则，，，由余弦定理，得故选：B.6．如图，在长方体中，，，则下列结论：①直线与直线所成的角为；②直线与平面所成的角为；③平面与平面所成的二面角为；④平面与平面所成的二面角为直二面角.其中正确结论的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】对于①，由，则直线与直线所成的角与直线与直线所成的角相等，即，利用锐角三角函数计算即可；对于②，由平面，得到直线与平面所成的角为，再利用锐角三角函数计算即可； 对于③，知平面，由线面垂直的性质得 ，，从而得到平面与平面所成的二面角为，计算即可； 对于④，知平面，由面面垂直的判定定理得到 平面平面，即可得出结论.【详解】对于①，由题意得，，则直线与直线所成的角与直线与直线所成的角相等，即，在长方体中，，，所以，因为，所以，即直线与直线所成的角为，故①正确；对于②，在长方体中，平面，所以直线与平面所成的角为，因为，，所以，则直线与平面所成的角为，故②正确；对于③，在长方体中，平面，平面，平面，所以，，又因为平面平面，所以平面与平面所成的二面角为，由②得，，则平面与平面所成的二面角为，故③错误；对于④，在长方体中，平面，平面，所以平面平面，则平面与平面所成的二面角为直二面角，故④正确；故选：C.7．已知a＝log23﹣log2，b＝log0.5π，c＝0.9﹣1.1，则（　  　）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a【答案】A【解析】将数据与0或者1进行比较，从而区分大小.【详解】∵a＝log2log23∈（，1），b＝log0.5π＜0，c＝0.9﹣1.1＞1．∴c＞a＞b．故选：A．【点睛】本题考查指数式，对数式的比较大小，一般地，我们将数据与0或者1进行比较，从而区分大小.8．已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出图形，求得的最小值，进而可求得四边形面积的最小值.【详解】解：如下图所示：由已知得圆心，圆的半径为，由圆的几何性质可得，由勾股定理得，当取最小值时，最小，的最小值为点到直线的距离，，由切线长定理得，又，，，所以，四边形面积.故选：C. 二、多选题9．设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列说法中正确的是（    ）A．若，，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，则【答案】ACD【分析】由线线、线面、面面平行与垂直的判定和性质判断即可【详解】对于选项A，因为，所以当时，，由垂直于同一平面的两条直线平行可知，选项A正确；对于选项B，当，时，直线与平面的位置关系不确定，所以选项B错误；对于选项C，当，，时，可以得到，所以选项C正确；对于选项D，当，时，，因为，所以，所以，所以选项D正确.故选:ACD.【点睛】方法点睛： 判断空间中直线与平面位置关系的两种策略：（1）根据空间中直线与平面位置关系的相关定理进行判断；（2）根据选项中给出的位置关系，联想特殊几何体（如正方体、正三棱柱等）进行直观判断.10．设、分别是双曲线：的左、右焦点，且，则下列结论正确的有（    ）A．B．当时，的离心率是C．当时，到渐近线的距离随着的增大而减小D．当时，的实轴长是虚轴长的两倍【答案】AC【分析】根据题意可得， 根据可推得A项；当时，根据前面的结果，可推出，进而求出离心率可判断B项；求出到渐近线的距离，可判断C项；将代入，可得到、的值.【详解】由已知可得，，所以，，即，所以，故A项正确；当时，，则，又，所以，B项错误；双曲线的渐近线方程为.当时，根据双曲线的对称性，只求到渐近线，即到的距离，又，则当增大时，变小，变小，所以C项正确；当时，，，则，，则实轴长，虚轴长，所以D项错误.故选：AC.11．在下列四个式子中正确的是A．当时，B．有最小值C．的最小值为D．函数的值域为【答案】AB【解析】根据利用基本不等式求最值必须具备的三个件，即可判断出各选项的正误．【详解】对A，因为，所以，当且仅当，即时，取等号，故A正确；对B，因为，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，故B正确；对C，因为，所以，所以，当且仅当，即，故等号不成立，所以C错误；对D，，当时，，当且仅当，即时，取等号；当时，，当且仅当，即时，取等号，所以函数的值域为，故D错误．故选：AB【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值，要把握三个条件，即“一正即各项都是正数；二定即和或积为定值；三相等即等号能取得”这三个条件缺一不可，有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过凑项、拆项、变系数等方法使之能运用基本不等式．12．若袋子中有2个白球，3个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为X，则（    ）A． B．C．X的期望 D．X的方差【答案】CD【分析】由题意可知4次取球的总分数为X，即为4次取球取到白球的个数，故可确定判断A;由此可计算，判断B;利用二项分布的期望和方差公式计算期望和方差，即可判断C,D.【详解】由题意知从袋子中有放回地随机取球4次，每次取到白球的概率为，取到白球记1分，取到黑球的概率为，取到黑球记0分，则记4次取球的总分数为X，即为4次取球取到白球的个数，则知，A错误；，B错误；X的期望，C正确；X的方差，D正确，故选：CD． 三、填空题13．疫情期间，有7名医护人员要到两所医院进行支援，每所医院最少3名，则不同的分配方案有______种．【答案】70【分析】根据题意，分2步进行分析：第一步，将7人分成2组，一组3人另一组4人，第二步，将分好的两组分派到两所医院，根据分布乘法计数原理可得.【详解】根据题意，分2步进行分析：第一步，将7人分成2组，一组3人另一组4人，有种，第二步，将分好的两组分派到两所医院，有种，根据分布乘法计数原理可得共有种不同的分配方案.故答案为：70. 四、双空题14．已知正实数满足，则的最小值为___________，的最大值为___________．【答案】          【分析】利用基本不等式进行变形，分别求得的最小值和的最大值.【详解】（1）正实数满足， ，.当且仅当时取等号.（2）由，化简得，所以或（舍），当且仅当时，即，等号成立，故的最小值是.故答案为：（1）；（2）15．一组数据的平均数是28，方差是36，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数是______方差是______.【答案】     88     36【分析】每一数据增加60，平均数也增加60，每一数据与平均数的差都不变，方差不变.【详解】每一个数据都加上60，平均数增加60，则每一数据与平均数的差不变，即偏离平均值的程度不变，所以方差不变，仍为36.故答案为：88；36.【点睛】方差反映的是一组数据偏离平均值的情况，它是用来衡量一组数据波动大小的特征数，方差越小，波动越小，稳定性也越好. 五、填空题16．如图，正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，点是上的动点，则的取值范围为____．【答案】【分析】由正四面体内切球球心的位置特征求内切球半径、及到的最短距离，进而可得的取值范围.【详解】由正四面体棱长为1，则正四面体的体高为，若其内切球球心为，半径为，则，又，可得，则，所以到的最短距离为.综上，的取值范围为，即.故答案为： 六、解答题17．已知是一个单调递增的等差数列，且满足,，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）证明数列是等比数列.【答案】（1） ；（2） 答案见解析.【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程求解得首项与公差，即可得解；（2）根据与的关系可得的通项公式，再由等比数列的定义证明即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，则依题知.由可得. 由,得，可得. 所以，从而；（2）证明：由已知，得时，，所以，又，解得所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.18．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值；（3）若函数在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围.【答案】（1）；（2）最大值为2，最小值为 ；（3）.【解析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式对函数化简，再利用周期公式可求出周期；（2）由得，再结合正弦函数的图像和性质可求出函数的最值；（3）由函数在上单调递增，，在上单调递减，，从而可求出实数k的取值范围.【详解】（1）由，得的最小正周期为.（2）因为，所以，所以.从而.所以，当，即时，的最大值为2；当，即时，的最小值为.（3）由，得，而函数在上单调递增，，在上单调递减，，所以若函数在上有两个不同的零点，则.【点睛】此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查正弦函数图像和性质的应用，属于基础题19．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，E是PD的中点.（1）证明：直线平面PAB；（2）求直线与平面所成角；（3）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）取PA的中点为F，连接EF，BF，证得CE//BF，进而线面平行得判定定理即可得出结论；（2）取AD的中点O连接PO，CO，证得为直线与平面所成角，解三角形求出即可得到直线与平面所成角；（Ⅲ）作于，连接证得为二面角的平面角，求出 的余弦值即可.【详解】（1）取PA的中点为F，连接EF，BF，∵E为PD的中点，∴EF//AD，  且EF=，又AB=BC=，∴BC//，∴  ∴四边形BCEF为平行四边形，∴CE//BF，又BF平面PAB，CE平面PAB，∴直线CE∥平面PAB，（2）取AD的中点O连接PO，CO，∵三角形PAD为等边三角形，∴PO⊥AD，又∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，∴为直线与平面所成角，        设AD=2，则，易得四边形ABCO为矩形，∴CO=AB=1，∴，∴，直线与平面所成角为.                    （Ⅲ）M在底面ABCD的射影落在在OC上，设，由（2）知，又直线BM与底面ABCD所成的角为45°，∴，∴BN=MN，又，，又BC=1，且，∴，，，作于，连接，∵，∴，∴，所以为二面角的平面角，            ，∴，则二面角的余弦值为.20．2020年新冠疫情期间，某县区绝大部分教师利用钉钉进行直播教学，某校为了了解学生喜欢钉钉上课是否与性别有关，从高二年级中随机抽取40名学生进行了问卷调查，得到如下列联表： 女生男生合计喜欢钉钉上课 14 不喜欢钉钉上课10  合计  40已知在这随机抽取的40人中，有16名学生不喜欢钉钉上课．（1）求喜欢钉钉上课的学生的概率？（2）请将上述列联表补充完整，并由此数据分析能否有95%的把握认为喜欢钉钉上课与性别有关？附临界值表：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879参考公式：，其中．【答案】（1）；（2）没有的把握认为喜欢钉钉上课与性别有关【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得；（2）依题意完善列联表，计算出，再与参考值比较即可判断；【详解】解：（1）依题意在这随机抽取的40人中，有16名学生不喜欢钉钉上课，则有人喜欢钉钉上课，故喜欢钉钉上课的学生的概率．（2）列联表如下所示： 女生男生合计喜欢钉钉上课101424不喜欢钉钉上课10616合计202040则故没有的把握认为喜欢钉钉上课与性别有关；21．如图，已知椭圆，点是它的右端点，弦过椭圆的中心，，.（1）求椭圆的标准方程；（2）设、为圆上不重合的两点，的平分线总是垂直于轴，且存在实数，使得，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求出的值，再求出点的坐标，并将点的坐标代入椭圆方程，得出的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）先由已知条件得出直线和直线的斜率互为相反数，可设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，同理得出点的坐标，利用向量的坐标运算得出实数的表达式，再利用基本不等式可求出的最大值．【详解】（1）依题意可知，，.又，，是等腰直角三角形，，.又点在椭圆上，，，因此，所求椭圆的标准方程为；（2）如下图所示：对于椭圆上两点、，的平分线总是垂直于轴，与所在直线关于直线对称.设，则，则直线的方程为，①直线的方程为，②将①代入，得.③在椭圆上，是方程③的一个根，，以替换，得到.，，易知，，，，则，，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，实数的最大值为.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆方程的求解，解决本题的关键在于将题中的角转化为直线的斜率关系，考查推理能力与计算能力，属于中等题．22．已知函数．(1)求在点处的切线方程；(2)判断函数在区间上的单调性，并说明理由；(3)求证：．【答案】(1)(2)在区间上是单调递增函数；理由见解析(3)证明见解析 【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数计算切线斜率，得到直线方程.（2）求导得到导函数，根据导函数大于零恒成立得到证明.（3）题目转化为求函数最大值，求导得到导函数，构造，根据函数的单调性得到存在唯一实数，使得，根据单调性得到最值点，代换得到，再计算最值得到答案.【详解】（1），得，，，切线方程为：．（2）函数在区间上是单调递增函数．理由如下：因为，所以，，因此，，故恒成立，故在区间上是单调递增函数．（3）证明“”等价于证明“”．由题意可得，，因为，再令，则，所以在上单调递减．因为，，所以存在唯一实数，使得，其中．，，变化如下表所示：0极大值所以为函数的极大值．因为函数在有唯一的极大值，所以．因为，所以．设，，，故在上单调递增，故，因为，所以．所以．【点睛】本题参考了切线方程，利用导数求函数的单调性，证明函数不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将不等式转化为求函数的最值是解题的关键.