2023届安徽省蚌埠市高三下学期第四次教学质量检查数学试题含答案

  蚌埠市2023届高三年级第四次教学质量检查考试

数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知为虚数单位，复数满足，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.已知等差数列满足，则（    ）

A.    B.    C.    D.

4.已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（    ）

A.    B.

C.    D.

5.将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点，那么（    ）

A.    B.    C.    D.

6.如图是函数图象的一部分，设函数，，则可以是（    ）

A.    B.

C.    D.

7.在中，已知.若，则（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知双曲线的右焦点为，过点的直线分别与双曲线的渐近线平行，与渐近线的交点记为，若为等边三角形，且面积为，则（    ）

A.    B.    C.3    D.2

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某校在开展的“体育节”活动中，为了解学生对“体育节”的满意程度，组织学生给活动打分（分数为整数，满分100分），发现分数均在内.从中随机抽取一个容量为300的样本，并将这些数据分成6组并作出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形（如图所示），则下列说法中正确的是（    ）

A.样本中分数落在的频数为60人

B.样本的众数为75分

C.样本的平均数为73.5分

D.样本的80百分位数为85分

10.袋中有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个蓝球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.记“第一次摸球时摸到红球”为事件，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件；“第二次摸球时摸到红球”为事件，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件，则下列说法正确的是（    ）

A.    B.

C.    D.

11.已知正方体的棱长为6，点分别是棱的中点，是棱上的动点，则（    ）

A.直线与所成角的正切值为

B.直线平面

C.平面平面

D.到直线的距离为

12.设定义在R上的函数与的导数分别为与，已知，，且的图象关于直线对称，则下列结论一定成立的是（    ）

A.函数的图象关于点对称

B.函数的图象关于直线对称

C.函数的一个周期为8

D.函数为奇函数

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量，则在上的投影向量为__________.（用坐标表示）

14.如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切.若，则该模型中最小小球的半径为__________.

15.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，若三点共线，且的外接圆交于点的外接圆交于点，则__________.

16.函数的部分图象如图所示，若，且，则__________，__________.

四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出说明文字､演算式､证明步骤.

17.（本小题满分10分）

已知的内角所对的边分别为，且满足.

（1）求角；

（2）若的面积为，点在边上，是的角平分线，且，求的周长.

18.（本小题满分12分）

已知数列和.

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和.

19.（本小题满分12分）

某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“”的构成模式，第一个“3”是语文､数学､外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治､历史､地理､物理､化学､生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理､化学､生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理､化学､生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体，从学生群体中随机抽取100名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如表：

（1）从这100名学生中任选2名，求他们选考物理､化学､生物科目数量相等的概率；

（2）从这100名学生中任选2名，记表示这2名学生选考物理､化学､生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量的数学期望；

（3）用频率估计概率，现从学生群体中随机抽取4名学生，将其中恰好选考物理､化学､生物中的两科目的学生数记作，求事件“”的概率.

20.（本小题满分12分）

已知三棱柱中，侧面是正方形，底面是等腰直角三角形，且为线段中点，.

（1）求证：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角为，且满足？若不存在，请说明理由；若存在，求出的长度.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上､下顶点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点（异于点），且.的面积为，过点作直线，交椭圆于点，求证：.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）证明：；

（2）证明：函数在上有唯一零点，且.

蚌埠市2023届高三年级第四次教学质量检查考试

数学参考答案及评分标准

一､选择题：

二､多选题：

三､填空题：

13.    14.    15.1    16.（2分），分

四､解答题：

17.（10分）

（1），

，

由正弦定理得，

，

又.

（2）.

由题意知，

，

，

，故.

的周长为.

18.（12分）

（1）由得，

整理得，而，

所以数列是以为首项，公比为的等比数列，

所以，

，

.

（2），

设，①

则，②

①-②得，从而

.

19.（12分）

（1）记“所选取的2名学生选考物理､化学､生物科目数量相等”为事件，则.

（2）由题意可知的可能取值分别为，则

，

从而的分布列为：

故的期望为.

（3）所调查的100名学生中物理､化学､生物选考两科目的学生有40名，

相应的频率为，

由题意知，所以事件“”的概率为

20.（12分）

（1）证明：侧面是正方形，底面是等腰直角三角形，.

又平面，而平面.

由题意四边形为菱形，且是等边三角形，

为中点，，

又平面，

而平面，

平面平面.

（2）假设存在点满足题意，则由（1）知平面，

取中点，以方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则，从而.

设，则，

设平面的法向量为，则即

取.

设平面的法向量为，则即

取得.

，

化简得，，解得或（舍）.

故存在满足题意.

21.（12分）

（1）解：由题意得：解得

故椭圆的方程为.

（2）证明：直线的方程为，代入，

得.设，

则，

所以，

即，得.

所以

设，得，

因为，所以，即.

22.（12分）

（1）证明：令，易知

，故在R上单调递增，

又，故在恒成立，即在单调递增，

又在恒成立，即在单调递减，

因为，故在上恒成立，即.

（2）由，

，

所以在单调递减，又，

由零点存在性定理知，存在唯一实数，使得，

故当单调递增；

单调递减.又，故，

且在恒成立，又，

故存在唯一，使得.

下面证明，只需证，

即证.

由（1）知：，

只需证：，

令，而，

故只需证，其中，

令，

则，

所以在上单调递增，

所以，即时，，

所以.