广西百色市靖西市2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

2022-2023学年广西百色市靖西市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各代数式中，是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  解方程最适当的方法是(    )

A. 直接开方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 分解因式法

4.  下列二次根式中，与是同类二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  将一元二次方程化为一般形式为常数，其中的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列图各组数中，是勾股数的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

8.  若将方程化成为常数的形式，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  某商品原价为元，连续两次降价后售价为元，下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 以上答案都不对

10.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C. 且 D. 且

11.  在平面直角坐标系中，已知点，，线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形若正方形，，的面积依次为，，，则正方形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13.  计算：______．

14.  若有意义，则的取值范围是          ．

15.  在中，，，，则的面积是______ ．

16.  已知一元二次方程的两根分别为，，则 ______ ．

17.  “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是和，则小正方形与大正方形的面积之比为______ ．

18.  “通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”请你用这种思维方式和换元法解方程：方程的解为______．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

19.  已知实数、在数轴上的位置如图所示，请化简．

四、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：．

21.  本小题分
解方程．

22.  本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
求的取值范围；
当时，求的值．

23.  本小题分
如图，在中，两直角边，．
求的长；
求斜边上的高的长．

24.  本小题分
在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；
；
；
对于以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下的方法化简；；
请参照方法化简：；
化简：为正整数

25.  本小题分
我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，若销售价为元，每天可售出件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，扩大销售量同时让消费者获得更大的实惠，经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利元？该专卖店要想平均每天盈利元，可能吗？请说明理由．

26.  本小题分
如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知：米，米．
小敏猜想立柱段的长为米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱段的正确长度；
为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长．结果不必化简成最简二次根式

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是二次根式，故A不符合题意．
B、是二次根式，故B符合题意．
C、不是二次根式，故C不符合题意．
D、不是二次根式，故D不符合题意．
故选：．
二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．
本题考查二次根式的定义，解题的关键是熟练运用二次根式的定义，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是最简二次根式，故符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：此题用分解因式法最适当
移项得，，
，
或，
，．
故选：．
方程移项得到，利用提公因式分解即可得到，则或，解一元一次方程即可．
本题考查了利用因式分解法解一元二次方程：先把方程变形，使方程右边为，然后把方程左边进行因式分解，于是一元二次方程转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可得到一元二次方程的解．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，故A符合题意．
B、与不是同类二次根式，故B不符合题意．
C、与不是同类二次根式，故C不符合题意．
D、，与不是同类二次根式，故D不符合题意．
故选：．
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式的概念，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：与不能合并，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，故C错误，不符合题意；
，故D正确，符合题意；
故选：．
根据二次根式的运算法则逐项判断即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
所以，
故选：．
先化成一元二方程的一般形式，再得出即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是、、为常数，．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，
，，不是一组勾股数，不符合题意；
B、，不是正整数，
，，不是一组勾股数，不符合题意；
C、，
，，不是一组勾股数，不符合题意；
D、，
，，是一组勾股数，符合题意．
故选：．
根据勾股数的定义判断即可．满足的三个正整数，称为勾股数．
本题考查的是勾股数，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
则，即，
，，
则，
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后得出、的值，继而得出答案．
本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：依题意得两次降价后的售价为，
．
故选：．
主要考查增长率问题，本题可用降价后的价格降价前的价格降价率，首先用表示两次降价后的售价，然后由题意可列出方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解不等式组即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

11.【答案】 

【解析】解：点，，
．
故选：．
根据平面直角坐标系中两点间距离公式，即可求解．
本题主要考查了勾股定理和平面直角坐标系中两点间的距离，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意：，，
，
正方形，，的面积依次为，，，
，
．
故选：．
根据正方形边长的平方正方形边长的平方正方形边长的平方解答即可．
本题侧重考查的是勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可求得的取值范围．
【解答】
解：根据题意得，
解得．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
，
，
的面积是，
故答案为：．
根据勾股定理的逆定理求出，根据直角三角形的面积公式求出即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积的应用，关键是证出是直角三角形．
 

16.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两根，
，，
；
故答案为：．
根据一元二次方程根与系数的关系，进行求解即可．
本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握两根之和等于，两根之积等于，是解题的关键．
 

17.【答案】： 

【解析】解：直角三角形的两条直角边的长分别是和，
小正方形的边长为，
根据勾股定理得：大正方形的边长，
．
故答案为：：．
根据题意求得小正方形的边长，根据勾股定理求出大正方形的边长，由正方形的面积公式即可得出结果．
本题考查了勾股定理和正方形的面积，掌握数形结合来证明勾股定理是解题的关键．
 

18.【答案】， 

【解析】解：设，则原方程变形为：，
解关于的方程得，，
当时，，方程无实数解，
当时，，
，
解得，，
经检验，，时原方程的解，
故答案为：，．
设，得，解得，，当时，，方程无实数解，当时，，解得，．
本题考查换元法解无理方程，解题的关键是读懂题意，掌握换元法．
 

19.【答案】解：由数轴可知，，，



． 

【解析】根据数轴上、的位置，判断、、与的大小，再求算术平方根，绝对值．
本题考查了二次根式、绝对值、数轴，做题的关键是掌握二次根式的性质、绝对值定义、数轴上点表示数的特点．
 

20.【答案】解：

． 

【解析】利用二次根式的性质化简并计算即可．
本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是掌握二次根式的化简．
 

21.【答案】解：
，
，． 

【解析】根据因式分解即可求出一元二次方程．
此题主要考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟知因式分解法解方程．
 

22.【答案】解：根据题意得，
解得，
即的取值范围为；
根据根与系数的关系得，
，
，
解得，
而，
的值为． 

【解析】根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可；
根据根与系数的关系得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 

23.【答案】解：由勾股定理得：；
中，
为斜边上的高，
的面积，
，
． 

【解析】由勾股定理求解即可；
由三角形面积得，则，即可求解．
本题考查了勾股定理以及三角形面积公式，由勾股定理求出的长是解题的关键．
 

24.【答案】解：


；

原式


． 

【解析】先根据平方差公式进行变形，再根据二次根式的除法法则进行计算即可；
先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算和分母有理化，能正确分母有理化是解此题的关键．
 

25.【答案】解：设降价元，
由题意得：，
即，
解得不合降价题意，舍去，；
当时，
即：，
此时：，
此方程无实数解，
故不可能做到平均每天盈利元，
答：每件童装降价元，平均每天盈利元．不可能做到平均每天盈利元． 

【解析】根据总利润每件利润销售数量的相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得．
本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键．
 

26.【答案】解：不正确，理由如下：
由题意得：米，米，
设米，则米，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
米，
米，
小敏的猜想不正确，立柱段的正确长度长为米．
由题意得：米，
米，
在中，由勾股定理得：米． 

【解析】设米，则米，在中，由勾股定理得，解得，则米，即可得出结论；
由题意得米，则米，在中，再由勾股定理求出的长即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出的长是解题的关键．