湖南省长沙市雅礼中学2023届高三一模数学试题（含答案）

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2023届高三一模数学试题（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省长沙市雅礼中学2023届高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C．且 D．2．下列说法正确的是（    ）A．若，则与的方向相同或者相反B．若，为非零向量，且，则与共线C．若，则存在唯一的实数使得D．若，是两个单位向量，且．则3．函数的最小正周期为（    ）A． B． C． D．不能确定4．给定一组数据：1，3，2，1，5，则这组数据的方差及第40百分位数分别是（    ）A．5，2 B．，2 C．，1.5 D．5，1.55．已知，则（    ）A．1024 B．1023 C．1025 D．5126．已知数列满足，，若表示不超过的最大整数，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．57．若，则当，1，2，…，100时（    ）A． B．C． D．8．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A． B．C． D． 二、多选题9．已知复数z的共轭复数为，则下列说法正确的是（    ）A．B．一定是实数C．若复数，满足．则D．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数10．已知不恒为0的函数，满足，都有．则（    ）A． B．C．为奇函数 D．为偶函数11．如图，已知双曲线：的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B，连接，，与双曲线左支交于点P，与渐近线分别交于点M，N，则（    ）A．B．C．过的双曲线的弦的长度的最小值为8D．点B到两条渐近线的距离的积为12．如图，正方体的棱长为3，E为AB的中点，，动点M在侧面内运动（含边界），则（    ）A．若∥平面，则点M的轨迹长度为B．平面与平面ABCD的夹角的正切值为C．平面截正方体所得的截面多边形的周长为D．不存在一条直线l，使得l与正方体的所有棱所成的角都相等 三、填空题13．计算：________．14．六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有________种排法．15．函数的最小值为________．16．如图，已知抛物线C：，圆E：，直线OA，OB分別交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为________． 四、解答题17．已知正数数列，，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．18．在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求BC边上的高AD的最大值．19．斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．(1)在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；(2)求点到平面的距离．20．2023年中非经贸合作座谈会议在长沙举行，拟在某单位招募5名志愿者，该单位甲、乙、丙三个部门可分别向单位推选3名志愿者以供选拔，每个部门有3个小组，每个小组可向本部门推选2名志愿者供部门选拔，假设每名志愿者入选的机会相等．(1)求甲部门志愿者入选人数为1人的概率；(2)求所招募的5名志愿者来自三个部门的概率；(3)求某小组志愿者入选人数X的分布列及期望．21．已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)当时，求证：（记）．22．已知椭圆C：，直线l与椭圆C交于A，B两点．(1)点为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为，试探究直线l是否过定点，并说明理由；(2)若．过点O作，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程．
参考答案：1．C2．B3．A4．C5．B6．A7．C8．D9．BD10．BD11．AD12．ABC13．14．9015．16．17．(1)(2) 18．(1)；(2). 19．(1)存在，(2) 20．(1)；(2)；(3)分布列见解析，. 21．(1)(2)证明见解析 22．(1)直线l过定点；(2)