2023年福建省宁德市博雅培文学校中考二模数学试卷（含答案）

2023年福建省宁德市福安市博雅培文学校初中部中考

数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列各数中，比小的数是（   ）

A. B. C.  D.

2.下列计算正确的是（   ）

A. B.

C. D.

3.一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是长方形，这个几何体可能是（   ）

A.长方体 B.四棱锥 C.三棱锥  D.圆锥

4.要使有意义，则实数的取值范围是（   ）

A. B. C.  D.

5.一组数据，，，，的中位数和众数分别是（   ）

A.， B.， C.，  D.，

6.方程的解是（   ）

A. B. C.  D.

7.已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（   ）

A.有最大值，有最小值 B.有最大值，有最小值

C.有最大值，有最小值 D.有最大值，有最小值

8.直线的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（   ）

A.   B.   C.   D.

9.如图，点是的内心，的延长线交于，点、关于所在的直线对称，若，则的度数是（   ）

A. B. C.  D.

10.如图，的图象与交于、、、四点，若，则（   ）

A.     B.   C.    D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.点到原点的距离是______．

12.已知，，则______．

13.在数轴上，与最接近的整数是______．

14.如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，能够让灯泡发光的概率为______．

15.如图，在中，，点在线段上，且，，，则的长度为______．

16.正方形中，，将边绕点逆时针旋转得线段，连接并延长交于点，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.计算：．

18.如图，，，点在上，且求证：．

19.解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．

20.如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴的正半轴上，，且，，反比例函数的图象经过点．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若与关于直线对称，一次函数的图象过点、，求一次函数的表达式．

21.如图，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于，连接，．

（1）求证：；

（2）若，，求的半径．

22.某校有学生人，准备开展学校社团活动，组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团每名学生最多只能报一个社团，也可以不报为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完整的统计图．

结合以上信息，回答下列问题：

（1）本次抽样调查的样本容量是______；

（2）条形统计图国学（B）上的具体数据是______；

（3）参与科技制作社团（D）所在扇形的圆心角度数是______；

（4）请你估计全校有多少学生报名参加篮球社团活动．

23.某自行车行经营的型自行车去年销售总额为万元今年该型自行车每辆售价预计比去年降低元若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少，求：

（1）型自行车去年每辆售价多少元；

（2）该车行今年计划新进一批型车和新款型车共辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍已知型车和型车的进货价格分别为元和元.计划型车销售单价为元，请直接写出这批自行车最多获利多少元．

24.如图，在正方形中，，为边上的一动点不与点重合，点与点关于所在的直线对称，连接，，延长到点，使得，连接，．

图1                    备用图

（1）依题意补全图形1；

（2）若，求线段的长；

（3）当点在边上运动的时，使为等腰三角形，直接写出此时______．

25.如图①，交轴于、两点，交轴的正半轴于，，为抛物线的顶点，是线段上异于，一个动点，在上．

①        ②

（1）直接写出______，______；

（2）若时，求的最大值；

（3）如图②，的延长线交于，若，记，，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：比小的数是应该是负数，且绝对值大于的数；

分析选项可得，只有A符合．

故选：A．

根据题意，结合实数大小的比较，从符号和绝对值两个方面分析可得答案．

本题考查了有理数比较大小，掌握绝对值的计算是关键．

2.【答案】B

【解析】解：A、与不是同类项，故不能合并，不合题意；

B、，符合题意；

C、，不合题意；

D、，不合题意；

故选：B．

根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂除法，完全平方公式进行求解判断即可．

本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂除法，完全平方公式，掌握相关计算法则是关键．

3.【答案】A

【解析】解：有2个视图是长方形，

该几何体为柱体，

第3个视图是长方形，

该几何体可能为长方体．

故选：A．

有2个视图是长方形可得该几何体为柱体，第3个视图也是长方形可得该几何体可能为长方体，进而判断出几何体的形状．

此题考查了由视图判断几何体用到的知识点为：有2个视图是长方形的几何体是柱体；主视图表现物体的长与高，左视图表现物体的宽与高．

4.【答案】A

【解析】

【分析】

此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．

根据二次根式的性质可以得到是非负数，由此即可求解．

【解答】

解：依题意得，

．

故选：A．

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

根据众数和中位数的概念求解即可．

【解答】

解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，

中位数为：，众数为：．

故选：A．

6.【答案】D

【解析】解：，

方程两边都乘，得，

解得：，

检验：当时，，

所以是分式方程的解，

故选：D．

方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．

本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．

7.【答案】D

【解析】解：，

在的取值范围内，当时，有最小值，

当时，有最大值为．

故选：D．

把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．

本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．

8.【答案】B

【解析】解：当时，．

函数图象与轴交于点，

一次函数，当时，图象在轴上方，

不等式的解集为，

故选：B．

根据图象可确定时，图象所在位置，进而可得答案．

此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．

9.【答案】B

【解析】解：，

，

，，

，

点、关于所在的直线对称，

，，

在和中，

，

≌，

，

，

，

故选：B．

根据三角形的内心和三角形内角和，可以求得的度数，再根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质可以得到，然后根据，即可求得的度数．

本题考查三角形的内切圆和内心、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

10.【答案】B

【解析】解：令，得或，，

解得或，

的横坐标，的横坐标为，

的横坐标，的横坐标为，

，

，

，

，

解得．

故选：B．

令，分别求出、、、四点的横坐标，根据可得关于的方程，解方程即可得出答案．

本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．

11.【答案】

【解析】解：点，

到原点的距离．

故答案为：．

根据点的横纵坐标与点到原点的距离恰好构成直角三角形即可得出结论．

本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

12.【答案】

【解析】解：，，

，

．

故答案为：．

根据完全平方公式变形求解即可．

本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．

13.【答案】

【解析】解：，

，

，，

在数轴上与最接近的整数为．

故答案为：．

由于，得到在整数与之间，并且与更接近．

本题考查了估算无理数的大小，掌握立方根的定义是解题的关键．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查的是概率的求法．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率.先得出随机闭合开关，，中的两个，有种方法，再找出使灯泡发光的情况数，然后运用概率公式求解即可．

【解答】

解：因为随机闭合开关，，中的两个，有3种方法：，；，；，；其中有2种（；，）能够让灯泡发光，

所以灯泡发光．

故答案为．

15.【答案】

【解析】

【分析】

此题主要考查了含角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．

首先证明，然后再由条件可得答案．

【解答】

解：，，

，

，

，，，

，，

，

，，，

故答案为：．

16.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，，

把边绕点逆时针旋转得到线段，

，，，

是等边三角形，

，，

，

，，，

，，

过点作垂直于点，

，

．

故答案为：．

根据旋转的性质得，，推导出是等边三角形，得到，，，解直角三角形得到，，过作，进而得出结论．

本题考查旋转的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是证明是等边三角形，属于中考常考题型．

17.【答案】解：

．

【解析】先计算算术平方根、零次幂和负整数指数幂，再计算加减．

此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法．

18.【答案】证明：，，

在和中，

，

≌，．

【解析】先根据平行线的性质得到，然后根据“”可判断≌，从而根据全等三角形的性质得到结论．

本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

19.【答案】解：解不等式①，得：，

解不等式②，得：，

不等式组的解集为，

将不等式的解集表示在数轴上如下：

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

20.【答案】解：（1）过点作于点，

设，

，．

，，，

解得舍去，

．

，，，

反比例函数表达式为：；

（2），，

，

，

．

又与关于直线对称，，，

，

、、共线，

，

．

把点、的坐标分别代入，得

，解得，

故一次函数表达式为：．

【解析】（1）过点作于点，设，通过解直角得到然后利用勾股定理列出关于的方程并解答即可；

（2）欲求直线的表达式，只需推知点、的坐标即可．通过解直角求得，则根据对称的性质得到：，结合求得然后由待定系数法求一次函数解析式即可．

本题考查了解直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，解题时，注意“数形结合”数学思想的应用．

21.【答案】（1）证明：如图，连接，

是的切线，，

点是的中点，

，，

，

，，

，；

（2）解：如图，连接，

，，四边形是平行四边形，

又，四边形是菱形，

，，

是等边三角形，，

，，

，，

，

即的半径为．

【解析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，再由等弧所对的圆周角相等可得，从而证明，可得，即可证明．

（2）连接，由题意可证四边形是菱形，可得是等边三角形，从而可得，根据直角三角形的性质可得，即可求出结果．

本题考查了等腰三角形的性质、圆的切线的性质定理和圆周角定理、等边三角形的性质和菱形的判定和性质及平行线的性质，熟练综合运用这些知识点，并能准确作出辅助线是解决问题的关键．

22.【答案】        

【解析】解：（1）本次抽样调查的样本容量是，

故答案为：；

（2）参与篮球社的人数人，

参与国学社的人数为人，

补全条形统计图如图所示；

故答案为：15；

（3）参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数为；

故答案为：；

（4）名，

答：全校有学生报名参加篮球社团活动．

（1）利用摄影社团的人数除以摄影社团所占的百分比即可得到结论；

（2）求出参与篮球社的人数和国学社的人数，补全条形统计图即可；

（3）利用科技制作社团所占的百分比乘以即可得到结论；

（4）利用全校学生数乘以参加篮球社团所占的百分比即可得到结论．

此题考查了扇形统计图，条形统计图，读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

23.【答案】解：（1）设型自行车去年每辆售价元，

根据题意，得，

解得，

经检验，是原方程的根，且符合题意，

答：型自行车去年每辆售价元；

（2）设购进型车辆，总利润为元，

根据题意，得，

解得，

，

，

随着的增大而减小，

当取时，取得最大值，

最大值为，

答：这批自行车最多获利元．

【解析】（1）设型自行车去年每辆售价元，根据该型车今年的销售数量与去年相同，列分式方程，求解即可；

（2）设购进型车辆，总利润为元，根据型车的进货数量不超过型车数量的两倍，列一元一次不等式，求出的取值范围，再表示出与的一次函数，根据一次函数的性质求出最大利润即可．

本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．

24.【答案】或

【解析】解：（1）根据题意作图如下：

图1

（2）连接，如图2，

点与点关于所在直线对称，

，，

四边形是正方形，，，

，≌，

，，

，，

≌，

，

四边形是正方形，

，

，，

，

；

故线段的长为；

图2

（3）设，则，

，

，，

，

当为等腰三角形时，只能有两种情况：，或，

①当时，有，解得；

②当时，，解得，，

综上，或．

故答案为：或．

（1）根据题意作出图形便可；

（2）连接，先证明≌，再证明≌，求得，便可得；

（3）设，求出、、，当为等腰三角形，分两种情况：或，列出方程求出的值，进而求得最后结果．

本题是正方形的综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，分类思想和方程思想，关键是证明三角形全等．

25.【答案】    

【解析】解：（1）交轴于两点，交轴的正半轴于，

，，，，，

，，

即，

解得：，，

点在轴的正半轴上，，，，

，

抛物线的顶点，

如图1，过点作轴于点，

则，，

，

，

故答案为：，；

图1

（2）设，且，

则，，

如图2，过点作于点，则，

，

、、都是等腰直角三角形，

，，

，，

，

是等腰直角三角形，

，

，

，

，

当时，取得最大值；

图2

（3）设，且，

则，，

，

，，，

，∽，

，

，

，

当，时，，当且仅当时，，

，

，

当且仅当，即时，为最小值．

图3

（1）分别令，，可得：，，，由，可求得，过点作轴于点，利用，即可求得；

（2）设，且，则，，可证得、、、都是等腰直角三角形，进而可得，运用二次函数的最值即可得出答案；

（3）由，，可得，利用平行线的判定定理可得，推出∽，利用相似三角形性质可得，推出，利用乘法公式可得：当，时，，当且仅当时，，即可求得答案．

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，解题关键是运用基本不等式解决问题．