2023年湖南省衡阳市衡州中学中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年湖南省衡阳市衡州中学中考数学一模试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年衡阳市衡州中学数学一模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．2017的相反数是（ ）
A．2017 B．-2017 C． D．
2．下列计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
3．我国倡导的“一带一路”建设覆盖总人口约为44亿人，44亿用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
4．下列各式中，正确的是（    ）
A． B． C． D．
5．如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．函数的自变量的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
7．已知下列命题:①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②内错角相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④矩形的对角线相等，其中假命题有（    ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．如图所示的三棱柱，高为，底面是一个边长为的等边三角形．要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最小值为（    ）．

A． B． C． D．
9．不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．若函数是反比例函数，则为（  ）
A．±2 B．2
C．-2 D．以上都不对
11．在一幅长，宽的景观区域的四周铺设一条观光小道，如图所示，如果要使观光小道的总面积是，设观光小道的宽为，那么满足的方程是（    ）

A． B．
C． D．
12．如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝13，点A、B的坐标分别为（1，0），（6，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣4上时，线段BC扫过的面积为（　　）

A．84 B．80 C．91 D．78

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
13．如图，与都相交，，则_________．

14．一个正n边形的一个外角等于36°，则n＝________．
15．试卷上一个正确的式子被小颖同学不小心滴上墨汁★．被墨汁★遮住部分的代数式为_______________ ．
16．如图1，在第一个天平上，物块的质量等于物块加上物块的质量；如图2，在第二个天平上，物块加上物块的质量等于个物块的质量．已知物块的质量为．请你判断：个物块的质量是____________．

17．如图，中，AB=a，BC=2a，∠B=90°，将沿BC方向平移b个单位得（其中A，B，C的对应点分别是D，E，F），设DE交AC于点G，若的面积比的大8，则代数式的值为__________．

18．如图，等边的顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接，若等边的边长为2，则线段长的最大值是 ____．


三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．计算：
（1）    
（2）
20．某校为了调查初三男生和女生周日学习用时情况，随机抽取了初三男生和女生各50人，对他们的周日学习时间进行了统计，分别得到了初三男生的学习时间的频率分布表和女生学习时间的频率分布直方图（学习时间x，单位：小时，0≤x≤6）．
男生周日学习时间频率表
学习时间
频率
0≤x＜1
0.34
1≤x＜2
0.36
2≤x＜3
0.38
3≤x＜4
0.22
4≤x＜5
0.14
5≤x＜6
0.06
（1）请你判断该校初三年级周日学习用时较长的是男生还是女生，并说明理由；
（2）从这100名学生中周日学习用时在5≤x≤6内的学生中抽取2人，求恰巧抽到一男一女的概率．

21．如图，在四边形ABCD中，//，连接BD，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠1＝∠2．

(1)EF与BD存在怎样的位置关系？请说明你的理由．
(2)若BD平分∠ABC，∠A＝130°，∠C＝70°，求∠CFE的度数．
22．九（1）班同学为了解某小区家庭月均用水情况（单位：吨），随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理：
月均用水量（吨）
频数（户）
频率

6
0.12


0.24

16
0.32

10
0.20

4

25
2
0.04

请解答以下问题：
（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；
（2）若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均有水量超过20吨的家庭大约有多少户？
23．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为（i＝1：是指铅直高度DE与水平宽度CE的比），CD的长为10 m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABC＝45°．

（1）写出过街天桥斜面AB的坡度；
（2）求DE的长；
（3）若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB的长（结果精确到．0.01 m）．
24．直径和是的切线，切于点且交于点交于点，设．

求与之间的关系式；
是关于的一元二次方程的两个根，求的值；
在的条件下，求的面积．
25．如图，半圆O中，，点M为上一点，，点P为半圆上一个动点，连接、，过点A作，垂足为N．

小明根据学习函数的经验，对线段、、的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）设的长度为cm ，的长度为，的长度为，对于点P在半圆O上的不同位置，画图、测量，得到了线段、、的长度的几组值，如表：

0
1
2
3
4
5
6
7
7.5
7.64
7.78
7.90
8

0
0.99
1.99
2.97
3.92
4.82
5.61
5.99
5.56
5.18
4.46
3.30
0

6
5.91
5.65
5.21
4.53
3.56
2.12
0.24
2.25
3.01
4.00
5.01
6
请计算，当时，________；
（2）利用表格中的数据，在如下平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数关于x的函数图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当是等腰三角形时，直接写出长度的近似值．（保留一位小数）
26．如图，抛物线y＝－＋x＋2与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点C在y轴右侧的抛物线上，且AC＝BC，求点C的坐标；
（3）如图2，将△ABO绕平面内点P顺时针旋转90°后，得到△DEF（点A，B，O的对应点分别是点D，E，F），D，E两点刚好在抛物线上．
①求点F的坐标；
②直接写出点P的坐标．















































参考答案：
1．【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，据此可得．
解：2017的相反数是-2017，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的概念．解题的关键是掌握相反数的概念，只有符号不同的两个数互为相反数．
2．【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方分别计算即可．
解：A、与不属于同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
解：．
故选D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及n的值．
4．【分析】根据求一个数的立方根，算术平方根求解即可．
解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；    
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
【点评】本题考查了求一个数的立方根，算术平方根，正确的计算是解题的关键．
5．【分析】中心对称图形绕某一点旋转180°后的图形与原来的图形重合，轴对称图形被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合，据此逐一判断出既是轴对称图形又是中心对称图形的是哪个即可．
解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：D
【点评】本题考查的是中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握两者的定义是解题的关键．
6．【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可．
解：由题意得，，
解得：．
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
7．【分析】利用平行四边形的判定、平行线的性质、菱形的判定和矩形的性质分别对各命题进行判断即可．
解：①根据平行四边形的判定定理可知，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①是真命题；
②两直线平行，内错角相等，故②为假命题；
③根据菱形的判定定理，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故③是假命题；
④根据矩形的性质，矩形的对角线相等，故④是真命题；
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉平行四边形的判定、平行线的性质、菱形的判定及矩形的性质，难度不大．
8．【分析】三棱柱有9条棱，观察三棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数是条，相减即可求出需要剪开的棱的条数．
解：由图形可知：没有剪开的棱的条数是4条，

则至少需要剪开的棱的条数是：9-4=5（条），
∴棱长和的最小值为：8+4×5=28，
故选A
【点评】本题主要考查的是认识立体图形，明确n棱柱有n个侧面，2个底面，3n条棱，2n个顶点；能够数出三棱柱没有剪开的棱的条数是解答此题的关键．
9．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
解：解不等式3x﹣1＞2得：x＞1，
解不等式﹣3x+6≥0，得：x≤2，
则不等式组的解集为1＜x≤2，
在数轴上表示出来为：
故选：C．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，掌握解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集是解题的关键.
10．【分析】让反比例函数中未知数的次数为-1，系数不为0列式求值即可．
解：∵y=(n-2)是反比例函数，
∴，
解得：n=-2.
故答案选C.
【点评】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的定义.
11．【分析】根据题意可知景观区和观光小道是一个长方形，其长为(60+2x)m，宽为(40+2x)m，根据总面积-景观区的面积=观光小道的面积列出方程即可．
解：根据题意，得
，
即．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，确定等量关系是解题的关键．
12．【分析】首先根据题意作出图形，则可得线段BC扫过的面积应为平行四边形BCC′B′的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程．则可由勾股定理求得AC的长，由点与一次函数的关系，求得A′的坐标，即可求得CC′的值，继而求得答案．
解：如下图：

∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（6，0），
∴AB＝5．
∵∠CAB＝90°，BC＝13，
∴AC＝＝12．
∴A′C′＝12．
∵点C′在直线y＝2x﹣4上，
∴2x﹣4＝12，解得：x＝8．
即OA′＝8．
∴CC′＝AA′＝OA′﹣OA＝8﹣1＝7，
∴＝7×12＝84，
即线段BC扫过的面积为84．
故选：A．
【点评】此题考查了一次函数的性质、平移的性质、勾股定理以及平行四边形的性质．能根据性质得出的底和高是解决此题的关键.
13．【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠3，再用补角的定义得出∠2.
解：∵a∥b，
∴∠1=∠3=50°，
∴∠2=180°-50°=130°，
故答案为130°.

【点评】本题考查了平行线的性质和补角的定义，解题的关键掌握两直线平行，同位角相等.
14．【分析】利用多边形的外角和即可解决问题．
解：n=360°÷36°=10．
故答案为10．
【点评】本题主要考查了正n边形的外角特点．因为外角和是360度，所以当多边形是正多边形时，每个外角都相等．直接利用外角求多边形的边数是常用的方法．
15．【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后转化进行计算即可．
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
16．【分析】可以分别设物块A、B、C的质量是x，y，z，然后根据两个天平列出方程组，消去z，得出y与x之间的关系即可得出答案.
解：设物块A、B、C的质量分别是x克，y克，z克，根据题意得，

①×3-②，得
2x=4y
∴x=2y
∵x=10
∴2y=10，
解得，y=5，
即，1个物块的质量是5g.
故答案为：5.
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题列出二元一次方程组是解此题的关键.
17．【分析】由平移的性质可得AD=BE=b，然后根据已知条件可得，再根据长方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出结论．
解：∵AB=a，BC=2a，∠B=90°，将沿BC方向平移b个单位得
∴AD=BE=b，AB=DE=a
∵的面积比的大8，即
∴
∴
∴BE·AB－BC·AB=8
∴ab－×2a·a=8
∴ab－a2=8
∴a（b－a）=8
∴=-8
故答案为： -8．
【点评】此题考查的是平移的性质、因式分解、长方形的面积公式和三角形的面积公式，根据得到是解决此题的关键．
18．【分析】取的中点D，连接、，根据直角三角形性质，得出，根据等边三角形的性质，求出，，根据三角形三边关系，得出点O、C、D三点共线时，最大，求出最大值即可．
解：取的中点D，连接、，如图所示，

∵为直角三角形，D为的中点，
∴，
∵是边长为2的等边三角形，D为的中点，
∴，，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
在中，，
当点O、C、D三点共线时，最大，
此时．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，得出当点O、C、D三点共线时最大．
19．【分析】（1）先按照完全平方公式，单项式乘以多项式的法则计算整式的乘法，再合并同类项即可得到答案；
（2）先通分，计算括号内的分式的加减运算，同步把除法转化为乘法，约分后可得答案．
解：（1）    


（2）




【点评】本题考查的是整式的混合运算，分式的混合运算，掌握以上运算是解题的关键．
20．【分析】（1）分别求出男生和女生周日学习用时的平均数，由此判断即可；
（2）从被抽到的100名学生中周日学习用时在[5，6]内的学生中男生由2人，女生由4人，列树状图求得抽到1男1女的概率即可．
解：（1）由频数分布直方图得女生学习时间的平均数为：（10×1.5+10×2.5+14×3.5+8×4.5+2×5.5）＝2.75；
由男生周日学习时间频率表得男生学习时间的平均数为：0.5×0.34+1.5×0.36+2.5×0.38+3.5×0.22+4.5×0.14+5.5×0.06＝3.39，
∵2.75＜3.39，
∴该校初三年级周日学习用时较长的是男生；
（2）这100名学生中周日学习用时在5≤x≤6内的学生中，男生有3人，女生有2人，
列树状图如图所示，由树状图可知，共有20种情况；
刚好抽到一男一女的有12种等可能结果，
所以刚好抽到一男一女的概率为．

【点评】此题考查了概率公式与列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【分析】（1）利用平行线性质得出，再通过等量代换得出，可证；
（2）利用平行线性质（两直线平行，同旁内角互补）求出，由 平分 求出，进而求得∠2，利用三角形内角和定理即可求解．
（1），理由如下，证明：（已知），（两直线平行，内错角相等），，（等量代换），（同位角相等，两直线平行）．
（2）（已知），（两直线平行，同旁内角互补），（已知），， 平分 （已知），，， 在 中，（三角形内角和定理），，．
【点评】本题考查平行线的性质与判定、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握平行性质与判定方法是解题关键．
22．【分析】（1）根据表中的数据可以将频数分布表补充完整，根据频数分布表中的数据可以将频数分布直方图补充完整.
（2）根据频数分布表中的数据可以计算出该小区月均有水量超过20吨的家庭大约有多少户.
解：（1）样本容量为6÷0.12=50，
50×0.24=12，
4÷50=0.08
月均用水量（吨）
频数（户）
频率

6
0.12

12
0.24

16
0.32

10
0.20

4
0.08
25
2
0.04
由频数分布表知，5＜x≤10有12人，10＜x≤15有16人

（2）1000×(0.08+0.04)=120（户）
答：该小区月均有水量超过20吨的家庭大约有120户.
故答案为120户.
【点评】本题考查了频数分布直方图，频数分布表，用样本估计总体. 解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.
23．【分析】（1）作AG⊥BC于G，在Rt△AGB中，∠ABG＝45°，则可以得到AG＝BG，再由AB的坡度即可求解；
（2）过点D作DE⊥BC于E，根据求出∠C＝30°，从而可以得到；
（3）由（1）（2）知AG＝BG=DE＝5 m，，则由，得到，由此求解即可．
解：（1）作AG⊥BC于G，

在Rt△AGB中，∠ABG＝45°，AG＝BG．
∴ AB的坡度．
（2）如图所示，过点D作DE⊥BC于E，
在Rt△DEC中，∵ ，
∴ ∠C＝30°．
又∵ CD＝10 m．
∴ ．

（3）由（1）（2）知AG＝BG=DE＝5 m，在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，
，即，解得．
答：改建后需占路面的宽度FB的长约为3.66 m．
【总结】本题主要考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．
24．【分析】（1）作交于，可知，DF=AB=12．由题意与切于点，切于，可知．即可求出．再在中，利用勾股定理即可求出x、y的关系．
（2）根据（1）可知，再根据韦达定理即可求出m的值．即得到一元二次方程，求出该一元二次方程的两个根即可．
（3）连接．根据切线可知，即即可求出．
解：（1）如图，作交于；
与切于点
．
又，
∴，
四边形是矩形，
，
，
；
切于，
，
则，
在中，，即，
整理为：，
与的函数关系式是．

（2）由（1）知，
∵是方程的两个根，
根据韦达定理知，，即；
原方程为，
解得：．
即或．
（3）如图，连接，

是的切线，
，
，
．
【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，一元二次方程的根与系数的关系和解一元二次方程．作出常用的辅助线是解答本题的关键．
25．【分析】（1）如图所示，连接BP，证明△PMB∽△APB，可得，求解，再利用勾股定理可得答案；
（2）先描点，再连线，即可得出结论；
（3）根据（2）中函数图像求解即可得到答案．
解：（1）如图所示，连接BP
∵AB是直径，
∴∠APB=90°

∵PM⊥AB
∴∠PMB=90°


∴△PMB∽△APB
∴
∴
∴在直角三角形ABP中，

（2）描点画图即可，答案如下

（3）由（2）中图像可知，交点位置即为所求
故答案为：4.4cm和7.8cm．
【点评】本题主要考查了函数图像的画法，相似三角形的判定，利用函数图像估值等等，解题的关键在于熟练的掌握相关知识点．
26．【分析】（1）令x=0，求得y值，得点B的坐标；令y=0，求得x的值，取较小的一个即求A点的坐标；
（2）设C的坐标为（x，－＋x＋2），根据AC＝BC，得到，令t=－＋x，解方程即可；
（3）①根据题意，得∠BPE=90°，PB=PE即点P在线段BE的垂直平分线上，根据B，E都在抛物线上，则B，E是对称点，从而确定点P在抛物线的对称轴上，点F在BE上，且BE∥x轴，点E（3，2），确定BE=3，根据旋转性质，得EF=BO=2，从而确定点F的坐标；
②根据BE=3，∠BPE=90°，PB=PE，确定P到BE的距离，即可写出点P的坐标．
解：（1）令x=0，得y=2，
∴点B的坐标为B（0，2）；
令y=0，得－＋x＋2=0，
解得
∵点A在x轴的负半轴；
∴A点的坐标（-1，0）；
（2）设C的坐标为（x，－＋x＋2），
∵AC＝BC，A（-1，0），B（0，2），
∴，
∵A（-1，0），B（0，2），
∴，
即，
设t=－＋x，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理，得，
解得
∵点C在y轴右侧的抛物线上，
∴，
此时y=，
∴点C的坐标（，）；
（3）①如图，根据题意，得∠BPE=90°，PB=PE即点P在线段BE的垂直平分线上，

∵B，E都在抛物线上，
∴B，E是对称点，
∴点P在抛物线的对称轴上，点F在BE上，且BE∥x轴，
∵抛物线的对称轴为直线x=，B（0，2），
∴点E（3，2），BE=3，
∵EF=BO=2，
∴BF=1，
∴点F的坐标为（1，2）；
②如图，设抛物线的对称轴与BE交于点M，交x轴与点N，
∵BE=3，
∴BM=，
∵∠BPE=90°，PB=PE，
∴PM=BM=，
∴PM=BM=，
∴PN=2-=，
∴点P的坐标为（，）．
【点评】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，旋转的性质，两点间的距离公式，一元二次方程的解法，换元法解方程，熟练掌握抛物线的对称性，灵活理解旋转的意义，熟练解一元二次方程是解题的关键．