2022年广东省梅州市五华县数学一模（含答案）

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2022年广东省梅州市五华县数学一模
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）为缓解中低收入人群和新参加工作的大学生住房的需求，某市将新建保障住房3900000套，把3900000用科学记数法表示应是（　　）
A．0.39×107 B．39×105 C．3.9×107 D．3.9×106
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2a2+3a2＝5a2 B．a5÷a3＝a
C．（﹣2a）3＝2a3 D．
4．（3分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（　　）
A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
6．（3分）若一元一次不等式组的解集是﹣3＜x＜2，则“⊕”表示的不等式可以是（　　）
A．x+3＞0 B．x﹣3＜0 C．x+3＜0 D．x﹣3＞0
7．（3分）已知直线l1：y＝2x+4，直线l2与直线l1关于x轴对称，将直线l1向下平移6个单位得到直线l3，则直线l2与直线l3的交点坐标为（　　）
A．（﹣，﹣3） B．（﹣，1） C．（，﹣3） D．（﹣，﹣1）
8．（3分）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，发现ax2+bx+c可以分解为（x﹣2）（x+3），他核对时发现所抄的b比原方程的b值大2，c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（　　）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣3 D．有两个相等的实数根
9．（3分）若等腰三角形的周长是20cm，则能反映这个等腰三角形的腰长ycm与底边长xcm的函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点．则以下结论：①ac＞0；②二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝﹣1；③2a+c＝0；④a﹣b+c＞0．其中正确的有（　　）个．

A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）比较大小：3﹣　 　﹣2．
12．（3分）分式有意义，x的取值范围是 　 　．
13．（3分）已知，点A（a﹣1，3）与点B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝　 　．
14．（3分）若实数x1，x2分别满足x2﹣4x+3＝0的两个根，则＝　 　．
15．（3分）如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将一边AD折叠，使点A恰好落在边BC的点F处，折痕为DE．若AB＝4，BF＝2，则AE的长是　 　．

16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（﹣1，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，则k的值为 　 　．

三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）计算：2tan60°﹣|﹣|+（﹣1）0﹣（）﹣2．
18．（4分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣2．
19．（8分）某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A：60≤x＜70
a
B：70≤x＜80
18
C：80≤x＜90
24
D：90≤x≤100
b
（1）n的值为 　 　，a的值为 　 　，b的值为 　 　；
（2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为 　 　°；
（3）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀（x≥80）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．

20．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 　 　，射线AE是∠DAC的 　 　；
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．

21．（8分）如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛P位于其西北方向（北偏西45°方向），2小时后轮船到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东60°方向．求此时船与小岛P的距离（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）．

22．（8分）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，连结AC，点D为的中点，过D作DE∥AC，交OC的延长线于点E．
（1）求证：DE是半圆O的切线．
（2）若OC＝3，CE＝2，求AC的长．

23．（8分）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，如表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于32元/kg．设公司销售板粟的日获利为w（元）．
x（元/kg）
10
11
12
y（kg）
4000
3900
3800
（1）求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
24．（12分）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．
（1）下列选项中一定是“等补四边形”的是 　 　；
A．平行四边形
B．矩形
C．正方形
D．菱形
（2）如图1，在边长为a的正方形ABCD中，E为CD边上一动点（E不与C、D重合），AE交BD于点F，过F作FH⊥AE交BC于点H．
①试判断四边形AFHB是否为“等补四边形”并说明理由；
②如图2，连接EH，求三角形CEH的周长；
③若四边形ECHF是“等补四边形”，求CE的长．

25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，M是抛物线顶点，△CBM的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E．
①求tan∠CBE；
②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线AN上是否存在点P，使得△ACP与△BCE相似？如果存在，请求出点P的坐标；
（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，若∠AQC为锐角，且tan∠AQC＞1，请直接写出点Q纵坐标的取值范围．


2022年广东省梅州市五华县数学一模
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A．不是中心对称图形；
B．是中心对称图形；
C．不是中心对称图形；
D．不是中心对称图形；
故选：B．
2． 解：3900000＝3.9×106．
故选：D．
3． 解：A．2a2+3a2＝5a2，故此选项符合题意；
B．a5÷a3＝a2，故此选项不合题意；
C．（﹣2a）3＝﹣8a3，故此选项不合题意；
D．﹣无法合并，故此选项不合题意．
故选：A．
4． 解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
5． 解：因为ab＝﹣3，a+b＝2，
所以a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝﹣3×2
＝﹣6，
故选：B．
6． 解：由x﹣1＜1，得：x＜2，
则“⊕”表示的不等式的解集为x＞﹣3，
x+3＞0的解集为x＞﹣3，
x﹣3＜0的解集为x＜3，
x+3＜0的解集为x＜﹣3，
x﹣3＞0的解集为x＞3，
故选：A．
7． 解：直线l1：y＝2x+4，直线l2与直线l1关于x轴对称，则直线l2：y＝﹣2x﹣4，
直线l1：y＝2x+4，将直线l1向下平移6个单位得到直线l3，则直线l3：y＝2x+4﹣6，即y＝2x﹣2，
联立方程组，
解得．
即直线l2与直线l3的交点坐标为（﹣，﹣3）．
故选：A．
8． 解：（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6，
∵抄对了a＝1，所抄的b比原方程的b值大2，c比原方程的c值小2，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中的b＝﹣1，c＝﹣4，
∴关于x的方程为x2﹣x﹣4＝0，
则b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
则原方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
9． 解：根据题意得 2y+x＝20．
∴y＝10﹣x，
由y+y＞x，即20﹣x＞x，得x＜10，
又x＞0，
∴0＜x＜10，
∴y关于x的函数关系式为y＝10﹣x（0＜x＜10）；
故选：B．
10． 解：对于①：二次函数开口向下，故a＜0，与y轴的交点在y的正半轴，故c＞0，故ac＜0，因此①错误；
对于②：二次函数的图象与x轴相交于A（﹣2，0）、B（1，0），由对称性可知，其对称轴为：，因此②错误；
对于③：设二次函数y＝ax2+bx+c的交点式为y＝a（x+2）（x﹣1）＝ax2+ax﹣2a，比较一般式与交点式的系数可知：b＝a，c＝﹣2a，故2a+c＝0，因此③正确；
对于④：当x＝﹣1时对应的y＝a﹣b+c，观察图象可知x＝﹣1时对应的函数图象的y值在x轴上方，故a﹣b+c＞0，因此④正确．
∴只有③④是正确的．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：∵3﹣﹣（﹣2）＝5﹣2，且4＜5＜6.25即2＜＜2.5，
∴4＜2＜5，
∴5﹣2＞0，
∴3﹣＞﹣2．
故答案是：＞．
12． 解：∵分式 有意义，
∴3x﹣2≠0，
解得，
故答案为：．
13． 解：∵点A（a﹣1，3）与点B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，
∴a﹣1＝﹣2，﹣2b﹣1＝﹣3，
解得：a＝﹣1，b＝1，
∴2a+b＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14． 解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝3，
∴原式＝
＝，
故答案为：．
15． 解：设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝4﹣x，
∵折叠后点A恰好落在边BC的点F处，
∴EF＝AE＝x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得，BE2+BF2＝EF2，
即（4﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
即AE的长为．
故答案为：．
16． 解：过点C、D作CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足为E、F，
∵ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
易证△ADF≌△BCE，
∵点A（﹣4，0），D（﹣1，4），
∴DF＝CE＝4，OF＝1，AF＝OA﹣OF＝3，
在Rt△ADF中，AD＝，
∴OE＝EF﹣OF＝5﹣1＝4，
∴C（4，4）
∴k＝4×4＝16
故答案为：16．

三．解答题（共9小题，满分72分）
17． 解：原式＝2﹣+1﹣4
＝﹣3．
18． 解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
当x＝﹣2时，
原式＝．
19． 解：（1）n＝18÷30%＝60，
∴a＝60×10%＝6，
∴b＝60﹣6﹣18﹣24＝12，
故答案为：60，6，12；
（2）补全频数分布直方图如下：

扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为：360°×＝144°，
故答案为：144；
（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为＝．

20． 解：（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的 角平分线．
故答案为：垂直平分线，角平分线．

（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝40°，
∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝50°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE＝∠CAD＝25°．
21． 解：如图，过点P作PH⊥AB于H，
由题意得：AB＝30×2＝60（海里），∠PBH＝90°﹣60°＝30°，∠PAH＝90°﹣45°＝45°，
则△PHA是等腰直角三角形，
∴AH＝PH，
在Rt△PHA中，设AH＝PH＝x海里，
在Rt△PBH中，PB＝2PH＝2x海里，BH＝AB﹣AH＝（60﹣x）海里，
∴tan∠PBH＝tan30°＝＝，
∴，
解得：，
∴PB＝2x＝≈44（海里），
答：此时船与小岛P的距离约为44海里．

22． （1）证明：连结OD交AC于点F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，
∵DE∥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是半圆O的切线；
（2）解：∵OC＝3，CE＝2，
∴OE＝5，OD＝OC＝3，
在Rt△ODE中，DE＝＝4，
∴，
∵AC∥DE，
∴∠FCO＝∠E，
∴，
∴，
∵OD⊥AC，
∴．

23． 解：（1）根据题意可设y＝kx+b（k≠0），且6≤x≤32，
把（10，4000）和（11，3900）代入得：，
解得：，
∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝﹣100x+5000（6≤x≤32）；
（2）根据题意可得：w＝（﹣100x+5000）（x﹣6）
＝﹣100x2+5600x﹣30000
＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∵﹣100＜0，且6≤x≤32，
∴当x＝28时，w有最大值，最大值为48400，
答：当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元．
24． 解：（1）在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，
∴正方形是等补四边形，
故答案为：C；

（2）①四边形AFHB是否为“等补四边形”，理由：
如图，连接CF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
又∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，
∵HF⊥AE，
∴∠AFH＝∠ABH＝90°，
∴∠BAF+∠BHF＝180°，
∵∠BHF+∠FHC＝180°，
∴∠FHC＝∠BAF，
∴∠FHC＝∠FCH，
∴FH＝FC，
∴AF＝FH；

②连接AH，由①知，△AFH为等腰直角三角形，则∠HAF＝45°，
将△ABH围绕点A逆时针旋转到△ADL的位置，点H对应点L，则AL＝AH，LD＝BH，

则∠LAE＝∠LAD+∠DAE＝∠DAE+∠BAH＝90°﹣∠HAF＝45°＝∠HAF，
∵AH＝AL，AE＝AE，
∴△ALE≌△AHE（SAS），
∴HE＝LE＝LD+DE＝BH+DE，
则△CHE的周长＝HE+CH+CE＝BH+DE+CH+CE＝BC+CD＝2a；

③∵四边形ECHF是“等补四边形”，∠EFH+∠C＝180°，
则存在FH＝EF、FE＝CE、FH＝CH、CH＝FH四种情况，
当FH＝CH时，
由（1）知，FH＝AF，
则FH＝AF＝CF＝CH，则△FCH为等边三角形，如图：

则∠FCB＝60°＝∠FAB，则∠DAE＝30°，
在Rt△ADE中，DE＝ADtan30°＝a，
则CE＝CD﹣AD＝a﹣a＝a；
当CE＝EF时，
∵HE＝HE，
∴Rt△EHF≌△Rt△EHC（HL），
∴FH＝HC，
而FH＝FC，
∴△FCH为等边三角形，
故该情况同FH＝CH的情况；
当FH＝CH 时，
由②知，△CEH的周长为2a，
设CH＝EC＝x，则HE＝x，
则x+x+x＝2a，
解得：CE＝x＝（2﹣）a；
当EF＝HF时，则AF＝EF，
而当点F是BD的中点时，才存在AF＝EF，
故该种情况不存在，
综上，CE的长度为：（2﹣）a或＝a．
25． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线顶点M（1，4），
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
又B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△BCO是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°，BC＝OB＝3，
如图，过点M作MF⊥y轴于点F，过点E作EG⊥BC于点G，连接EM，

则∠MFC＝∠CGE＝∠BGE＝90°，
∵CF＝MF＝1，
∴△MCF是等腰直角三角形，
∴∠MCF＝45°，CM＝CF＝，
∴∠BCM＝180°﹣∠MCF﹣∠BCO＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴BM为△CBM的外接圆的直径，
在Rt△CBM中，BM＝＝＝2，
设E（0，y），则OE＝y，EF＝4﹣y，
在Rt△BEO中，BE2＝OE2+OB2＝y2+9
在Rt△EMF中，EM2＝FM2+EF2＝1+（4﹣y）2，
∵∠BEM＝90°，
∴BE2+EM2＝BM2，即y2+9+1+（4﹣y）2＝（2）2，
解得：y1＝1，y2＝3（舍去），
∴E（0，1），
∴CE＝3﹣1＝2，
∵∠CGE＝90°，∠ECG＝45°，
∴CG＝EG＝CE＝×2＝，
∴BG＝BC﹣CG＝3﹣＝2，
∴tan∠CBE＝＝＝；
②存在．
在Rt△ACO中，AC＝＝＝，
在Rt△EBO中，BE＝＝＝，
当∠CAN＝∠CBE时，△ACP∽△BCE或△APC∽△BCE，如图，

则＝或＝，
若＝，即＝，
∴AP＝，
在△ACO和△EBO中，
，
∴△ACO≌△EBO（SAS），
∴∠CAO＝∠BEO，
即∠CAN+∠NAO＝∠CBE+∠BCO，
∵∠CAN＝∠CBE，
∴∠NAO＝∠BCO＝45°，
∵∠EAO＝45°，
∴射线AN经过点E，
设AN的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴AN的解析式为y＝x+1，
设P（t，t+1），
则（t+1）＝，
解得：t＝，
∴P（，）；
若＝，即＝，
∴AP＝3，
同理可得P（2，3）；
当∠CAN＝∠BCE时，△ACP∽△BCE或△APC∽△BCE，如图，设AN交y轴于点F，

则＝或＝，
即＝或＝，
∴AP＝或3，
∵∠CAN+∠NAO＝∠CBE+∠BCE，
∴∠NAO＝∠CBE，
∴tan∠NAO＝tan∠CBE＝，
∴＝，
∴OF＝OA＝，
∴F（0，），
设AN的解析式为y＝k′x+d′，则，
解得：，
∴AN的解析式为y＝x+，
设P（t，t+），则AP＝＝（t+1），
∴（t+1）＝或（t+1）＝3，
解得：t＝或5，
当t＝时，t+＝×+＝，
∴P（，）；
当t＝5时，t+＝×5+＝3，
∴P（5，3）；
∵∠BEC＞90°，当点N是第一象限内抛物线上时，∠CAN＜90°，
∴∠CAN≠∠BEC，
综上所述，点P的坐标为（，）或P（2，3）或（，）或（5，3）；
（3）如图，作△ABC的外接圆⊙O′，交抛物线的对称轴直线x＝1于点F、G，

∵＝，
∴∠AFC＝∠AGC＝∠ABC＝45°，
∵点A、B关于直线x＝1对称，
∴圆心O′在直线x＝1上，
设O′（1，c），F（1，m），G（1，n），
∵∠AO′C＝2∠ABC＝90°，O′A＝O′C，
∴△O′AC是等腰直角三角形，
∴O′A＝AC＝×＝，
∴22+c2＝5，
解得：c＝1或c＝﹣1（舍去），
∴O′（1，1），
∵O′F＝O′G＝，
∴1﹣m＝，n﹣1＝，
解得：m＝1﹣，n＝1+，
∴F（1，1﹣），G（1，1+），
在O′G上取点T（1，p），连接AT、CT，使∠ATC＝90°，过点C作CK⊥O′G于点K，设FG与x轴交于点L，
则TL＝p，KT＝3﹣p，CK＝1，AL＝2，
∵∠CKO′＝∠ALT＝∠ATC＝90°，
∴∠ATL+∠CTK＝∠ATL+∠TAL＝90°，
∴∠CTK＝∠TAL，
∴△CTK∽△TAL，
∴＝，即＝，
解得：p＝1或2，
∵点Q是抛物线对称轴上一动点，若∠AQC为锐角，且tan∠AQC＞1，
∴锐角∠AQC＞45°，
设点Q的纵坐标为yQ，
∴1﹣＜yQ＜1或2＜yQ＜1+．