2023年北京市中考各区数学一模试题分类汇编——几何综合

这是一份2023年北京市中考各区数学一模试题分类汇编——几何综合，共27页。
北京市各区一模考试试题分类——几何综合
（东城）27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在BC边上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE．
（1）求证：BA平分∠EBC；
（2）连接DE交AB于点F，过点C作CG∥AB，交ED的延长线于点G．补全图形，用等式表示线段EF与DG之间的数量关系，并证明．


































（西城）27．如图，直线AB，CD交于点O，点E是平分线的一点，点M，N分别是射线OA，OC上的点，且ME=NE．
（1）求证：；
（2）点F在线段NO上，点G在线段NO延长线上，连接EF，EG，若EF=EG，依题意补全图形，用等式表示线段NF，OG，OM之间的数量关系，并证明．

































（海淀）27. 如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE=CF，AE，BF交于点G.
（1）求∠AGF的度数；
（2）在线段AG上截取MG=BG，连接DM，∠AGF的角平分线交DM于点N.
① 依题意补全图形；
② 用等式表示线段MN与ND的数量关系，并证明.

备用图































（朝阳）27. 如图，∠MON=α，点A在ON上，过点A作OM的平行线，与∠MON的平分线交于点B，点C在OB上（不与点O，B重合），连接AC，将线段AC绕点A顺时针旋转180°-α，得到线段AD，连接BD.
（1）直接写出线段AO与AB之间的数量关系，并证明∠MOB=∠DBA；
（2）连接DC并延长，分别交AB，OM于点E，F. 若α=60°，用等式表示线段EF与AC之间的数量关系，并证明.





























（丰台）27. 在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E在对角线AC上，连接EB，点F在直线AD上（点F与点D不重合），且EF = EB.
（1）如图1，当点E在线段AO上（不与端点重合）时，
①求证：∠AFE = ∠ABE；
②用等式表示线段AB，AE，AF的数量关系并证明；
（2）如图2，当点E在线段OC上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段AB，AE，AF的数量关系.

图1 图2




























（石景山）27．在△中，，，点为射线上一点，过点作
且（点在点的右侧），射线交射线于点，点是的中点，
连接，.
（1）如图，当点在线段上时，判断线段与的数量关系及位置关系；
（2）当点在线段的延长线上时，依题意补全图.用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明.

图1 图2




































（通州）27．直线MO是线段AB的垂直平分线，垂足为点O，点C是直线OM上一点，连接AC．以AC为斜边作等腰直角△ACD，连接OD．
（1）如图1，若CO＝AB，求∠AOD的度数；
（2）如图2，点E是直线MO上一点，且CE＝AB，连接DE，延长DO至点F，使得DO＝OF，连
接AF．根据题意补全图2，写出线段DE，AF之间的关系，并证明．






























（门头沟）27．已知正方形ABCD和一动点E，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接BE，DF．
（1）如图1，当点E在正方形ABCD内部时，
①依题意补全图1；
②求证：BE = DF；
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，连接AF，取AF中点M，连接AE，DM，用等式表示线段AE与DM的数量关系，并证明．

图1 图2


























（平谷）27.在中，BD⊥AC于点D，E为AB边中点，连接CE，BD与CE相交于点F，过E作EM⊥EF，交线段BD于点M，连接CM.
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠EMF=∠ACF；
（3）判断BM、CM、AC的数量关系，并证明.



























（房山）27．如图，正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，连接AE，将射线AE绕点A逆时针旋转90°交CD的延长线于点F，连接EF，取EF中点G，连接DG.
（1）依题意补全图形；用等式表示∠ADG与∠CDG的数量关系，并证明；
（2）若DG =DF，用等式表示线段BC与BE的数量关系，并证明.
























（顺义）27．已知：如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AB边上，点A关于直线CD的对称点为E，射线BE交直线CD于点F，连接AF．
（1）设∠ACD=α，用含α的代数式表示∠CBF的大小，并求∠CFB的度数；
（2）用等式表示线段AF，CF，BF之间的数量关系，并证明．


































（大兴）27．在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，点D为射线CB上一动点（不与B，C重合），连接AD，点E为AB延长线上一点，且DE=AD，作点E关于射线CB的对称点F，连接BF，DF．
（1）如图1，当点D在线段CB上时，
①依题意补全图形，求证：∠DAB=∠DFB；
②用等式表示线段BD，BF，BC之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，请直接用等式表示线段BD，BF，BC之间的数量关系．

图1 图2





























（燕山）27．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为边BC上一点(不与点B，C重合)，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CE，交直线CE于点F．
(1) 依题意补全图形；用等式表示线段CE与BF的数量关系，并证明；
(2) 点G为AB中点，连接FG，用等式表示线段AE，BF，FG之间的数量关系，并证明．



































（延庆）27.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是BC边上的高，点E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接CE交AD于点F．将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG，连接AG．
（1）如图1，当CE是∠ACB的角平分线时，
①求证：AE=AF；
②直接写出∠CAG= °．
（2）依题意补全图2，用等式表示线段AF，AC，AG之间的数量关系，并证明．


图1 图2



















（东城）27．（1）证明：∵将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，
∴∠EAD=α，AD=AE．
∵∠BAC＝α，
∴∠BAC=∠EAD．
∴∠BAC－∠BAD=∠EAD－∠BAD，即∠DAC=∠EAB，
在△ACD和△ABE中，

∴△ACD≌△ABE（SAS）．
∴∠ABE＝∠C．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C．
∴∠ABE＝∠ABC．
∴BA平分∠EBC．………………………………3分
（2）解：补全图形如图，EF=CG．理由如下：
在AB上取一点M，使得BM＝CG，连接EM．
∵CG∥AB，
∴∠ABC＝∠DCG， ∠BFG＝∠CGD．
∴∠EBM＝∠DCG．
由（1）知△ACD≌△ABE ，
∴EB＝CD．
在△EBM和△DCG中

∴△EBM≌△DCG(SAS)．
∴EM＝DG， ∠EMB＝∠DGC．
∵∠EMB＋∠EMF＝180°， ∠EFM＋∠DFM＝180°，
∴∠EMF＝∠EFM．
∴EM＝EF．
∴EF＝DG． ………………………………7分

（西城）27． （1）证明：作EH⊥CD，EK⊥AB，垂足分别是H，K，如图1．
∵ OE是∠BOC的平分线，
∴ EH＝EK．
∵ ME＝NE，
∴ Rt△EHN≌Rt△EKM．
图1
∴ ∠ENH＝∠EMK．
记ME与OC的交点为P，
∴ ∠EPN＝∠OPM．
∴ ∠MEN＝∠AOC． 3分
（2）OM＝ NF＋OG．
证明：在线段OM上截取OG1＝OG，连接EG1，如图2．
∵ OE是∠BOC的平分线，
∴ ∠EON＝∠EOB．
∵ ∠MOF＝∠DOB，
∴ ∠EOM＝∠EOD．
图2
∵ OE=OE，
∴ △EOG1≌△EOG．
∴ EG1=EG，∠EG1O=∠EGF．
∵ EF＝EG，
∴ EF=EG1，∠EFG=∠EGF．
∴ ∠EFG =∠EG1O．
∴ ∠EFN =∠EG1M．
∵ ∠ENF =∠EM G1．
∴ △ENF≌△EM G1．
∴ NF＝M G1．
∵ OM＝M G1＋O G1，
∴ OM＝NF＋OG． 7分

（海淀）27.（本题满分7分）
（1）∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°.
又∵ BE=CF，
∴ △ABE≌△BCF（SAS）. ………………………………………………………1分
∴ ∠BAE=∠FBC.
∵ ∠FBC+∠ABG=90°，
∴ ∠BAE+∠ABG=90°.
∴ ∠AGF=90°. …………………………………………………………………2分
（2）① 依题意补全图形.

…………………………………………………………………………………3分
② 线段MN与ND的数量关系为MN=ND. …………………………………4分

证明：过点A作AH⊥AE交GN延长线于点H，连接DH.
∵ ∠AGF=90°，GN平分∠AGF，
∴ ∠AGN=∠AGF=45°.
∵ AH⊥AE，
∴ ∠GAH=90°.
∴ ∠AHG=∠AGH=45°.
∴ AG=AH.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BAD=90°，AB=AD.
∵ ∠GAH=90°，
∴ ∠BAG=∠DAH.
∴ △BAG≌△DAH（SAS）.
∴ BG=DH，∠AHD=∠AGB=90°.
∵ BG=GM，∠AHG=45°，
∴ GM=DH，∠DHN=∠NGM=45°.
∵ ∠HND=∠GNM，
∴ △HND≌△GNM（AAS）.
∴ MN=ND. ……………………………………………………………7分

（朝阳）27．解：（1）AO=AB.
证明：∵OB平分∠MON，
∴∠MOB=∠NOB.
∵OM//AB，
∴∠MOB=∠ABO.
∴∠NOB=∠ABO.
∴AO=AB.
根据题意，得
AC=AD，∠OAB=∠CAD.
∴∠CAO=∠DAB.
∴△OAC≌△BAD.
∴∠COA=∠DBA.
∴∠MOB=∠DBA.
（2）.
证明：如图，在OM上截取OH=BE，连接CH.
∵△OAC≌△BAD，
∴OC=BD.
又OH=BE，
∴△OHC≌△BED.
∴CH=DE，∠OHC=∠BED，
∵OM//AB，
∴∠MFC=∠BED.
∴∠MFC=∠OHC.
∴CF=CH.
∴CF=DE.
∴CD=EF.
∵α=60°，
∴∠CAD=180°－α=120°，
作AK⊥CD于点K.
∵AC=AD，
∴∠ACK=30°，
∴
∴.
∴.

27. （丰台）（1）

①证明：连接DE.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°.
∵点E在对角线AC上，
∴∠BAC=∠DAC=45°.
∵AE=AE，∴△ABE≌△ADE.
∴BE=DE,∠ABE=∠ADE.
∵EF=BE,∴DE=EF.
∴∠F=∠ADE.
∴∠F=∠ABE. ……2分
②AB=AF+AE; ……3分
证明：过点E作EG⊥AE交AB于点G.
∴ ∠AEG=90°.
∵∠BAE=45°，
∴ ∠AGE=∠BAE=45°.
∴AG=AE,∠EGB=135°.
∵∠FAE=∠FAB+∠BAE=135°,
∴ ∠EGB=∠FAE.
∵∠F=∠ABE,EF=EB,
∴△AEF≌△GEB. ∴BG=AF.
∴AB=BG+GA=AF+AE. ……5分
（2）正确补全图形；

AB+AF=AE. ……7分

（石景山）27．（1）数量关系：；位置关系：. ………………………… 2分
图1
（2）依题意补全图形，如图1.
数量关系：.
证明：连接，，如图2.
∵△中，，，
∴.
∵，
∴，
.
又∵
∴.
图2
∵点是的中点，
∴，
，.
∴.
∴.
又∵，
∴≌．
∴，.
∴.
∴.
在中，由勾股定理，得.
∵，，
∴. ………………………… 7分



（通州）27.
（1） 连接BD. ……………………………….(1分)
，
四点共圆.
.
在和中,

.……………………………………(2分)
.
.
.
.……………………………………(3分)
（2） AF=DE. AF⊥DE. …………………………………(4分)
连接BD，BF
证明：同理可证(SAS)，
可得DE=DB.∠ADB=∠CDE
∵∠CDA＝90°
DB⊥DE …………………………………(5分)
,
四边形ADBF是平行四边形. ………………………………(6分)
AF=DB, AF//DB
AF=DE. AF⊥DE. ………………………………(7分)
（昌平）
（门头沟）解：（1）① 图1；……………………………………………1分
②∵正方形ABCD，
∴BC=DC，∠BCD=90°. ……………………2分
∵线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，
∴CE=CF，∠ECF=90°.
∴∠BCE+∠ECD =∠DCF+∠ECD =90°.
∴∠BCE =∠DCF. ……………………………3分 图1
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF. …………………………………………………………………………4分
（2）猜想：AE=2DM.
证明：如图2，延长AD到N，使得DN=AD.
∵M是AF中点，
∴NF=2DM.………………………5分
∵由（1）得△BCE≌△DCF，
∴∠EBC =∠FDC，EB =FD.
又∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC = 90°.
∵DN=AD，∠ADC+∠CDN=180°，
∴AB=DN，∠CDN= 90°.
∴， 图2
即：∠ABE =∠NDF.
∴△ABE≌△NDF. ……………………………………………………………6分
∴AE=NF.
∴AE=2DM.……………………………………………………………………7分


（平谷）(1)补全图形......................................................................1
(2) 证明：
∵∠BDC=90°
∴∠DCF+∠DFC=90°..................................2
∵EM⊥EF
∴∠EMF+∠EFM=90°
∵∠EFM=∠DFC
∴∠EMF=∠DCF............................................3

（3）
.....................................4
延长ME到G使EG=EM，连接AG、CG
∵∠GEA=∠MEB，EG=EM，AE=BE
∴△AGE≌△BME（SAS）..................................................5
∴BM=AG,BM∥AG
∵BD⊥AC
∴∠GAC=∠BDA=90°.........................................................6
∵CE⊥EM，EM=EG
∴CE垂直平分MG
∴CG=CM
在Rt△AGC中，
............................................................7

（房山）27.（1）补完图形如下：


……………………1分

∠ADG=∠CDG. ……………………2分
证明：如图，连接AG、CG
∵∠EAF=90° ，点G是EF中点，
∴AG=EF
∵正方形ABCD，∠ECF=90° ，
∴CG=EF
∴AG=CG ……………………3分
∵AD=CD，DG=DG
∴△ADG≌△CDG
∴∠CDG=∠ADG ……………………4分
（2）BC=3BE ……………………5分
过点G作GH⊥CD于点H，
易证GH是△CEF的中位线，
∴CE=2GH. ……………………6分
易证△GDH是等腰直角三角形，
∴DG =GH.
又∵DG=DF，∴DF=GH.
易证△ADF≌△ABE ∴DF=BE，
∴BE=GH.
∵CE=2GH，
∴CE=2BE
∴BC=3BE ……………………7分
（其它证法酌情给分）

（顺义）（1）解：∵A、E关于直线CD对称，
∴∠ACF=∠ECF=α，AC=CE．
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°-2α． …………………………………………… 1分
∵AC=CE，
∴CB=CE．
∴∠CBF=∠CEB =(180°-∠BCE)=45°+α． …………………… 2分
∠CFB=∠CEB-∠ECF=45°+α-α=45°． …………………… 3分

（2）线段AF，CF，BF之间的数量关系AF+BF=CF． ……………… 4分
证明：过C作MC⊥CF于C交FA的延长线于点M．
∵A、E关于FC对称
∴∠AFC=∠CFE=45°．
∵MC⊥CF
∴∠M=∠AFC=45°．
∴MC=FC．
∵∠ACB=∠MCF=90°
∴∠MCA=∠BCF．
又∵AC=BC
∴△MCA≌△FCB．
5
∴MA=FB．
∴MF=AF+MA=AF+BF．
∵MC=FC，∠MCF=90°
∴MF=FC．
∴AF+BF=FC． …………………………………………………… 7分


（大兴）27.（1）①补全图形，如下图．………………………………………………………………1分
证明：
∵DE=AD，
∴∠DAB=∠DEA．
∵点E关于射线CB的对称点为F，
∴△DBF≌△DBE，
∴∠DFB=∠DEB，
∴∠DAB=∠DFB．……………………………………………………………………………3分
②．……….……………………………………………………………4分
证明：设EF与射线CB交于点G．
∵点E关于射线CB的对称点为F，
∴△DBF≌△DBE，EF⊥CB，
∴∠BDF=∠BDE，DF=DE，∠DFB=∠DEB．
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠BAC=∠CBA=45°，
∴∠ABC=∠BDE+∠DEB=45°，
∴∠DFB+∠BDF=45°．
∵∠CAD+∠DAB=45°，
又∵∠DAB=∠DFB，
∴∠CAD=∠BDF．
∵DE=AD，DF=DE，
∴AD=DF．
∵∠C=90°，EF⊥CB，
∴∠C=∠FGD=90°，
∴△ACD≌△DGF，
∴CD=FG．
∵∠FBG=∠DFB+∠BDF=45°，
∴△FBG为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
∵BC=BD+CD，
∴．.…….…………………………………………………………………6分
（2）．…….………………………………………………………………7分

（燕山）解：(1)依题意补全图形，如图．
线段CE与BF的数量关系：CE＝BF．
证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE＋∠CDE＝90°．
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠DCE＋∠CDE＝90°，
∴∠CAE＝∠DCE．
在△ACE和△CBF中，
∠AEC＝∠CFB＝90°，∠CAE＝∠BCF，AC＝BC，
∴△ACE≌△CBF，
∴CE＝BF． ……………………………………………3分
(2)线段AE，BF，FG之间的数量关系：AE－BF＝FG．
证明：连接CG，EG，设CF与AB交于点H．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点G为AB中点，
∴CG⊥AB，CG＝BG＝AB．
∵∠CGH＝∠BFH＝90°，
∠CHG＝∠BHF，
∴∠GCH＝∠FBH．
由(1)得△ACE≌△CBF，
∴AE＝CF，CE＝BF．
在△GCE和△GBF中，
CG＝BG，∠GCE＝∠GBF，CE＝BF，
∴△GCE≌△GBF，
∴GE＝GF，∠CGE＝∠BGF，
∴∠EGF＝∠EGB＋∠BGF＝∠EGB＋∠CGE＝∠CGB＝90°，
∴△GEF是等腰直角三角形，
∴EF＝FG．
∵CF－CE＝EF，CF＝AE，CE＝BF，
∴AE－BF＝FG． ……………………………………………7分

（延庆）（1）①证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB =∠B= 45°．
∵AD是BC边上的高，
∴∠BAD =∠CAD= 45°．
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE =∠BCE．
∵∠AFE =∠CAD+∠ACE，
∠AEF =∠B+∠BCE．
∴∠AFE =∠AEF．
………… 3分
………… 2分
∴AE = AF．
②∠CAG= 45°．
（2）依题意补全图形．
数量关系：AC=AF+AG．
证明：过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M．
∵∠CAD= 45°，
∴∠M= 45°．
∴CA = CM．
∴AM =AC．
∵∠ACM= 90°，
∴∠ACF+∠MCF = 90°．
∵∠FCG= 90°，
∴∠ACF+∠ACG = 90°．
∴∠MCF =∠ACG．
∵CF = CG，
∴△MCF≌△ACG．
∴MF = AG．
………… 7分
∴AM =AF +AG．
∴AC=AF+AG．