广东省汕头市金山中学2023届高三数学下学期第一次模拟考试试卷（Word版附答案）

这是一份广东省汕头市金山中学2023届高三数学下学期第一次模拟考试试卷（Word版附答案），共14页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，考生必须保证答题卡的整洁，12万册，【答案】C，【答案】A，【答案】ABD等内容，欢迎下载使用。
保密★启用前汕头市金山中学2023届高三年级校模（一）数学科试题                                                          2023年3月本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。注意事项:1.本试卷分选择题和非选择题两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将答题卡上的相应位置填涂考生号。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案写在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。第Ⅰ卷 选择题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（    ）A．         B．         C．          D．2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限     B．第二象限     C．第三象限     D．第四象限3．已知向量，满足，，则在方向上的投影向量的模长为（    ）A．         B．           C．         D．   4．如图，在高为的直三棱柱容器中，，现往该容器内灌进一些水，水深为，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为如图，则（    ）A．        B．        C．       D．  5．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若的所有项都是，且，，则（    ）A．8               B．10             C．12             D．14     6．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级名女生和名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（    ）种．A．20              B．4              C．60             D．807．已知是定义在上的奇函数，当时，，若函数是偶函数，则下列结论不正确的为（    ）A．                                     B．的最小正周期为C．有4个零点               D．8．已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为的直线交双曲线于，两点，线段的中垂线交轴于点.若，则双曲线的离心率取值范围是（    ）A．           B．           C．          D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．每年4月23日为“世界读书日”，树人学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表：月份二月三月四月五月六月月份代码12345月借阅量（百册）4.95.15.55.75.8根据上表，可得关于的经验回归方程为，则（    ）A．                          B．借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的上四分位数为5.7C．与的线性相关系数         D．七月的借阅量一定不少于6.12万册10．已知，下列选项正确的是（    ）A. 的值域为B. 的对称中心为C. 的单调递增区间为D. 图像向右平移个单位与的图像重合11．如图，点是棱长为的正方体中的侧面上的一个动点包含边界，则下列结论正确的是（    ）A. 不存在点满足平面B. 存在无数个点满足C. 当点满足时，平面截正方体所得截面的面积为D. 满足的点的轨迹长度是12．已知，若分别是方程和的根，则下列说法正确的是（    ）A． B． C． D．第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式的二项式系数之和为，则展开式中的的系数是_________．（填数字）14．已知为锐角，则_________．15．已知点是椭圆上一点，椭圆在点处的切线与圆交于，两点，当三角形的面积取最大值时，切线的斜率等于_________．16．已知四边形为平行四边形，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为_________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．第17题为10分，其他为12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列的前项和为，，且.（1）求的通项公式；    （2）已知，求数列的前项和.18．在锐角中，角所对应的边分别为，已知．（1）求角的值；          （2）若，求的取值范围．19．安全教育越来越受到社会的关注和重视.为了普及安全教育，学校组织了一次学生安全知识竞赛，学校设置项目“地震逃生知识问答”和项目“火灾逃生知识问答”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜局即获胜，比赛结束），假设在项目中甲班每一局获胜的概率为，在项目中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．（1）求乙班在项目中获胜的概率；（2）设乙班获胜的项目个数为，求的分布列及数学期望．20．如图，在三棱台中，，，.（1）证明：；（2）若棱台的体积为，,求二面角的余弦值．21．在平面直角坐标系中，点到点的距离比到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，交曲线于、两点，若为定值，则实数应满足什么关系？22．已知函数，，其中且．（1）证明：当时，恒成立；（2）证明：当时，曲线与曲线有且只有两条公切线. 汕头市金山中学2023届高三年级校模（一）数学答案1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】C7．【答案】D8.【答案】A9．【答案】ABC对于A，因为，，所以，得，所以A正确，对于B，因为，所以借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的上四分位数为5.7，所以B正确，对于C，因为，所以y与x的线性相关系数，所以C正确，对于D，由选项A可知线性回归方程为，当时，，所以七月的借阅量约为6.12百册，所以D错误，10.【答案】ABD解析：，因为，所以，故A正确.因为的对称中心与函数的对称中心相同，故可求得的对称中心为，故B正确.若递增，则，，所以的单调递增区间为，故C错误.D选项，，图像向右平移个单位，得到函数，与解析式相同，图像重合.故A、B、D正确，C错误.11.【答案】BCD解：对于选项A：因为四边形ABCD是正方形，所以，又平面ABCD，所以，因为，所以平面，所以，同理可证，又因为，所以平面，又点M是面 上的一个动点包含边界，所以当M与重合时， 平面，故A错误；对于选项B：在正方体中，侧面，侧面，则，又因为，平面，平面，所以平面，可知当M在线段上时，有，故存在无数个点满足，故B正确；对于选项C，截面为菱形，易得面积为.对于选项D：以D点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为1，所以设，所以，因为，所以，化简得：，所以点M的轨迹是一段圆弧，经计算D正确.故选.12.【答案】ACD【详解】因为，则，所以的图像是由的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位而得，则在上单调递减，不妨设点是上的一点，则，即，故，则，所以也是上的点，故的图像关于直线对称，联立，解得，又与互为反函数，所以与的图像也关于直线对称，因为分别是方程和的根，所以画出函数，与的图像，如图，.对于A，当且趋近于时，由的性质可知趋于无穷大，，则；当时，，，因为，所以，则，即，所以，则，即，则；由图像可知，与的图像的交点的横坐标落在区间中，因为是方程的根，即为与的图像的交点的横坐标，所以，故，故A正确；对于B，因为分别是方程和的根，所以与的图像的交点为，与的图像的交点为，又的图像关于直线对称，所以与关于直线对称，则或，所以，故，故B错误；对于C，当时，，，则；当时，，，由选项A知，则；所以与的图像的交点的横坐标落在区间中，即，又，所以，故C正确；对于D，因为是方程的根，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，而由选项C可知，即等号不成立，所以，故D正确.故选：ACD.13.【答案】因为二项式的二项式系数之和为64，所以，，所以展开式的通项为，令，则，所以展开式中的的系数是.故答案为：.14.【答案】解析：因为为锐角，且 所以，15.【答案】【解析】设，则，当且仅当时取等号.当时，是等腰三角形，此时点O到切线的距离等于.解法一：设切线的方程为，则有,整理得：①联立得：由相切得，整理得：②联立①②解得.解法二：设点的坐标为，切线的方程为，则有①又②，联立①②解得，所以切线的斜率.16.【答案】解：中，，故，则折成的三棱锥中，，，即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c则，此长方体的外接球是三棱锥的外接球，球直径，又因为三棱锥是长方体切掉四个角，故三棱锥三棱锥四个侧面是全等的，，设内切球半径为，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的的四个小三棱锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积，故则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为   17.解：（1），，两式相减，得 即……………………2分又 时， 满足上式 ，   …………………………3分是首项为3，公比为3的等比数列，                                          ………………………………4分(2)依题意，得………………………5分当时，                                               ………………………………7分当时，                                                 ………………………………9分综上，  .           ……………………………10分18.解：（1）由正弦定理得：，即，………………2分由余弦定理得：， ……………………………4分 ……………………………5分（2）锐角中，，，由正弦定理得：，…………………6分 ……………………………7分……………9分是锐角三角形 解得， ……………………………10分则 ……………………………11分的范围是 ……………………………12分19．解（1）记“乙班在项目A中获胜”为事件A，由事件的对立性知，乙班在项目A中每局获胜的概率为，负的概率为…………1分则，…………………………4分所以乙班在项目A中获胜的概率为………………………………………………………5分（2）记“乙班在项目B中获胜”为事件B，则，………………………………………………6分X的可能取值为0，1，2，由事件对立性和独立性知则，…………………………………7分，……………………………………8分．……………………………………………………9分所以X的分布列为X012P………………………………10分．所以乙班获胜的项目个数的数学期望为…………………………………………………12分  20.解(1)证明：在平面中过点C作AC的垂线CD,在平面中过点C作AC的垂线CE,,,且AC为两平面的交线，故面.故AC,CE,CD三条两两垂直，……………………………1分建立以点C为坐标原点，直线CA，CE,CD分别为x，y,z轴的空间直角坐标系，如图所示，则，…………………4分,.  ……………………………5分                           （2）设，即,…………6分所以……………………………7分在（1）问建系基础上,,设面由……………………………9分，设面由……………………………10分设二面角所以，所以二面角的余弦值为.……………………………12分21.解（1）设，由题意，得，………………………2分两边平方并整理，得.故曲线C的方程为.………………………4分（2）设，，，，设直线的方程为，与椭圆的方程联立，得，………………………5分∴，，∴，…………………7分直线的方程与曲线的方程联立，得，∴，，∴，………………………9分………………………10分要使为定值，则即故当为定值时，实数应满足………………………12分22.证明：（1）当时，原式化为，即.…………………1分先证，令，，则.当时，；当时，，，，，同理.…………………3分，，，故原式得证.…………………4分（2）设直线分别与、相切于点、，，，…………………5分的切线为，即.的切线为，即.…………………6分又因为为两函数的公切线，，…………………7分消去得，令，得，令，…………………8分要证两函数有且只有两条公切线，即证在上有且只有两个零点.，恒成立，在上单调递增，…………………9分，，在上有唯一零点，且，当时，；当时，，…………………10分，，…………………11分又时，，时，，在和上分别存在一个零点，故有且只有两个零点，故原命题得证.…………12分