2023年广东省东莞中学松山湖学校中考数学一模试卷(含解析）

2023年广东省东莞中学松山湖学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  (    )

A.  B.  C.  D.

2.  在下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  神舟十三号飞船在近地点高度，远地点高度的轨道上驻留了个月后，于年月日顺利返回．将数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

5.  如图，直线，，的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  数据、、、、的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，，，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知反比例函数的图象经过点，则该函数的图象位于(    )

A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限

10.  如图的电子装置中，一枚跳棋开始放置在边长为的正六边形的顶点处，跳棋按顺时针方向秒钟跳个顶点，经过秒钟后，跳棋所在顶点与点的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若单项式与是同类项，则 ______ ．

12.  甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人次射击成绩的平均数都是环，方差分别为，，则两人射击成绩比较稳定的是______ 填“甲”或“乙”．

13.  若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是        ．

14.  如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为______．

15.  如图，菱形的边长为，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，点、、、在同一条直线上，，，．
求证：≌；
．

19.  本小题分
某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：

求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
若全校共有学生人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．

20.  本小题分
某校近期举办了一年一度的戏剧节比赛某班级因节目需要，须购买、两种道具已知购买件道具比购买件道具多元，购买件道具和件道具共需要元．
购买一件道具和一件道具各需要多少元？
根据班级情况，需要这两种道具共件，且购买两种道具的总费用不超过元求道具最多购买多少件？

21.  本小题分
如图，已知是的直径，，是上的点，，交于点，连结．
求证：；
若，，求的长．

22.  本小题分
已知正方形，为对角线上一动点，将绕点顺时针旋转到处，得，连接，如图，填空：
       ；
的度数为        ．
在矩形和中，，，连接，如图，请判断的值及的度数，并说明理由．
在的条件下，取的中点，连接、，若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长．
 

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，点为轴正半轴一点，．
求这条抛物线所对应的函数表达式；
点为该抛物线在第一象限上的点不与点、重合，求面积的最大值及此时点的坐标：
点是轴上的动点，当时，求的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据负数的绝对值等于它的相反数，即可求解．
本题考查了求一个数的绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、、、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A、、不符合题意；
D、图形是中心对称图形，故D符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法即可得出答案．
本题考查了科学记数法表示较大的数，掌握的指数比原来的整数位数少是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而增大，
又点，在一次函数的图象上，且，
．
故选：．
，利用一次函数的性质，可得出随的增大而增大，结合，可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
根据“直线，”得到的度数，再根据即可得到的度数．
本题考查平行线的性质，解题的关键是能够利用平行线的性质求得的度数．
 

6.【答案】 

【解析】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：、、、、．
位于最中间的数是，
所以这组数的中位数是．
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

7.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B正确，符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
计算出各个选项中的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在直角中，，
则．
故选：．
利用勾股定理求得的长，然后利用三角函数定义求解．
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
 

9.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
该函数的图象位于一、三象限；
故选：．
根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即，求出的值，再根据，判断所经过象限．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：棋每经过秒钟落回点一次，
余，
可以推测棋落在顶点，

连接，过、作的垂线，垂足为、，
，
中，
，
同理，
．
故选：．
读懂题意，先通过运动规律确定秒后，棋落在哪个顶点位置，再通过正多边形的性质求出两点间的距离．
本题考查了正多边形，解题的关键是掌握正六边形的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：单项式与是同类项，
，
故答案为：．
根据同类项的定义可得到关于的一元一次方程，解方程即可得出的值．
本题主要考查同类项，解答的关键是由同类项的定义得出相应的方程．
 

12.【答案】乙 

【解析】解：，，
，
两人射击成绩比较稳定的是乙．
故答案为：乙．
根据方差的意义即方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，即可得出答案．
此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．
 

13.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
．
故答案为：．
利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
由作图可知，垂直平分线段，
，
，
，
故答案为：．
根据，求出，即可．
本题考查作图基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接，

四边形是菱形，，
，，，，
，，
点是的中点，点是的中点，
，，
，
点是的中点，点是的中点，
，，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质可得，，，，由三角形中位线定理得，，由勾股定理可求解．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】先计算乘方和化简二次根式，并把特殊三角函数值代入，再合并同类二次根式，即可求解．
本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂与零指数幂运算法则和特殊角三角函数值是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
 

18.【答案】证明：，
，即，
在和中，
，
≌；
≌，
，
． 

【解析】由“”可证≌；
由全等三角形的性质可得，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】解：本次调查的学生人数为：人，
则科普类的学生人数为：人，
补全条形统计图如下：

愿意参加劳动社团的学生人数为：人；
把阅读、美术、劳动社团分别记为、、，
画出树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有种，
甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为． 

【解析】用愿意参加阅读类社团的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，即可解决问题；
用全校共有学生人数乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的比例即可；
画出树状图，共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有种．再根据概率公式即可求解．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解；设购买件道具需要元，件道具需要元，
依题意得：，
解得：，
答：购买件道具需要元，件道具需要元．
设购买道具件，则购买道具件，
依题意得：，
解得：．
答：道具最多购买件． 

【解析】设购买件道具需要元，件道具需要元，利用总价单价数量，结合“购买件道具比购买件道具多元，购买件道具和件道具共需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买道具件，则购买道具件，利用总价单价数量，结合购买两种道具的总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

21.【答案】证明：是的直径，
，
，
，
即，
；
解：由知，
，
，
，
． 

【解析】本题考查弧长的计算，垂径定理，以及圆周角定理．
根据平行线的性质得出，再利用垂径定理证明即可；
由知，则可求出，根据弧长公式解答即可．
 

22.【答案】   

【解析】解：将绕点顺时针旋转到处，
，，
四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
，
故答案为：；
四边形是正方形，
，
≌，
，
．
故答案为：；
，．
理由：四边形是矩形，
，
，
，
同理在中，，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，
．
由知，
，
，
∽，
，
，
为的中点，
，
由知，
，
，
又是直角三角形，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
或舍去，
．
由旋转的性质得出，，由正方形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出答案；
由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质得出答案；
证明∽，由相似三角形的性质可得出，则可得出结论；
求出，设，则，由勾股定理可求出答案
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：，则点，
设抛物线的表达式为：，
则，则，
则抛物线的表达式为：；

过点作轴交于点，

由点、的坐标知，直线的表达式为：，
设点，则点，
则面积，
则面积的最大值为，此时，点；

，则，
过点作于点，

则，故设，，则，
则，
则，则，
即点的坐标为，
当点在轴下方时，点，
综上，点的坐标为：或 

【解析】用待定系数法即可求解；
由面积，即可求解；
，则，进而求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．