第六讲  角的平分线

【知识梳理】

知识点1：角平分线的定义

定义：从一个角的顶点出发，把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.

如下图：OC平分∠AOB

∵OC平分∠AOB

∴∠AOC=∠BOC

知识点2：角平分线的性质

性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.

如上图

∵OC平分∠AOB（或∠1=∠2），PE⊥OA，PD⊥OB

∴PD=PE

知识点3：角平分线的判定

判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

如上图

∵PE⊥OA，PD⊥OB，PD=PE

∴OC平分∠AOB（或∠1=∠2）

【例题1】如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（   ）

A. PC＞PD          B. PC＝PD        

 C. PC＜PD         D. 不能确定

变式训练1：在△ABC中，∠C＝90°，E是AB边的中点，BD是角平分线，且DE⊥AB，则（   ）

A. BC＞AE            B. BC＝AE            

C. BC＜AE          D. 以上都有可能

【例题2】如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．

（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是__________．

（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为__________．

【例题3】如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，连接DE，四边形ABCD的面积为12cm2．若BE平分∠ABC，则四边形ABED的面积为（　　）

A．4cm2      B．6cm2        C．8cm2   D．10cm2

变式训练1：如图，ABC中，AD是它的角平分线，AB＝4，AC＝3，那么△ABD与△ADC的面积比是（　　）

A．1：1        B．3：4        C．4：3        D．不能确定

【例题4】如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE=3，则两平行线AD与BC间的距离为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【课堂训练】

1.到三角形三边的距离相等的点是三角形的（ ）

A.三条边上的高的交点          B.三个内角平分线的交点

C.三边上的中线的交点          D.以上结论都不正确

2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，∠BAD=20°，则∠B的度数为（　　）

A．40° 　　　　B．30° 　　　C．60°　　　　 D．50°

3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD上任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（　　）

A．仅①② B．仅③④ C．仅①②③ D．①②③④

4.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（　　）

A. ∠BAC=70° B. ∠DOC=90° C. ∠BDG=35° D. ∠DAC=55°

5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DE平分∠ADB，则∠B等于（   ）

A．22．5° B．30° C．25° D．40°

6.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（　　）

A．线段CD的中点

B．OA与OB的中垂线的交点

C．OA与CD的中垂线的交点

D．CD与∠AOB的平分线的交点

7.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（　　）

A．4cm             B．6cm               C．8cm              D．10cm

8.如图，中，和的平分线交于点，经过点，且，，，，则的周长为________．

9．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是　   　．

10.如图，中，，平分，，，则的面积是________．

11.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为65和33，则△EDF的面积为                  ．

12.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC=       。

13.如图所示，在中，，，的平分线交于点，且，则点到的距离是________．             

14.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足为E、F，求证：EB=FC

15.如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S△ABC ＝28，求DE的长．

16. 在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，是的中点，平分，则平分，你认为小明的观点正确吗？请说明理由．

17.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．

【课后训练】

1.到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）

A.三角形三条角平分线的交点       B.三角形的三条中线的交点

C.三角形三边垂直平分线的交点     D.三角形三条高线的交点

2．三角形的角平分线是（　　）

A．射线 　　B．线段 　　C．直线　　 D．以上都有可能

3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=a（a>0），∠CAB的平分线交BC于点D，DE⊥AB垂足为E，则△DEB的周长等于(     )

A. a      B. 1.5a      C. 2a      D. 1.2a

4.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，若S=7，DE=2，AB=4，则AC的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（　　）

A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm

6.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=10，BC=8，CA=6，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于（　　）

A．2、2、2     B．3、3、3        C．4、4、4        D．2、3、5

7.如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（ ） 

A. B. C. D.

8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：

①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；

其中正确的是（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

9. 如图△ABC中，AB＝AC，角平分线AD、BD相交于点D．若∠ABC＝80°，则∠ADB等于（　　）

A．100°             B．110°            C．120°          D．130°

10.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC＝10，DE＝2，AB＝4，则AC长是（　　）

A．4               B．3              C．6             D．5

11.如图，在中，，平分，于，，，则

12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）

A．15 B．30 C．45 D．60

13.如图，的三条角平分线交于点，已知的周长为，，，则的面积________．             

14.如上图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在  

∠A的角平分线上，且距A1cm处，理由是                          ．

15.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=8,对角线BD⊥CD,P是BC边上一动点,连接DP.若∠ADB=∠C,则DP长的最小值为　　　　. 

16.如图，点是的平分线上一点，于，

且，，则的面积是________．

17.如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，求∠PCA=            ．

18.如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．

（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1：10 000，用尺规作图）．

（2）求出仓库G到铁路的实际距离．

19.如图,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB,点E为垂足,DF⊥AC,点F为垂足,求证:DE=DF.

20.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．

21.如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF．求证：（1）PE＝PF；（2）点P在∠BAC的角平分线上．

22.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC．