2023年中考数学专题攻克之圆与三角形的综合(圆的综合问题)附解析

这是一份2023年中考数学专题攻克之圆与三角形的综合(圆的综合问题)附解析，共83页。
2023年中考数学专题攻克之圆与三角形的综合(圆的综合问题)附解析
1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝12∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝5，sin∠BAD＝45，求AD的长；
（3）试探究FB、FD、FA之间的关系，并证明．






2、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，⊙O是△ABC外接圆，点D是圆上一点，点D、B分别在AC两侧，且BD=BC，连接AD、BD、OD、CD，延长CB到点P，使∠APB=∠DCB，
（1）求证：AP为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，当△OED是直角三角形时，求△ABC的面积；
（3）若△BOE、△DOE、△AED的面积分别为a、b、c，试探究a、b、c之间的等量关系式，并说明理由．






3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，连接BD，DF⊥BD交AB于点F，△BDF的外接圆⊙O与边BC相较于点M，与AC相切于点D．过点M作AB的垂线交BD于点E，交⊙O于点N，交AB于点H，连接FN.
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）连接FM与BD相交于点K，求证：MK=ME；
（3）若AF=1，tan∠N=43，求BE的长.
            




4、已知，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD，连接AC、BD交于点E．

（1）如图1，求证：∠BAC=∠CAD；
（2）如图2，过点D作DF⊥AC于点F，若12∠BAD+∠ACB=∠ACD，求证：AD−AB=2CF；
（3）如图3，在（2）的条件下，作∠MAN=∠CAD，AM交BD于点M，AN交FD于点N，且AM=MN，若DN=65，AD=5CF，求⊙O的半径．



5、如图1，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC 平分∠DAB ，AD⊥CD于点D，并与⊙O交于点E．

(1)求证：CD 是⊙O的切线；
(2)若DE=8 ，DC=12 ，求⊙O的半径；
(3)如图2，F为AB中点，连接EF ，在（2）的条件下，求EF 的长．






6、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于点D，连接BD，E是BC的中点，连接ED并延长，交BA点的延长线于点F．

(1)求证：FD是⊙O的切线；
(2)求证：FD⋅BC=FB⋅AB；
(3)若BC=4，FB=8，求AB的长．




7、如图，已知Rt△EBC中，∠B＝90°，A为BE边上一点，以边AC上的点O为圆心、OA为半径的圆O与EC相切，D为切点，AD∥BC．

（1）求证：∠E＝∠ACB．
（2）若AD＝1，tan∠DAC=22，求BC的长．






8、如图1，已知ABCD是边长为4的正方形，E是CD边上的一个动点，连接AE，AE的延长线交BC的延长线于点P，连接PD．作△ADE的外接圆⊙O．设DE＝x，PC＝y．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若PD是⊙O的切线，求x的值；
（3）过点________作________⊥________，垂足为________，交⊙________于点________，直线________交________于点________（如图2）．若________＝2，则sin∠________的值是________．








9、如图，在以AB为直径的半⊙O上有点C，点D在AC上，过圆心作OF⊥CD的于点F，OF、AD的延长线交于点E，连结CE，若∠DEC＝90°．
（1）试说明∠BAC＝45°；
（2）若DF＝1，△ACE的面积为△DCE面积的3倍，连接AC交OE于点P，求tan∠ACD的值和OP的长；
（3）在（2）的条件下，延长EC与AB的延长线相交于点G，直接写出BG的长　 　．





10、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．

（1）求证：△ABD∽△ADF；
（2）若BE=2，sinB=35，求AD的长．




11、如图，直线l与⊙O相切于点A,AC为⊙O的直径，  AC=8,P是直径AC右侧半圆上的一个动点(不与点A、C重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA、PC.设PA=x, PB=y.求: (1)ΔAPC与ΔAPB相似吗?为什么?
(2)求y与x的函数关系式;
(3)当x为何值时，x−y取得最大值，最大值为多少?





12、已知：⊙O是△ABC的外接圆，且AB=BC，∠ABC=60°，D为⊙O上一动点．

(1)如图1，若点D是AB的中点，∠DBA等于多少？
(2)过点B作直线AD的垂线，垂足为点E．
①如图2，若点D在AB上，求证：CD=DE+AE．
②若点D在AC上，当它从点A向点C运动且满足CD=DE+AE时，求∠ABD的最大值．






13、如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为BC的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）求证：EF为半圆O的切线；
（2）若DA＝DF＝63，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）








14、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB=30°，D是直径AB上一动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与⊙O的其中一个交点记为点E（点E位于直线CD上方或左侧），连接EC．已知AB=6cm，设A、D两点间的距离为xcm，D、E两点间的距离为y1cm，A、E两点间的距离为y2cm．

x/cm
0
1
2
3
4
4.5
5
6
y1/cm
0
1.35
2.21
3.00
3.97
4.50
4.94
5.20
y2/cm
0
1.10
1.58
1.56


0.95
3.00
小雪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小雪的探究过程：
(1)照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y1，y2与x的几组对应值，请将表格补充完整；
(2)在同一直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值对应的点x，y1，x，y2，并画出函数y1，y2的图象；
(3)结合函数图象，解决问题：当DE−AE=3时，AD的长度约为___________cm．




15、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于点D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AC=DC ，则∠A＝ ．




16、如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE．

(1)求证：PC=PD；
(2)若AC=5cm,BC=12cm，求线段AE，CE的长．


17、现有若干张相同的圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm．C是圆上的一点(点C与点A、B不重合)，连接AC、BC．

(1)沿AC、BC剪下△ABC，则△ABC是 三角形(填“锐角”、“直角”或“钝角”)．
(2)在直径AB同侧的半圆弧上分别取点E、F和直径AB上的点G、H．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形(保留作图痕迹，不妥求写作法)，并证明．
(3)如图2，经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个邻边比为1：2的平行四边形．小明的猜想是否正确？如果正确，请说明理由．并求出这组邻边的长分别为多少．





18、.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6．D是线段AC上一个动点（不与点A重合），⊙D与AB相切，切点为E，⊙D交射线DC于点F，过F作FG⊥EF交直线BC于点G，设⊙D的半径为r．
（1）求证AE＝EF；
（2）当⊙D与直线BC相切时，求r的值；
（3）当点G落在⊙D内部时，直接写出r的取值范围．





19、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，垂足为E，AB＝AC．

（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）若⊙O的半径为5，sin∠CAD＝25，求BE－DE的值．


20、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F为圆上一点，AD=DF，过点C作CH∥AF交AB于点G，交AD于点H．

(1)求证：CD=CH．
(2)若CG=2GH，AB=10，求AF．






21、（1）（学习心得）
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=__________°．
（2）（问题解决）
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，12BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，12BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）（问题拓展）
如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=4，CD=2，求AD的长．










22、如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝45°，以AB为直径作⊙O，分别与AC，BC相交于点E，D，连接DE，BE，点F从点A出发，在直径AB的上方沿AB以1cm/s的速度向点B运动，连接AF，BF．设点F运动的时间为t（s）．

(1)求证：△ABC∽△DEC；
(2)填空：①当t＝　　s时，四边形AEBF为正方形．
②当t＝　　s时，S△ABF=12S△ABE．


23、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）

24、如图，已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，连接AO并延长交BC于点D．

(1)求证：BD=CD
(2)如图2，点P是AB上一点，连接BP、CP，过点A作AH⊥CP于H，求证：BP+HP=CH
(3)如图3，在（2）的条件下，连接OP若∠AOP=90°+∠BAD，过点P作PT⊥AB于T，若PB=3，AB=413，求AT的长．





25、如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，⊙O的弦AD//CO，连接DB交CO于点F，延长CO与⊙O交于点E，连接EB．

(1)求证：CD是⊙O的切线．
(2)求证：2BF2=AD⋅CF．
(3)若AD=185，OC=5，求tan∠ABE的值．





26、如图，从⊙O外一点P引割线PBC，PA与⊙O相切于点A，连接OB，AC，∠OBC=∠P．

（1）求证：∠BCA+∠P=45°；
（2）已知OB=5，PA=7，求BC的长．






27、如图，在 RtΔABC 中，∠ABC=90∘，E为AB边上一点，过 E、B、C 三点 的圆交线段AC于点D，点A关于直线BD的对称点F落在⊙O 上，连CF．
（1）求证：∠BAC=45∘；
（2）若 AB=6，点 E 在运动过程中， 当点 F 关于直线 CD 的 对称点正好落在ΔBDF 的边上时，求 CD 的长；
（3）当 tan∠CDF=43 时，设ΔCDF的面积为 S1， ΔBDE 的面积为 S2，求 S1S2 的值．

2023年中考数学专题攻克 --- 圆与三角形的综合(圆的综合问题)
> > > 精品解析 < <