2023届高考物理二轮复习专题：带电粒子在匀强磁场中运动的常见问题

这是一份2023届高考物理二轮复习专题：带电粒子在匀强磁场中运动的常见问题，共13页。试卷主要包含了带电粒子圆心和半径的确定方法，扩圆法和滚圆法的使用，带电粒子在磁场中运动的其他结论，带电粒子在多磁场中的运动，带电粒子中的磁场轨迹问题等内容，欢迎下载使用。
带电粒子在匀强磁场中运动的常见问题1.带电粒子圆心和半径的确定方法1.1 知道两个速度确定圆心根据速度是沿半径的切线方向可以知道，此时只需要作两个速度的垂直平分线，则交点即为圆心的交点,如右图所示  [例]如图所示,一束电子(电子电荷量为 )以速度 由 点垂直射入磁感应强度为 、宽度为 的有界匀强磁场中,在 点穿出磁场时的速度方向与电子原来的入射方向成30°夹角,则电子的质量是多少?电子穿过磁场的时间又是多少?[分析]根据所给两个速度的方向并结合模型1的结论，可以作出两个      速度方向的垂线，则交点即为粒子运动轨迹的圆心[解析]如右图所示作出对应的示意图，根据几何关系可以知道，粒子在  磁场中的运动的圆的半径为粒子在磁场中运动时有：，也即由此可以得出粒子在磁场中运动的时间为[变式1]如图所示，在轴上方有匀强磁场，磁感应强度为，在轴下方有匀强电场，场强为，方向如图所示，是一个垂直于轴的屏幕，到点的距离为，有一质量为，电荷量为的粒子(不计重力)，从轴的点由静止释放，最后垂直打在上。求：
(1)点的坐标；
(2)粒子在整个运动过程中的路程。   [变式2]如图所示,有界匀强磁场边界线 ，速率不同的同种带电粒子(重力不计且忽略粒子间的相互作用)从点沿方向同时射入磁场.其中穿过点的粒子速度与垂直；穿过点的粒子速度 与成 角，则粒子从点分别到、所需时间之比为(      )A.                    B.C.                    D.2.2 知道粒子的射入方向以及出射点的圆心的确定   粒子的射入方向已知的情况下，则粒子的速度的垂线必经过圆心，粒子的射出点知道，但是方向不知道的情况下，需要连接射入点和射出点，则连线是圆的弦，根据垂径定理可以知道，弦的垂直平分线会经过圆心.[例1]如图所示为垂直纸面方向的圆形匀强磁场，半径为。有甲、乙两个质量和电荷量大小都相同的异种带电粒子沿直径方向分别由、两点射入磁场，并且都从点射出磁场，点到的距离为，若带电粒子只受洛伦兹力，下列说法正确的是(   )A.甲乙速度之比2：1  B.甲乙时间之比1：2  C.甲乙路程之比3：2  D.甲乙半径之比2：1[分析]知道粒子的入射速度，同时知道粒子射出点，此时可以作出粒子入射速度的垂线，在右图中即为，再将入射点和出射点连接起来，此时连线即为圆的弦，在右图中即为，作出弦的垂直平分线，此时与的交点即为圆心，同理可以作出粒子乙运动的轨迹的圆心[解析]由于既为圆的弦，也为圆的弦，所以垂直平分，同理垂直平分，根据几何关系可以知道，，，由此可以知道，，对于选项，根据可以知道，，A不正确对于选项，根据，可以知道，粒子甲和乙在磁场中运动时间为：，所以，B正确对于选项，由于甲乙运动的轨迹均为圆弧，所以可以利用弧长公式处理，C正确，D显然错误[变式1]如图所示，为一正方形边界的匀强磁场区域，磁场边界边长为，三个粒子以相同的速度从点沿对角线方向射入，粒子1从点射出，粒子2从点射出，粒子3从边垂直射出，不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用．根据以上信息，可以确定(    )A.粒子1带正电，粒子2不带电，粒子3带负电B.粒子1和粒子3的比荷之比为2∶1C.粒子1和粒子2在磁场中的运动时间之比为4∶1D.粒子3的射出位置与点相距   [变式2]如图所示，圆形区域存在磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里的匀强磁场，一电荷量为，质量为的粒子沿平行于直径的方向射入磁场，射入点到直径的距离为磁场区域半径的一半，粒子从点射出磁场时的速率为，不计粒子的重力.求(1)粒子在磁场中加速度的大小；(2)粒子在磁场中运动的时间；(3)圆形区域中匀强磁场的半径.      [变式3]如图所示,在坐标系中,过原点的直线与轴正向的夹角 ，在右侧有一匀强电场;在第二、三象限内有一匀强磁场,其上边界与电场边界重叠、右边界为轴、左边界为图中平行于轴的虚线,磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。一带正电荷、质量为的粒子以某一速度自磁场左边界上的点射入磁场区域，并从点射出，粒子射出磁场的速度方向与轴的夹角 ，大小为，粒子在磁场中的运动轨迹为纸面内的一段圆弧，且弧的半径为磁场左右边界间距的两倍。粒子进入电场后,在电场力的作用下又由点返回磁场区域,经过一段时间后再次离开磁场。已知粒子从点射入到第二次离开磁场所用的时间恰好等于粒子在磁场中做圆周运动的周期.忽略重力的影响.求:
(1)粒子经过点时速度的方向和点到轴的距离;
(2)粒子两次经过点的时间间隔;
(3)匀强电场的大小和方向.    3.扩圆法和滚圆法的使用3.1 扩圆法扩圆法主要针对的粒子的射入方向确定，入射速度大小不同的情况问题[例]如图所示，左右边界分别为、的匀强磁场的宽度为，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。一个质量为、电荷量大小为的微观粒子，沿与左边界成方向以速度垂直射入磁场。不计粒子重力，欲使粒子不从边界射出，的最大值可能是(    )A:       B:          C:        D: [分析]根据公式可以知道，当粒子速度不同时，对应的半径也会不一样，但是根据前面的分析可以知道，圆心一定在速度的垂线上，所以如右图所示，作出速度的垂线之后，在垂线上任意找一点画一个小圆，我们发现在该轨迹下运动的粒子不可能从右边界出来，所以我们增大圆的半径，如右图中的所示，此时也不会从右侧出来，此时我们再增大圆的半径发现当粒子的轨迹如图中的所示，此时粒子恰好不会从右侧出来，这也是我们要的结果，所以我们便得出了结论[解析]如右图所示，连接切点和圆心，过点做作，此时则有：易知为等腰直角三角形，所以于是由此可以知道：，解得，根据可知粒子的速度为[批注]当粒子的电荷为时，本题又该如何去进行处理呢？             (答案：A)  [变式1]如图所示，坐标系的第一象限内，有一边界线与轴的夹角，边界线的上方与下方分别存在垂直纸面向外与向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为．一束带电量、质量的正离子以从轴上坐标为的点垂直轴射入磁场区。求：(1)离子在磁场中做圆周运动的半径和周期；(2)现只改变的大小，使离子不经过边界而直接从轴离开磁场区域，则应满足什么条件？(3)若，且从离子经过点开始计时，则离子在哪些时刻恰好经过边界？      [变式2][变式4]空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界．一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从点入射．这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子．不计重力．下列说法正确的是(     )A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同C.在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同D.在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大     3.2 滚圆法的使用滚圆法适用于速度大小不变，但是方向改变的题型中[例1]如图，在一水平放置的平板的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为带电量为的粒子，以相同的速率沿位于纸面内的各个方向，由小孔射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中 。哪个图是正确的(    )   [分析]根据可以知道，粒子进入磁场中的半径大小是相同的，但是方向不同，此时取最右端的粒子画出其轨迹如右图中的红线所示，此时对于其他速度不同的进入磁场中的粒子来说，轨迹圆的大小是相同的，但是方向会向左偏移，所以画出此时的圆分别为黑色、黄色、绿色，此时可以发现，这些圆的图形相当于是粒子轨迹圆的直径所画出的轨迹，此时以粒子运动的圆的直径画圆可以得出轨迹如图中A选项所示[变式1]核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内(否则不可能发生核反应)，通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为，外半径为，磁场的磁感强度为，若被束缚带电粒子的比荷为，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。求：(1)粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。(2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度。  4.带电粒子在磁场中运动的其他结论4.1 速度偏转角等于圆心角如右图所示，设粒子在两个时刻的速度分别为，，将速度反向延长与交于点，此时即为速度偏转角，根据几何关系很容易得出来，，即证明速度偏转角等于圆心角 [例]如图所示,有界匀强磁场边界线 ，速率不同的同种带电粒子(重力不计且忽略粒子间的相互作用)从点沿方向同时射入磁场.其中穿过点的粒子速度与垂直；穿过点的粒子速度 与成 角，则粒子从点分别到、所需时间之比为(      )A.                    B.C.                    D.[解析]如右图所示作出速度偏转角，易知粒子的速度偏转角为，粒子的速度偏转角为，所以根据(其中为圆心角)可以知道， 4.2 圆心角与弦的关系对于同一个圆来说，如果圆上的一条弦越长，那么这条弦对应的圆心角也会越大。那么粒子在运动这条弧所花时间也就越长      [例]如图所示,在半径为的圆形区域内,有匀强磁场,磁感应强度为,方向垂直于圆平面(未画出).一群比荷为的负离子以相同速率 (较大)，由点在纸平面内向不同方向射入磁场中发生偏转后,又飞出磁场,最终打在磁场区域右侧的荧光屏(足够大)上,则下列说法正确的是(不计重力)(     )A. 离子在磁场中运动时间一定相等B. 离子在磁场中的运动半径一定相等C.由点飞出的离子在磁场中运动的时间最长D. 沿方向射入的离子飞出时偏转角最大[分析]粒子在磁场中的运动时间可以用去表示，可见粒子在磁场中的运动时间长短和粒子运动的圆心角有关，而圆心角越大，粒子运动的弦越长，由于粒子从不同位置射出对应的弦长不一样，所以粒子在磁场中运动的时间也不相同，A错误；B选项根据可知，B正确；对于C来说，由于是直径，直径是最长的弦，所以粒子从射出对应的弦最长，也即此时粒子在磁场中运动的圆心角最大，也即时间最长；对于D选项，根据前面所讲内容，偏转角等于圆心角，圆心角又与弦长成正相关，所以D正确；[变式1]如图所示，以直角三角形为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为，，。在点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电粒子，粒子的电量大小为，质量为，发射速度大小都为，发射方向由图中的角度表示．不计粒子间的相互作用及重力，下列说法正确的是(    )A.若，则以方向射入磁场的粒子在磁场中运动的时间为B.若，则以飞入的粒子在磁场中运动时间最短C.若，则以飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等D.若，则在边界上只有一半区域有粒子射出5.带电粒子在多磁场中的运动带电粒子在多磁场中运动，主要是要分析清楚粒子在来回经过磁场中的偏移量[例]如图，空间存在方向垂直于纸面(平面)向里的磁场。在区域，磁感应强度的大小为；区域，磁感应强度的大小为 (常数)。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子以速度从坐标原点O沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿x轴正向时，求(不计重力)(1)粒子运动的时间；(2)粒子与O点间的距离。 [分析]根据可以知道，越大，对应的半径越小，所以由此画出粒子运动的轨迹如右图所示，此时可以看出，当粒子再次进入右侧磁场时，其相对于之前的偏移量为，所以粒子第次进入右侧磁场时，与原点的距离即为() [变式1]如图所示，在 x＜0与 x ＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为 B 1与 B 2的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且 B 1＞ B 2。一个带负电荷的粒子从坐标原点 O以速度沿 x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过 O点， B 1与 B 2的比值应满足什么条件？            6.带电粒子中的磁场轨迹问题求轨迹问题可以转化为数学圆锥曲线中求轨迹问题[例]如图所示，在平面内有很多质量为、电量为的电子，从坐标原点不断以相同的速率沿不同方向平行平面射入第象限。现加一垂直平面向里、磁感强度为的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于轴且沿轴正方向运动。求符合条件的磁场的最小面积。（不考虑电子之间的相互作用） [解析]如右图所示，设粒子出磁场的位置坐标为，粒子运动的半径为，根据两个粒子的速度方向，可以很容易画出粒子在磁场中运动的圆，此时易知，，在中根据勾股定理可知，也即，由此即可知，磁场的边界方程是以为圆心，半径为的圆，即右图中的蓝色圆所示，由于粒子以竖直向上的速度运动时是临界情况，所以最终最小面积即为梭形OD(也有称为叶绿体)[变式1]如图所示,质量为,电荷量为的带正电粒子从坐标原点处沿平面射入第一象限内,且与方向夹角大于等于的范围内,粒子射入时的速度方向不同,但大小均为.现在某一区域内加一方向向里且垂直于平面的匀强磁场,磁感应强度大小为,若这些粒子穿过磁场后都能射到与轴平行的荧光屏上,并且当把荧光屏向左移动时,屏上光斑长度和位置保持不变.求:
(1)粒子从轴穿过的范围;
(2)荧光屏上光斑的长度;
(3)从最高点和最低点打到荧光屏上的粒子运动的时间差.
(4)画出所加磁场的最小范围(用斜线表示)