2023年中考考前押题密卷：数学（江苏南京卷）（全解全析）

这是一份2023年中考考前押题密卷：数学（江苏南京卷）（全解全析），共26页。试卷主要包含了实数3的平方根是，估计35-2的值，计算等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏南京中考考前押题密卷
数学·全解全析
1
2
3
4
5
6
A
A
D
B
A
C

一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．实数3的平方根是（　　）
A．±3 B．-3 C．3 D．9
【分析】直接根据平方根的概念即可求解．
【解答】解：∵（±3）2＝3，
∴3的平方根是为±3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平方根的概念．解题的关键是掌握平方根的概念，比较简单．
2．（﹣a3）4+（﹣a4）3等于（　　）
A．O B．﹣2a12 C．2a12 D．﹣2a7
【分析】先分别进行幂的乘方运算，然后合并同类项即可得出答案．
【解答】解：原式＝a12﹣a12＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了幂的乘方运算，掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，是解题关键．
3．下面四个几何体的视图中，从上面看是正方形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】俯视图是从物体正面上面看，所得到的图形．
【解答】解：圆柱的俯视图为圆，故选项A不合题意；
三棱锥的俯视图为三角形（三角形的内部有一个点与四个顶点相连接），故选项B不合题意；
球的俯视图为圆，故选项C不合题意；
正方体的俯视图为正方形，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
4．估计35-2的值（　　）
A．在4和5之间 B．在3和4之间 C．在2和3之间 D．在1和2之间
【分析】先估算出35的大小，进而估算35-2的范围．
【解答】解：∵25＜35＜36，
∴5＜35＜6，
∴3＜35-2＜4，
∴35-2的值在3和4之间．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．
5．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）

甲
乙
丙
丁
平均数（环）
8.9
9.1
8.9
9.1
方差
3.3
3.8
3.8
3.3
A．丁 B．丙 C．乙 D．甲
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
【解答】解：∵乙和丁的平均数较大，
∴从乙和丁中选择一人参加竞赛，
∵丁的方差较小，
∴选择丁参加比赛，
故选：A．
【点评】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，P为边AB上一动点，连接PD，PC．若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】已知∠A＝∠B＝90°，故要使△PAD与△PBC相似，需分△APD∽△BPC和△APD∽△BCP两种情况讨论．
【解答】解：∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°．
∴∠A＝∠B＝90°．
设AP的长为x，则BP长为8﹣x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，
∴AP：BP＝AD：BC，
∴x：（8﹣x）＝3：4，
∴x=247，
②若△APD∽△BCP，
∴AP：BC＝AD：BP，
∴x：4＝3：（8﹣x），
∴x＝2或x＝6，
故满足条件的点P的个数是3．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定，掌握相似的判定方法是解题关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．计算：|﹣2|+3﹣1＝　213　．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：|﹣2|+3﹣1
＝2+13
＝213，
故答案为：213．
【点评】本题考查了负整数指数幂，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．当x　≠1　时，分式|x|-1x-1有意义．
【分析】根据分式的有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x﹣1≠0，
∴x≠1，
故答案为：≠1．
【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．
9．冠状病毒呈球形或椭圆形，其直径约120nm，120nm＝0.00000012m，将0.00000012用科学记数法表示为　1.2×10﹣7　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000012＝1.2×10﹣7，
故答案为：1.2×10﹣7．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．计算：245-8020=　1　．
【分析】直接化简二次根式进而计算得出答案．
【解答】解：原式=2×35-4525
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
11．分解因式：a5﹣a＝　a（a2+1）（a+1）（a﹣1）　．
【分析】先提取公因式a，再根据平方差公式进行三次分解．
【解答】解：a5﹣a
＝a（a4﹣1）
＝a（a2+1）（a2﹣1）
＝a（a2+1）（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a2+1）（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行多次分解，注意分解要彻底．
12．已知m，n为一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两实数根，那么m+n﹣mn的值为 　7　．
【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝﹣2，mn＝﹣9，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝﹣2，mn＝﹣9，
所以m+n﹣mn＝﹣2﹣（﹣9）＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=-ba，x1x2=ca．
13．反比例函数y=m+2x的图象上，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 　m＜﹣2　．
【分析】根据反比例函数的性质可得m+2＜0，再解不等式即可．
【解答】解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴m+2＜0，
解得m＜﹣2，
故答案为：m＜﹣2．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数kx（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内y随x的增大而增大．
14．如图，M，N分别是正五边形ABCDE的边AB，AE的中点，四边形MNHG是位于该正五边形内的正方形，则∠BMH的度数是　99°　．

【分析】根据多边形的内角和定理求出∠A度数，求出∠AMN，根据正方形的性质求出∠NMB，即可求出答案．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝AE，∠A=(5-2)×180°5=108°，
∵M，N分别是正五边形ABCDE的边AB，AE的中点，
∴AM＝AN，
∴∠AMN＝∠ANM=12×（180°﹣108°）＝36°，
∵四边形MGHN是正方形，
∴∠NMH=12×90°＝45°，
∴∠BMH＝180°﹣∠AMN﹣∠NMH＝180°﹣36°﹣45°＝99°，
故答案为：99°．
【点评】本题考查了正多边形的内角与外角，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能求出∠A的度数是解此题的关键．
15．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，D是AB的中点，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，连接CD，则CD＝　45　．

【分析】连接AC，AD，OD，设OD与AB交于点E，由BC⊥AB可得出线段AC为⊙O的直径，进而可得出∠ADC＝90°，由D是AB的中点，利用垂径定理可得出OD⊥AB及AE的长度，在Rt△AEO中，利用勾股定理可求出OE的长，结合DE＝OD﹣OE可得出DE的长，在Rt△AED中，利用勾股定理可求出AD的长，再在Rt△ADC中，利用勾股定理可求出CD的长．
【解答】解：连接AC，AD，OD，设OD与AB交于点E，如图所示.
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴线段AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°．
∵D是AB的中点，
∴OD⊥AB，且AE＝BE=12AB＝4．
在Rt△AEO中，AO＝5，AE＝4，∠AEO＝90°，
∴OE=AO2-AE2=3，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
在Rt△AED中，AE＝4，DE＝2，∠AED＝90°，
∴AD=AE2+DE2=25．
在Rt△ADC中，AD＝25，AC＝10，∠ADC＝90°，
∴CD=AC2-AD2=45．
故答案为：45．

【点评】本题考查了勾股定理以及垂径定理，利用垂径定理及勾股定理，求出OE及AD的长是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处．点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A（3，0），B（0，4），则点B2021的横坐标为 　12128　．

【分析】然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差12个单位长度，根据这个规律可以求得B2020的横坐标，进而可得点B2021的坐标．
【解答】解：∵点A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB=32+42=5，
∴OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，
观察图象可知，点B2020的纵坐标为4，
∵2020÷2＝1010，
∴点B2020的横坐标为1010×12＝12120，
12120+3+5＝12128
∴点B2021的坐标为（12128，0）．
故答案为12128．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，规律型：点的坐标，解题的关键是循环探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（6分）化简：x2x2-4x+4÷xx-2-x-1x-2．
【分析】将能进行因式分解的分母进行因式分解，然后先算除法，再算减法．
【解答】解：原式=x2(x-2)2⋅x-2x-x-1x-2
=xx-2-x-1x-2
=x-x+1x-2
=1x-2．
【点评】本题考查分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
18．（7分）解不等式组12x≤x+1①x-2＜-1②，并写出它的所有整数解．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即为此不等式组的解集，在此解集范围内得出符合条件的x的整数值即可．
【解答】解：12x≤x+1①x-2＜-1②，
解不等式①得x≥﹣2．
解不等式②得x＜1．
所以原不等式组的解集为﹣2≤x＜1．（4分）
所以原不等式组的整数解为：﹣2，﹣1，0．（6分）
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
19．（8分）为了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图甲、乙所示的两个统计图（部分未完成）．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）校团委随机调查的学生人数是 　40人　，请你补全条形统计图；
（2）表示“50元”的扇形所占百分数是 　10%　；
（3）求被调查的学生每人一周零花钱数额的平均数．
【分析】（1）从两个统计图可知，零花钱为“40元”的有10人，占调查人数的25%，根据频率=频数总数可求出调查人数；进而求出零花钱为“20元”的学生人数，补全条形统计图；
（2）根据频率=频数总数可求出“50元”的所占的百分比；
（3）根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
【解答】解：（1）10÷25%＝40（人），
零花钱为“20元”的人数为40﹣20﹣10﹣4＝6（人），
补全条形统计图为：

故答案为：40；
（2）4÷40×100%＝10%，
故答案为：10%；
（3）20×6+30×20+40×10+50×440=33（元），
答：被调查的学生每人一周零花钱数额的平均数为33元．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
20．（8分）中秋节前，妈妈去超市购买了大小、质量都相同的火腿月饼和豆沙月饼若干，放入不透明的盒中，此时随机取出火腿月饼的概率为13；小明发现爷爷喜欢吃的火腿月饼偏少，又叫爸爸去买了同样的5个火腿月饼和1个豆沙月饼放入同一盒中，这时随机取出火腿月饼的概率为12．
（1）求妈妈买的火腿月饼和豆沙月饼各有多少个？
（2）若妈妈从盒中取出4个火腿月饼、6个豆沙月饼送给奶奶后．再让小明从盒中任取2个（取出不放回），问恰有火腿月饼、豆沙月饼各1个的概率为多少？
【分析】（1）设妈妈买了火腿月饼x个，豆沙月饼y个，根据原来随机取出火腿月饼的概率为13，妈妈买完后随机取出火腿月饼的概率为12，列出方程组，解出x、y即可；
（2）妈妈把月饼送给奶奶后，盒中还有火腿月饼5个和豆沙月饼3个；记豆沙月饼a、b、c，火腿月饼1、2、3、4、5，列表得到所有可能的情况有56种，恰有火腿月饼、豆沙月饼各1个的情况有30种，根据概率公式即可求恰有火腿月饼、豆沙月饼各1个的概率．
【解答】解：（1）设妈妈买的火腿月饼有x个，豆沙月饼y个，
根据题意，得xx+y=13x+5x+y+6=12，
∴x=4y=8，
经检验得出：x+y≠0，x+y+6≠0，
∴x＝4，y＝8是原方程的根，
即妈妈买了火腿月饼4个，豆沙月饼8个．
（2）记豆沙月饼a、b、c；火腿月饼1、2、3、4、5，

由上表可知恰有火腿月饼、豆沙月饼各1个的概率为3056=1528．
【点评】此题考查的是列表法与树状法与概率公式，解分式方程的关键是找到合适的等量关系；求概率的关键是列举出所有可能的情况．
21．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．进而利用菱形的判定证明即可；
（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形，进而根据菱形和正方形的判定证明即可．
【解答】证明：（1）∵▱ABCD，
∴AO＝OC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC （三线合一）
即 BD⊥AC，
∴▱ABCD是菱形；
（2）∵△ACE是等边三角形，∠EAC＝60°
由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC
∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形
∴∠EAO＝60°，
∵∠AED＝2∠EAD，
∴∠EAD＝15°，
∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，
∵▱ABCD是菱形，
∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，
∴菱形ABCD是正方形．
【点评】此题主要考查菱形和正方形的判定，要灵活应用判定定理及等腰三角形的性质、外角的性质定理．
22．（8分）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，作图．
（1）在图①中，作∠A的角平分线；
（2）在图②中，在AC边上找一点D，使得AB2＝AD•AC．

【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一作图；
（2）AB＝AE，根据三角形相似的性质，过E作AC的垂线即可．
【解答】解：如图：

（1）AD即为所求；
（2）点D即为所求．
【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握三线合一和相似三角形的性质是解题的关键．
23．（8分）某校“综合与实践”活动小组想要测量某指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得AB＝60cm，BC＝40cm，∠ABC＝135°，∠BCD＝75°，四边形DEFG为矩形，且DE＝12cm．请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，3≈1.73）．

【分析】根据题意可得：DE＝MH＝12cm，BN＝PM，BP∥MN，从而利用平行线的性质可求出∠PBC＝75°，进而求出∠ABP＝60°，然后在Rt△ABP中，利用锐角三角函数的定义求出AP的长，再在Rt△BNC中，利用锐角三角函数的定义求出PM的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
DE＝MH＝12cm，BN＝PM，BP∥MN，
∴∠PBC＝∠BCD＝75°，
∵∠ABC＝135°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝60°，
在Rt△ABP中，AB＝60cm，
∴AP＝AB•sin60°＝60×32=303（cm），
在Rt△BNC中，BC＝40cm，
∴BN＝BC•sin75°≈40×0.97＝38.8（cm），
∴PM＝BN＝38.83cm，
∴AH＝AP+PM+MH＝303+38.8+12≈102.7（cm），
∴指示牌最高点A到地面EF的距离约为102.7cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（8分）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长；
（2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，说明理由．

【分析】（1）设AB的长为x米，由羊圈的总面积为300平方米，可列方程，即可求解；
（2）根据题意列出方程，由根的判别式可求解．
【解答】解：（1）设AB的长为x米，
由题意可得：x（77+3﹣4x）＝300，
解得：x1＝5，x2＝15，
当x＝5时，80﹣4x＝60＞30，故x＝5不合题意，
当x＝15时，80﹣4x＝20＜30，
∴AB的长是15米；
（2）羊圈的总面积不能为500平方米，理由如下：
设AB的长为x米，
由题意可得x（77+3﹣4x）＝500，
∴x2﹣20x+125＝0，
∴△＝400﹣500＝﹣100＜0，
∴羊圈的总面积不能为500平方米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC＝5．
（1）试求出点B的坐标．
（2）分别求出直线BC和抛物线的解析式．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由OC＝3，BC＝5，可由勾股定理求OB，进而得点B坐标；
（2）用待定系数法即可求解函数解析式；
（3）设点P坐标为（52，m），分三类讨论：①当∠PCB＝90°时；②当∠PBC＝90°时；③当∠BPC＝90°时，分别建立勾股定理方程求解点P坐标即可．
【解答】解：（1）∵点C （0，3），即OC＝3．
∵BC＝5，
在Rt△BOC中，根据勾股定理得OB=BC2-OC2=4，
即点B坐标为（4，0）．
（2）把B（4，0）、C（0，3）分别代入y＝kx+n中，
得4k+n=0n=3，解得k=-34n=3．
∴直线BC解析式为y=-34x+3；
把A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）分别代入y＝ax2+bx+c得
a+b+c=016a+4b+c=0c=3，解得a=34b=-154c=3．
∴抛物线的解析式是y=34x2-154x+3．
（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵抛物线的解析式是y=34x2-154x+3，
∴抛物线对称轴为直线x=-b2a=52．
设点P坐标为（52，m）．
①当∠PCB＝90°时，有BP2＝BC2+PC2．
∵BP2=(4-52)2+m2，PC2=(52)2+(m-3)2，BC2＝25．
即(4-52)2+m2=(52)2+(m-3)2+25，
解得：m=193．
故点P1（52，193）；
②当∠PBC＝90°时，有PC2＝PB2+BC2．
∵PC2=(52)2+(m-3)2，PB2=(4-52)2+m2，BC2＝25．
即(52)2+(m-3)2=(4-52)2+m2+25，
解得：m＝﹣2．
故点P2（52，-2）；
③当∠BPC＝90°时，有BC2＝BP2+PC2．
即25=(4-52)2+m2+(52)2+(m-3)2．
解得：m1=3+262，m2=3-262．
∴P3（52，3+262），P4（52，3-262）．
综上所述，使得△BCP为直角三角形的点P的坐标为 （52，193）或（52，-2）或（52，3+262）或（52，3-262）．
【点评】本题以二次函数为背景，考查了勾股定理及其逆定理，待定系数法求解析式，分类讨论的数学思想，难度不大．第3问特别注意分类讨论思想的运用．做到不重不漏．
26．（9分）已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，点M平分BC，AD平分∠BAC，过点A、M、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）求∠MAD的度数；
（2）求证：CF＝CD；
（3）已知AC＝2，求⊙O的半径．

【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AM＝BM＝CM，根据等腰三角形的性质得到∠BAM＝∠B＝30°，根据角平分线的定义得到∠BAD=12∠BAC＝45°，于是得到结论；
（2）连接DF，根据三角形的内角和定理得到∠C＝60°，由（1）知AM＝CM，推出△ACM是等边三角形，得到AC＝CM，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）连接DE，EF，根据圆周角定理得到EF是⊙O的直径，根据等边三角形的性质得到∠CDF＝60°，求得∠BDE＝30°，得到BE＝DE，求得DE＝DF，设BE＝DE＝DF＝CF＝x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，点M平分BC，
∴AM＝BM＝CM，
∴∠BAM＝∠B＝30°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC＝45°，
∴∠MAD＝∠BAD﹣∠BAM＝15°；
（2）证明：连接DF，在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴∠C＝60°，
由（1）知AM＝CM，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
∵∠CFD＝∠CMA＝180°﹣∠AFD，∠CDF＝∠CAM＝180°﹣∠MDF，
∴△CFD∽△CAM，
∴CFCA=CDCM，
∴CF＝CD；
（3）解：连接DE，EF，
∵∠BAC＝90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴∠EDF＝90°，
由（2）知CD＝CF，∠C＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠CDF＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∴∠B＝∠BDE＝30°，
∴BE＝DE，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∴DE＝DF，
∴BE＝DE＝DF＝CF，
∵AC＝2，
∴AB＝23，
设BE＝DE＝DF＝CF＝x，
∴AE＝23-x，AF＝2﹣x，EF=2x，
∵EF2＝AE2+AF2，
∴2x2＝（23-x）2+（2﹣x）2，
解得x＝2（3-1），
∴EF＝26-22，
∴⊙O的半径为6-2．

【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
27．（10分）已知二次函数y＝mx2﹣（2m﹣1）x﹣2．
（1）求证：该函数图象与x轴必有交点；
（2）当m＜0时，该函数图象顶点的最低点坐标是（ 　2　，　0　）
（3）如图，若点A（1，1）、B（3，1）、C（1，﹣1）、D（3，﹣1）四个点构成一个正方形方框，随着m的变化，函数的图象也不断发生变化；此时图象与方框的交点个数为n，请直接写出n的值以及相应的m的范围．

【分析】（1）利用一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴的交点情况；
（2）由y＝mx2﹣（2m﹣1）x﹣2＝m（x-2m-12m）2-(2m+1)24m，设函数顶点纵坐标为y'，则y'=-14m•（2m+1）2，由二次函数性质可得答案．
（3）令y＝0，得x＝2或x=-1m，故抛物线必过点（2，0），抛物线的对称轴为直线x＝1-12m，由（2）知顶点坐标为（1-12m，-(2m+1)24m），再分情况讨论．
【解答】（1）证明：令y＝0，得mx2﹣（2m﹣1）x﹣2＝0，
∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2+8m＝（2m+1）2≥0，
∴二次函数y＝mx2﹣（2m﹣1）x﹣2的图象与x轴必有交点；
（2）解：∵y＝mx2﹣（2m﹣1）x﹣2＝m（x-2m-12m）2-(2m+1)24m，
设函数顶点纵坐标为y'，则y'=-14m•（2m+1）2，
∵m＜0，
∴-14m＞0，
∴当m=-12时，y'的最小值为0，
此时二次函数解析式为y=-12x2+2x﹣2=-12（x﹣2）2，
∴该函数图象顶点的最低点坐标是（2，0），
故答案为：2，0；
（3）解：令y＝0，则mx2﹣（2m﹣1）x﹣2＝0，
∴x＝2或x=-1m，
∴抛物线必过点（2，0），抛物线的对称轴为直线x＝1-12m，
由（2）知顶点坐标为（1-12m，-(2m+1)24m），
①当m＞0时，如图，

∵1-12m＜1，
∴抛物线的对称轴在直线x＝1的左侧，
∴抛物线在对称轴左侧的部分与正方形方框无交点，
∵（2，0）在正方形方框内部，
∴抛物线在对称轴右侧的部分与正方形方框有两个交点，
∴当m＞0时，n＝2；
②当m＜0时，
∵1-12m＞1，
∴抛物线的对称轴直线x＝1-12m在直线x＝1的右侧，
（Ⅰ）若抛物线y＝mx2﹣（2m﹣1）x﹣2过A（1，1），则1＝m﹣（2m﹣1）﹣2，
解得m＝﹣2，
此时抛物线顶点为（54，98），顶点在直线AB上方，如图：

由图可知m＝﹣2时，n＝3；
（Ⅱ）当m＜﹣2时，如图：

此时抛物线顶点在直线AB上方，抛物线在对称轴直线左侧的部分与正方形方框无交点，
∴m＜﹣2时，n＝2；
（Ⅲ）当顶点在线段AB上时，如图：

此时-(2m+1)24m=1，
解得m=-2+32（此时顶点在线段AB上，舍去）或m=-2-32，
由图可知，m=-2-32时，n＝3；
（Ⅳ）当﹣2＜m＜-2-32时，如图：

此时顶点在直线AB上方，抛物线与正方形方框有4个交点，
∴﹣2＜m＜-2-32时，n＝4；
（Ⅴ）当对称轴直线过（2，0）时，如图：

1-12m=2，
解得m=-12，
此时抛物线顶点为（﹣2，0），
∴m=-12时，n＝2；
（Ⅵ）当-2-32＜m＜-12时，抛物线顶点在正方形方块内部，故n＝2；
（Ⅶ）当2＜1-12m＜3，即-12＜m＜-14时，如图：

此时抛物线顶点在正方形方块内部，
∴-12＜m＜-14时，n＝2，
（Ⅷ）当1-12m=3，即m=-14时，抛物线顶点为（3，-14），如图：

∴m=-14时，n＝2；
（Ⅸ）当-14＜m＜0时，如图：

此时抛物线在对称轴右侧部分与正方形方块无交点，
∴n＝2；
综上所述，m＞0时n＝2，当-2-32＜m＜0时n＝2，当m=-2-32或m＝﹣2时n＝3，当﹣2＜m＜-2-32时n＝4，当m＜﹣2时n＝2．
【点评】本题考查四边形综合应用，涉及二次函数的性质及应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．