江苏省无锡市江阴市直属学校2022-2023学年下学期八年级期中数学试卷

这是一份江苏省无锡市江阴市直属学校2022-2023学年下学期八年级期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省无锡市江阴市直属学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）
1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．“翻开华东师大版数学九年级上册，恰好翻到第50页”，这个事件是（　　）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．确定事件
3．分式​有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x≠2 D．x＞2
4．在▱ABCD中，∠B﹣∠A＝40°，则∠C的度数是（　　）
A．70° B．110° C．75° D．115°
5．某市有11.2万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取200名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法正确的是（　　）
A．样本容量是200名
B．每个考生是个体
C．200名考生是总体的一个样本
D．这11.2万名考生的数学成绩是总体
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）

A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，AB∥CD D．AB＝CD，AD＝BC
7．下列命题中，
①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；
④菱形的每一条对角线平分一组对角．
其中真命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，P为▱ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S＝3，则S1+S2的值是（　　）​

A．24 B．12 C．6 D．10
9．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{，}＝﹣1的解为（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或﹣2
10．如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E、点F分别在边BC、DC上，∠EAF＝45°，连接EF，连接BD分别交AE、AF于点G、点H．下列结论：
①EF＝BE+DF；
②GH＝BG+HD；
③BE＝；
④△EFC的面积的最大值为3﹣2．
其中所有正确结论的序号是​（　　）​

A．①④ B．②③④ C．①③④ D．②④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填写在答题卡上）
11．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的可能性 　 　点数不大于2的可能性（填“大于”，“等于”或“小于”）．
12．用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，第一步应先假设：　 　．
13．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α，得到△AB′C′，若点B′恰好在线段BC的延长线上，且∠AB′C＝40°，则旋转角α的度数是 　 　．

14．已知菱形的两条对角线分别长为10cm，8cm，则此菱形的面积为　 　cm2．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5cm，则EF＝　 　cm．

16．如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E，若△ABE的周长为10，AB＝3，则AD的长是 　 　．​

17．关于x的分式方程＝2的解为非负数，则m的取值范围是 　 　．
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边AD的中点，将△DCE沿着CE翻折，得到△D′CE，延长BD′交CE的延长线于点H，则EH＝　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共66分，请在答题卡指定区域内作答）
19．（1）计算：；
（2）解方程：＝﹣3．​​
20．先化简，再求值：1﹣，其中．​​
21．在“世界读书日”前夕，某校开展了“共享阅读，向上人生”的读书活动．活动中，为了解学生对书籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图．

（1）这次调查中，一共调查了多少名学生？
（2）求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）若全校有1200名学生，请估计喜欢B（科技类）的学生有多少名？
22．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形．

23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC．尺规作图：
（1）如图1，求作矩形BCDE，点E落在直线AD上；
（2）如图2，求作菱形MBND，点M落在直线AD上，点N落在直线BC上．

24．我们知道：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平行六边形．数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究．如图1，在平行六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，AF∥CD，
（1）探究∠A与∠D的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若AB＝DE，则AF与CD相等吗？请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC、CE、AE，则△ACE与平行六边形ABCDEF的面积之比是 　 　．

25．一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地，设前一小时行驶的速度为xkm/h．
（1）直接用x的式子表示提速后走完剩余路程的时间为 　 　h；
（2）求汽车实际走完全程所花的时间；
（3）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以akm/h的速度行驶，另一半路程以bkm/h的速度行驶（a≠b），则用时t1小时，若用一半时间以akm/h的速度行驶，另一半时间以bkm/h的速度行驶，则用时t2小时，请比较t1、t2的大小，并说明理由．
26．如图1，在正方形ABCD中，E为AD的中点，将正方形ABCD沿着CE翻折得到四边形A′B′CE，直线CD与直线A′B′相交于点F，连接EF．
（1）∠FEC的度数是 　 　；
（2）若将正方形ABCD变为菱形ABCD，
①如图2，若∠B＝120°，DC＝4，求EF的长度；
②如图3，判断∠FEC的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．



参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）
1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后求解．
解：A、不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、是中心对称图形，故C选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合是解题的关键．
2．“翻开华东师大版数学九年级上册，恰好翻到第50页”，这个事件是（　　）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．确定事件
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：“翻开华东师大版数学九年级上册，恰好翻到第50页”，这个事件是随机事件，
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．分式​有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x≠2 D．x＞2
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：2﹣x≠0，
解得：x≠2，
故选：C．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为0是解题的关键．
4．在▱ABCD中，∠B﹣∠A＝40°，则∠C的度数是（　　）
A．70° B．110° C．75° D．115°
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B﹣∠A＝40°，
∴∠B＝110°，∠A＝70°，
∴∠C＝∠A＝70°．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．
5．某市有11.2万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取200名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法正确的是（　　）
A．样本容量是200名
B．每个考生是个体
C．200名考生是总体的一个样本
D．这11.2万名考生的数学成绩是总体
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
解：A．样本容量是200，此选项不合题意；
B．每个考生的数学成绩是个体，此选项不合题意；
C．200名考生的数学成绩是总体的一个样本，此选项不合题意；
D．这11.2万名考生的数学成绩是总体，此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）

A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，AB∥CD D．AB＝CD，AD＝BC
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
7．下列命题中，
①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；
④菱形的每一条对角线平分一组对角．
其中真命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用平行四边形的判定方法、正方形的判定方法及菱形的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
解：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意；
④菱形的每一条对角线平分一组对角，正确，是真命题，符合题意．
真命题有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的性质及判定方法，难度不大．
8．如图，P为▱ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S＝3，则S1+S2的值是（　　）​

A．24 B．12 C．6 D．10
【分析】过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积＝△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．
解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC＝S△CQP，S△ABP＝S△QPB，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC＝1：4，S△PEF＝3，
∴S△PBC＝S△CQP+S△QPB＝S△PDC+S△ABP＝S1+S2＝12，
故选：B．

【点评】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
9．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{，}＝﹣1的解为（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或﹣2
【分析】根据题中的新定义化简已知等式，求出解即可．
解：当x＞0时，方程化简得：＝﹣1，
去分母得：1＝3﹣x，即x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解；
当x＜0时，方程化简得：＝﹣1，
去分母得：2＝3﹣x，即x＝1，不符合题意，舍去，
则方程的解为x＝2，
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
10．如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E、点F分别在边BC、DC上，∠EAF＝45°，连接EF，连接BD分别交AE、AF于点G、点H．下列结论：
①EF＝BE+DF；
②GH＝BG+HD；
③BE＝；
④△EFC的面积的最大值为3﹣2．
其中所有正确结论的序号是​（　　）​

A．①④ B．②③④ C．①③④ D．②④
【分析】由“SAS”可证△ADF≌△ABM，可得AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，由“SAS”可证△AME≌△AFE，可得ME＝EF，可得EF＝BE+DF，故①正确；由勾股定理可求2BE•DF＝2﹣2BE﹣2DF，可得BE＝，故③正确；先求出△AEF的最小值，可求△EFC的面积的最大值为3﹣2，故④正确，即可求解．
解：①延长CB到点M，使BM＝DF，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，
∴∠ABM＝180°﹣∠ABC＝90°，
在△ADF和△ABM中，
，
∴△ADF≌△ABM（SAS），
∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAM+∠BAE＝45°＝∠EAF，
在△AME和△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS），
∴ME＝EF，
∵ME＝MB+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF，故①正确；
②将△ADH绕点A顺时针旋转90°，得到△ABM，连接BM，GM，
∴DH＝BM，∠ADH＝∠ABM＝45°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAH+∠BAG＝45°，
∴∠BAM+∠BAG＝∠GAM＝45°，
∴∠GAM＝∠GAH，
∵AG＝AG，
∴△GAM≌△GAH（SAS），
∴GM＝GH，
∵BM+BG＞GM，
∴DH+BG＞GH，故②错误；
③∵EF2＝CE2+CF2，
∴（BE+DF）2＝（1﹣BE）2+（1﹣DF）2，
∴2BE•DF＝2﹣2BE﹣2DF，
∴BE＝，故③正确；
④将△ADF绕点A逆时针旋转90°得到△ABG，

∴△ABG≌△ADF，
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAG＝∠BAE+∠BAG＝∠DAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAG＝∠EAF＝45°，
∴△AEF≌△AEG（SAS），
作EG的外接圆⊙O，连接OA，OG，OE，过点O作OH⊥EG于点H，
设 OA＝OE＝OG＝r，
∵∠EAG＝45°，
∴∠EOG＝90°，
∴△OEG是等腰直角三角形，
∴OH＝GH＝r，
∵AO+OH≥AB，
∴r+r≥1，
∴r≥2﹣，
∴GE＝r≥2﹣2，
∵S△AEF＝S△AEG＝×GE•AB≥﹣1，
∴S△AEF的最小值为﹣1，
∴△EFC的面积的最大值为3﹣2．故④正确，
故选：C．


【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填写在答题卡上）
11．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的可能性 　等于　点数不大于2的可能性（填“大于”，“等于”或“小于”）．
【分析】分别求得两个事件的可能性的大小，然后比较即可．
解：掷出的点数大于4的可能性为＝，
掷出的点数不大于2的可能性为＝，
∴掷出的点数大于4的可能性等于点数不大于2的可能性，
故答案为：等于．
【点评】考查了可能性的大小，能够分别求得可能性的大小然后比较是解答本题的关键，难度不大．
12．用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，第一步应先假设：　两直线平行，同位角不相等　．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
解：用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，第一步应先假设：两直线平行，同位角不相等，
故答案为：两直线平行，同位角不相等．
【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
13．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α，得到△AB′C′，若点B′恰好在线段BC的延长线上，且∠AB′C＝40°，则旋转角α的度数是 　100°　．

【分析】由旋转的性质可知AB＝AB'，由等腰三角形的性质得出∠AB'C＝∠ABC＝40°，再由三角形内角和定理即可求解．
解：由旋转的性质可知：AB＝AB'，
∴∠ABC＝∠AB'C＝40°，
∴∠BAB'＝180°﹣∠ABC﹣∠AB'C＝100°，
即旋转角α为100°．
故答案为：100°．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到AB＝AB'是解题的关键．
14．已知菱形的两条对角线分别长为10cm，8cm，则此菱形的面积为　40　cm2．
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，代入两对角线的长可以直接计算出其面积．
解：此菱形的面积为：×10×8＝40cm2．
故答案为：40．
【点评】此题主要考查了菱形的面积公式，关键是熟练掌握菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5cm，则EF＝　5　cm．

【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质求出AB，再根据三角形中位线定理求出EF．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝5cm，
则AB＝2CD＝10cm，
∵E，F分别是BC，CA的中点，
∴EF＝AB＝5（cm），
故选：5．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16．如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E，若△ABE的周长为10，AB＝3，则AD的长是 　7　．​

【分析】由矩形的性质可得AO＝CO，由线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，即可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BC＝AD，
∵EO⊥AC，
∴AE＝EC，
∵△ABE的周长为10，
∴AB+AE+BE＝10，
∴3+BC＝10，
∴BC＝7，
∴AD＝BC＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握矩形的性质是本题的关键．
17．关于x的分式方程＝2的解为非负数，则m的取值范围是 　m≤8且m≠﹣1　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数求出a的范围即可．
解：去分母得：2﹣x﹣m＝2x﹣6，
解得：x＝，
由分式方程的解为非负数，得到≥0且≠3，
解得：m≤8且m≠﹣1．
故答案为：m≤8且m≠﹣1．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边AD的中点，将△DCE沿着CE翻折，得到△D′CE，延长BD′交CE的延长线于点H，则EH＝　　．

【分析】先根据勾股定理求出CE＝，根据折叠的性质得到∠DCE＝∠D′CE＝，∠D＝∠CD′E＝90°，CD＝CD′＝4，DE＝D′E＝2，进而得到CD′＝BC，过点D′作D′F⊥CH于点F，过点C作CG⊥BH于点G，则∠D′CG＝∠BCG＝，于是∠HCG＝∠D′CE+∠D′CG＝＝＝＝45°，由三角形内角和定理得到∠H＝45°，HF＝D′F，由S△D′CE＝可算出D′F＝HF＝，在Rt△D′EF中，再根据勾股定理算出EF＝，则EH＝HF﹣EF．
解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∵点E是边AD的中点，
∴DE＝AE＝＝2，
在Rt△CDE中，＝＝，
∵将△DCE沿着CE翻折，得到△D′CE，
∴∠DCE＝∠D′CE＝，∠D＝∠CD′E＝90°，CD＝CD′＝4，DE＝D′E＝2，
∴CD′＝BC，
如图，过点D′作D′F⊥CH于点F，过点C作CG⊥BH于点G，

则∠D′CG＝∠BCG＝，
∴∠HCG＝∠D′CE+∠D′CG＝＝＝＝45°，
∴∠H＝45°，
∴△D′FH为等腰直角三角形，HF＝D′F，
∵S△D′CE＝，
∴＝＝，
∴HF＝D′F＝，
在Rt△D′EF中，＝＝，
∴EH＝HF﹣EF＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，正确作出辅助线，根据题意推理论证得到∠H＝45°是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分，请在答题卡指定区域内作答）
19．（1）计算：；
（2）解方程：＝﹣3．​​
【分析】（1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）原式＝﹣
＝
＝1；
（2）去分母得：1＝x﹣1﹣3x+6，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：x﹣2＝0，
∴x＝2是原方程的增根，原方程无解．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20．先化简，再求值：1﹣，其中．​​
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出b＝3a，代入计算即可．
解：原式＝1﹣•
＝1﹣
＝﹣
＝，
当＝，即b＝3a时，
原式＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
21．在“世界读书日”前夕，某校开展了“共享阅读，向上人生”的读书活动．活动中，为了解学生对书籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图．

（1）这次调查中，一共调查了多少名学生？
（2）求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）若全校有1200名学生，请估计喜欢B（科技类）的学生有多少名？
【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比，即可求出总人数；
（2）用整体1减去A、C、D类所占的百分比，即可求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数以及B所占的百分比；用总人数乘以所占的百分比，求出C的人数，从而补全图形；
（3）总人数乘以样本中B所占百分比即可得．
解：（1）40÷20%＝200（名），
答：调查的总学生是200名；
（2）D所占百分比为×100%＝15%，
扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为：360°×15%＝54°；
B所占的百分比是1﹣15%﹣20%﹣30%＝35%，
C的人数是：200×30%＝60（名），
补图如下：

（3）1200×35%＝420（名），
答：估计喜欢B（科技类）的学生大约有420名．
【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的应用，正确利用条形统计图得出正确信息是解题关键．
22．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形．

【分析】（1）先由已知平行四边形ABCD得出AB∥DC，AB＝DC，进而判断出∠ABF＝∠ECF，从而证得△ABF≌△ECF；
（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA＝FE＝FB＝FC，AE＝BC，得证．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠ABF＝∠ECF，
∵EC＝DC，
∴AB＝EC，
在△ABF和△ECF中，
∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，
∴△ABF≌△ECF（AAS）．

（2）∵AB＝EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA＝FE，FB＝FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D，
又∵∠AFC＝2∠D，
∴∠AFC＝2∠ABC，
∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴FA＝FB，
∴FA＝FE＝FB＝FC，
∴AE＝BC，
∴平行四边形ABEC是矩形．
【点评】此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC．尺规作图：
（1）如图1，求作矩形BCDE，点E落在直线AD上；
（2）如图2，求作菱形MBND，点M落在直线AD上，点N落在直线BC上．

【分析】（1）在射线DA上截取DE＝BC，由于DE∥BC，所以四边形BCDE为平行四边形，然后利用∠C＝90°可判断四边形BCDE为矩形；
（2）连接BD，作BD的垂直平分线交AD于M点，交BC于N点，则四边形MBND满足条件．
解：（1）如图1，矩形BCDE为所求作；
（2）如图2，菱形MBND为所求作．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质．
24．我们知道：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平行六边形．数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究．如图1，在平行六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，AF∥CD，
（1）探究∠A与∠D的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若AB＝DE，则AF与CD相等吗？请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC、CE、AE，则△ACE与平行六边形ABCDEF的面积之比是 　1：2　．

【分析】（1）连接AD，根据平行线的性质即可解决问题；
（2）延长FA、CB交于点M，延长FE、CD交于点N，可得四边形MFNC为平行四边形，证明△ABM≌△DEN（AAS），得AM＝DN，进而可以解决问题；
（3）过点E作CD的平行线，过点C作DE的平行线，两条线交于点Q，连接AQ，可得四边形CDEQ是平行四边形，然后证明四边形ABCQ是平行四边形，四边形AQEF是平行四边形，进而可以解决问题．
解：（1）∠A＝∠D，
证明：连接AD，如图1，

∵CD∥AF，AB∥DE，
∴∠DAF＝∠CDA，∠DAB＝∠EDA，
∴∠DAF+∠DAB＝∠CDA+∠EDA，
∴∠BAF＝∠CDE；
（2）AF＝CD，理由如下：
如图2，延长FA、CB交于点M，延长FE、CD交于点N，

∵CD∥AF，CB∥FE，
∴四边形MFNC为平行四边形，∠F+∠N＝180°，∠F+∠M＝180°，
∴MF＝CN，∠M＝∠N，
由（1）得，∠BAF＝∠CDE，
∴∠MAB＝∠NDE
∵∠M＝∠N，∠MAB＝∠NDE，AB＝ED，
∴△ABM≌△DEN（AAS），
∴AM＝DN，
∴AF＝CD；
（3）∵△ABM≌△DEN，
∴AM＝DN，BM＝EN，
∴AF＝CD，BC＝EF，
如图3，过点E作CD的平行线，过点C作DE的平行线，两条线交于点Q，连接AQ，
∴四边形CDEQ是平行四边形，
∴CQ＝DE，
∵AB＝DE，AB∥DE，
∴CQ＝AB，CQ∥AB，
∴四边形ABCQ是平行四边形，
∴AQ＝BC，
∵BC＝EF，BC∥EF，
∴AQ＝EF，AQ∥EF，
∴四边形AQEF是平行四边形，

∴S△ACQ＝平行四边形ABCQ的面积的，
S△ECQ＝平行四边形CDEQ的面积的，
S△AEQ＝平行四边形AQEF的面积的，
∴S△ACQ+S△ECQ+S△AEQ＝S△ACE＝平行六边形ABCDEF的面积的，
∴△ACE与平行六边形ABCDEF的面积之比是1：2．
故答案为：1：2．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、平行六边形的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质、平行六边形的性质，证明三角形全等是解题的关键，
25．一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地，设前一小时行驶的速度为xkm/h．
（1）直接用x的式子表示提速后走完剩余路程的时间为 　　h；
（2）求汽车实际走完全程所花的时间；
（3）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以akm/h的速度行驶，另一半路程以bkm/h的速度行驶（a≠b），则用时t1小时，若用一半时间以akm/h的速度行驶，另一半时间以bkm/h的速度行驶，则用时t2小时，请比较t1、t2的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据时间＝路程÷速度，可找出提速后走完剩余路程的时间；
（2）根据提速后比原计划提前40min到达目的地，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入（﹣）中即可求出结论；
（3）利用时间＝路程÷速度，分别找出按照司机及朋友的方案所需时间，比较（做差）后即可得出结论．
解：（1）∵设前一小时行驶的速度为xkm/h，且提速后的速度为原来速度的1.5倍，
∴提速后走完剩余路程的时间为＝（h），
故答案为：；
（2）依题意，得：﹣＝，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴﹣＝，
答：汽车实际走完全程所花的时间为h；
（3）t1＞t2，理由：
∵t1＝+＝ t2＝，
∴﹣＝，
∵a，b均为正数，且a≠b，
∴（a﹣b）2＞0，ab（a+b）＞0，
∴＞0，即﹣＞0，
∴t1＞t2．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，求出提速后走完剩余路程的时间；（2）找准等量关系，正确列出分式方程；（3）根据各数量之间的关系，用含m，n的代数式表示出按照司机及朋友的方案所需时间．
26．如图1，在正方形ABCD中，E为AD的中点，将正方形ABCD沿着CE翻折得到四边形A′B′CE，直线CD与直线A′B′相交于点F，连接EF．
（1）∠FEC的度数是 　90°　；
（2）若将正方形ABCD变为菱形ABCD，
①如图2，若∠B＝120°，DC＝4，求EF的长度；
②如图3，判断∠FEC的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【分析】（1）首先利用HL证明Rt△A'EF≌Rt△DEF，得∠A'EF＝∠DEF，设∠A'EF＝∠DEF＝x，即可求出∠FEC的度数；
（2）作EH⊥A'B'于H，EG⊥CF于G，首先可知△A'EH≌△DEG（AAS），得EH＝EG，再说明△A'EF≌△DEF（AAS），得A'F＝DF，设A'F＝DF＝x，则B'F＝CD＝4﹣x，在Rt△CFQ中，由勾股定理得，（6﹣x）2+（2）2＝（x+4）2，解方程可得x的值，再利用勾股定理求EF即可；
（3）由（2）同理得，△A'EF≌△DEF（AAS），得∠A'EF＝∠DEF，设∠A'EF＝∠DEF＝x，则∠AEC＝，即可得出答案．
解：（1）∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵将正方形ABCD沿着CE翻折得到四边形A′B′CE，
∴A'E＝AE＝DE，∠AEC＝∠A'EC，
∵EF＝EF，
∴Rt△A'EF≌Rt△DEF（HL），
∴∠A'EF＝∠DEF，
设∠A'EF＝∠DEF＝x，
∴∠AEC＝，
∴∠DEC＝90°﹣x，
∴∠FEC＝90°，
故答案为：90°；
（2）作EH⊥A'B'于H，EG⊥CF于G，
由（1）同理得，A'E＝ED，∠A'＝∠EDG，

∵∠A'HE＝∠EGD，
∴△A'EH≌△DEG（AAS），
∴EH＝EG，
∴∠A'FE＝∠DFE，
∵∠A'＝∠FDE，A'E＝DE，
∴△A'EF≌△DEF（AAS），
∴A'F＝DF，
设A'F＝DF＝x，则B'F＝CD＝4﹣x，
作CG⊥A'B'，交A'B'的延长线于Q点，
∵∠CB'Q＝180°﹣∠A'B'C＝60°，
∴B'Q＝2，CQ＝2，
在Rt△CFQ中，由勾股定理得，（6﹣x）2+（2）2＝（x+4）2，
解得x＝，
∴DF＝，
作FT⊥AD于T，
∵∠FDT＝60°，
∴DT＝，ET＝，
∴ET＝2﹣＝，
∴EF＝＝＝；
（3）∠FEC的度数是定值，为90°，
由（2）同理得，△A'EF≌△DEF（AAS），
∴∠A'EF＝∠DEF，
设∠A'EF＝∠DEF＝x，
∴∠AEC＝，
∴∠DEC＝90°﹣x，
∴∠FEC＝90°，
∴∠FEC的度数是定值，为90°．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形和菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．