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    2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)

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    这是一份2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版),共16页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题
    1.设,则( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    答案:
    C
    解析:
    设,则,,所以,,所以.
    2.已知集合,,则( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    答案:
    C
    解析:
    ,;
    当,时,;当,时,.所以,.故选C.
    3.已知命题﹐;命题,则下列命题中为真命题的是( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    答案:
    A
    解析:
    根据正弦函数的值域,故,,为真命题,而函数为偶函数,且时,,故,恒成立.,则也为真命题,所以为真,选A.
    4.设函数,则下列函数中为奇函数的是( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    答案:
    B
    解析:
    ,向右平移一个单位,向上平移一个单位得到为奇函数.
    5.在正方体中,为的中点,则直线与所成的角为( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    答案:
    D
    解析:
    如图,为直线与所成角的平面角.
    易知为正三角形,又为中点,所以.
    6.将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰,短道速滑、冰球和冰壶个项目进行培训,每名志愿者只分配到个项目,每个项目至少分配名志愿者,则不同的分配方案共有( )
    A.种
    B.种
    C.种
    D.种
    答案:
    C
    解析:
    所求分配方案数为.
    7.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    答案:
    B
    解析:
    逆向:.
    故选B.
    8.在区间与中各随机取个数,则两数之和大于的概率为( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    答案:
    B
    解析:
    由题意记,,题目即求的概率,绘图如下所示.
    故.
    9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图,点在水平线上,和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,称为“表距”,和都称为“表目距”.与的差称为“表目距的差”,则海岛的高( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    答案:
    A
    解析:
    连接交于,则.
    记,,则.
    而,.所以.
    故,所以高.
    10.设,若为函数的极大值点,则
    A.
    B.
    C.
    D.
    答案:
    D
    解析:
    若,其图像如图(1),此时,;若,时图像如图(2),此时,.
    综上,.
    11.设是椭圆:的上顶点,若上的任意一点都满足,,则的离心率的取值范围是( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    答案:
    C
    解析:
    由题意,点,设,则,故

    .
    由题意,当时,最大,则,,,,.
    12.设,,,则( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    答案:
    B
    解析:
    设,则,易得
    .
    当时,,故.
    所以在上单调递减,所以,故.
    再设,则,易得
    .
    当时,,所以在上.
    故在上单调递增,所以,故.
    综上,.
    二、填空题
    13.已知双曲线:的一条渐近线为,则的焦距为 .
    答案:
    解析:
    易知双曲线渐近线方程为,由题意得,,且一条渐近线方程为,则有(舍去),,故焦距为.
    14.已知向量,,若,则 .
    答案:
    解析:
    由题意得,即,解得.
    15.记的内角,,的对边分别为,,,面积为, ,,则 .
    答案:
    解析:
    ,所以,
    由余弦定理,,所以.
    16.以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为 (写出符合要求的一组答案即可).
    答案:
    ②⑤或③④
    解析:
    由高度可知,侧视图只能为②或③.
    侧视图为②,如图(1),平面平面,,,,俯视图为⑤.
    俯视图为③,如图(2),平面,,,,俯视图为④.
    三、解答题
    17.某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品,得到产品该项指标数据如下:
    旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和, 样本方差分别
    己为和.
    (1)求,,,:
    (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 ( 如果,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 , 否
    则不认为有显著提高 ) 。
    答案:
    见解析
    解析:
    (1)各项所求值如下所示.
    ,,,.
    (2)由(1)中数据得.显然.所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。
    18.如图,四棱锥的底面是矩形,底面,,为的中点,且.
    (1)求;
    (2)求二面角的正弦值.
    答案:
    见解析
    解析:
    (1)因为平面,且矩形中,.所以以,,分别为,,轴正方向,为原点建立空间直角坐标系.设,,,,,所以,
    因为,所以所以,所以.
    (2)设平面的一个法向量为,由于,则.令,的.设平面的一个法向量为,则.令,的.所以,所以二面角的正弦值为.
    19.记为数列的前项和,为数列的前项积,已知.
    (1)证明:数列是等差数列;
    (2)求的通项公式.
    答案:
    见解析
    解析:
    (1)由已知,则,,,
    故是以为首项,为公差的等差数列.
    (2)由(1)知,则,
    时,,时,,
    故.
    20.设函数,已知是函数的极值点.
    (1)求;
    (2)设函数,证明:.
    答案:
    见解析
    解析:
    (1)令
    则.
    ∵是函数的极值点.
    ∴.
    解得:;
    由(1)可知:

    要证,即证(且)
    .
    ∵当时,.
    当时,.
    ∴只需证明
    令,且易知.

    (i)当时,易得,则在上单调递减,
    ∵,∴,得证.
    (ii)当时,易得,则在上单调递增.
    ∵,∴,得证.
    综上证得.
    21.已知抛物线:的焦点为,且与圆:上点的距离的最小值为.
    (1)求;
    (2)若点在上,,是的两条切线,,是切点,求面积的最大值.
    答案:
    见解析
    解析:
    (1)焦点到的最短距离为,所以.
    (2)抛物线,设,,,得
    :,
    :,且,
    ,都过点,则,
    故:,即,
    联立,得,,
    所以,
    ,所以.
    而,故当时,达到最大,最大值为.
    22.在直角坐标系中,的圆心为,半径为.
    (1)写出的一个参数方程;
    (2)过点作的两条切线.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系,求这两条切线的极坐标方程.
    答案:
    见解析
    解析:
    (1)的参数方程为(为参数)
    (2)的方程为
    ①当直线斜率不存在时,直线方程为,此时圆心到直线距离为,舍去;
    ②当直线斜率存在时,设直线方程为,化简为,
    此时圆心到直线的距离为,
    化简得,
    两边平方有,所以.
    代入直线方程并化简得或化为极坐标方程为
    或.
    23.已知函数.
    (1)当时,求不等式的解集;
    (2)若,求的取值范围.
    答案:
    见解析
    解析:
    当时,,
    当时,不等式,解得;
    当时,不等式,解得;
    当时,不等式,解得.
    综上,原不等式的解集为.
    (2)若,即,
    因为(当且仅当时,等号成立),所以,所以,即或,解得.

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