2023年黑龙江省绥化市肇东市南片五校中考数学一模试卷(含答案)

这是一份2023年黑龙江省绥化市肇东市南片五校中考数学一模试卷(含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2的相反数是( )
A. -12B. 12C. -2D. 2
2. 如图所示的几何体的俯视图可能是( )
A.
B.
C.
D.
3. 要使分式5x-1有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠1B. x>1C. x<1D. x≠-1
4. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，BC=8，则该三角形的面积为( )
A. 12B. 6C. 10D. 8
5. 下列运算正确的是( )
A. 13×(-3)=1B. 5-8=-3C. 2-3=6D. (-2013)0=0
6. 参加成都市今年初三毕业会考的学生约有13万人，将13万用科学记数法表示应为( )
A. 1.3×105B. 13×104C. 0.13×105D. 0.13×106
7. 如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C'重合，若AB=2，则C'D的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8. 在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是( )
A. y=-x+3B. y=5x
C. y=2xD. y=-2x2+x-7
9. 一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
10. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为( )
A. 40°
B. 50°
C. 80°
D. 100°
11. 如果m+n=1，那么代数式(2m+nm2-mn+1m)⋅(m2-n2)的值为( )
A. -3B. -1C. 1D. 3
12. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-k)2+h.已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m.高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是( )
A. 球不会过网B. 球会过球网但不会出界
C. 球会过球网并会出界D. 无法确定
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共11小题，共33.0分）
13. 把2x-18分解因式结果是______ ．
14. 不等式2x-1>3的解集是 ．
15. 今年4月20日在雅安市芦山县发生了7.0级的大地震，全川人民众志成城，抗震救灾．某班组织“捐零花钱，献爱心”活动，全班50名学生的捐款情况如图所示，则本次捐款金额的众数是______元．
16. 如图，∠B=30°，若AB/​/CD，CB平分∠ACD，则∠ACD=______度．
17. 如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高BC的长为______米．
18. 若a，b都是实数，b= 1-2a+ 2a-1-2，则ab的值为 ．
19. 下列说法正确的是______．
① 13-1的整数部分值为3；
②九边形的内角和等于1260°；
③菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；
④相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；
⑤对于命题“对顶角相等”，它的逆命题是真命题．
20. 已知一个圆锥的高是20 2，底面圆半径为10，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于______ ．
21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为弧BD的中点，若∠DAB=40°，则∠ADC=______．
22. 两根细木条，一根长80厘米，另一根长130厘米，将它们其中的一端重合，放在同一条直线上，此时两根细木条的中点间的距离是______．
23. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连结DE交对角线AC于点F.若AB=8，AD=6，则CF的长为______．
三、解答题（本大题共6小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
24. (本小题8.0分)
如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°．
(1)画出旋转之后的△AB'C'；
(2)求线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积．
25. (本小题8.0分)
如图所示，小明家住在32米高的A楼里，小丽家住在B楼里，B楼坐落在A楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°．
(1)如果A，B两楼相距20 3米，那么A楼落在B楼上的影子有多长？
(2)如果A楼的影子刚好不落在B楼上，那么两楼的距离应是多少米？(结果保留根号)
26. (本小题9.0分)
如图所示，直线y=12x与反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象交于点Q(4,a)，点P(m,n)是反比例函数图象上一点，且n=2m．
(1)求点P坐标；
(2)若点M在x轴上，使得△PMQ的面积为3，求M的坐标．
27. (本小题9.0分)
如图，在边长为6的正方形ABCD中，G是边BC的中点，点C关于直线DG的对称点为F，连接GF并延长交AB于点E，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．
(1)求证：△ADE≌△FDE；
(2)求AE的长；
(3)求BH的长；
28. (本小题10.0分)
如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE=3，CE=2，
①求BCAE的值；
②若点G为AE上一点，求OG+12EG最小值．
29. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-12x2+bx+c(b,c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1)，C的坐标为(4,3)，直角顶点B在第四象限．
(1)如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．
(i)若点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
(ii)取BC的中点N，连接NP，BQ.试探究PQNP+BQ是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：2的相反数是-2，
故选：C．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.【答案】C
【解析】解：所给图形的俯视图是一个带有圆心的圆．
故选：C．
俯视图是从上往下看得到的视图，由此可得出答案．
本题考查了俯视图的知识，属于基础题，关键是掌握俯视图是从上往下看得到的视图．
3.【答案】A
【解析】解：∵分式5x-1有意义，
∴x-1≠0，
解得：x≠1．
故选：A．
根据分式有意义的条件是分母不等于零，可得出x的取值范围．
本题考查了分式有意义的条件，属于基础题，注意掌握分式有意义分母不为零．
4.【答案】A
【解析】解：作AD⊥BC，交BC于点D，如图所示，
则∠ADB=90°，
∵∠B=∠C，BC=8，AB=5，
∴△ABC是等腰三角形，
∴BD=12BC=4，
∴AD= AB2-BD2= 52-42=3，
∴该三角形的面积为：BC⋅AD2=8×32=12，
故选：A．
先作AD⊥BC，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理可以求AD的长，再根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查勾股定理、等腰三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5.【答案】B
【解析】解：A、13×(-3)=-1，运算错误，故本选项错误；
B、5-8=-3，运算正确，故本选项正确；
C、2-3=18，运算错误，故本选项错误；
D、(-2013)0=1，运算错误，故本选项错误；
故选：B．
根据有理数的乘法、减法及负整数指数幂、零指数幂的运算法则，结合各选项进行判断即可．
本题考查了负整数指数幂、零指数幂及有理数的运算，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．
6.【答案】A
【解析】解：将13万用科学记数法表示为1.3×105．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7.【答案】B
【解析】解：在矩形ABCD中，CD=AB，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠后点C和点C'重合，
∴C'D=CD，
∴C'D=AB，
∵AB=2，
∴C'D=2．
故选：B．
根据矩形的对边相等可得CD=AB，再根据翻折变换的性质可得C'D=CD，代入数据即可得解．
本题考查了矩形的对边相等的性质，翻折变换的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、当x=0时，y=3，不经过原点，故本选项错误；
B、反比例函数，不经过原点，故本选项错误；
C、当x=0时，y=0，经过原点，故本选项正确；
D、当x=0时，y=-7，不经过原点，故本选项错误；
故选：C．
将(0,0)代入各选项进行判断即可．
本题考查了一次函数图象、反比例函数图象及二次函数图象上点的坐标特征，注意代入判断，难度一般．
9.【答案】A
【解析】解：△=b2-4ac=12-4×1×(-2)=9，
∵9>0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．
本题主要考查判断一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式△的值．△>0，有两个不相等的实数根；△=0，有两个相等的实数根；△<0，没有实数根．
10.【答案】D
【解析】解：由题意得∠BOC=2∠A=100°．
故选：D．
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可得出答案．
本题考查了圆周角定理，属于基础题，掌握圆周角定理的内容是解答本题的关键．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】
解：原式=2m+n+m-nm(m-n)⋅(m+n)(m-n)
=3mm(m-n)⋅(m+n)(m-n)
=3(m+n)，
当m+n=1时，原式=3．
故选D．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次函数的应用，根据题意求出函数解析式是解题关键．
利用球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，可得k=6，h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，将点(0,2)代入解析式求出函数解析式；利用当x=9时，y=-160(x-6)2+2.6=2.45，所以球能过球网；当y=0时，-160(x-6)2+2.6=0，解得：x1=6+2 39>18，x2=6-2 39(舍去)，故会出界．
【解答】
解：∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，
∴抛物线为y=a(x-6)2+2.6，
∵抛物线y=a(x-6)2+2.6过点(0,2)，
∴2=a(0-6)2+2.6，
解得：a=-160，
故y与x的关系式为：y=-160(x-6)2+2.6，
当x=9时，y=-160(x-6)2+2.6=2.45>2.43，
所以球能过球网；
当y=0时，-160(x-6)2+2.6=0，
解得：x1=6+2 39>18，x2=6-2 39(舍去)
故会出界．
故选C．
13.【答案】2(x-9)
【解析】解：2x-18=2(x-9)．
故答案为：2(x-9)．
直接提取公因式2，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
14.【答案】x>2
【解析】
【分析】
本题主要考查解一元一次不等式．
移项后合并同类项得出2x>4，不等式的两边都除以2即可求出答案．
【解答】
解：2x-1>3，
移项得：2x>3+1，
合并同类项得：2x>4，
不等式的两边都除以2得：x>2，
故答案为：x>2．
15.【答案】10
【解析】解：捐款10元的人数最多，
故本次捐款金额的众数是10元．
故答案为：10．
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合条形统计图即可作出判断．
本题考查了众数及条形统计图的知识，解答本题的关键是掌握众数的定义．
16.【答案】60
【解析】解：∵AB/​/CD，∠B=30°，
∴∠BCD=∠B=30°，
∵CB平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠BCD=60°．
故答案为：60．
根据AB/​/CD，可得∠BCD=∠B=30°，然后根据CB平分∠ACD，可得∠ACD=2∠BCD=60°．
本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．
17.【答案】100
【解析】解：由题意得，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=200米，
故可得BC=12AB=100米．
故答案为：100．
在Rt△ABC中，由∠BAC=30°，AB=200米，即可得出BC的长度．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是掌握含30°角的直角三角形的性质．
18.【答案】4
【解析】
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件以及负指数幂的性质，正确得出a的值是解题关键．
【解答】
解：∵b= 1-2a+ 2a-1-2，
∴1-2a=0，
解得：a=12，
则b=-2，
故ab=(12)-2=4．
故答案为：4．
19.【答案】②③
【解析】解：由于 13在3与4之间，则 13-1的值在2和3之间，其整数部分是2，所以①错误；
九边形的内角和为180°×(9-2)=1260°，所以②正确；
菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，所以③正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所以④错误；
命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此逆命题为是假命题，所以⑤错误．
故答案为：②③．
利用无理数的估算对①进行判断；根据多边形内角和公式对②进行判断；根据菱形的性质对③进行判断；根据圆的有关性质对④进行判断；根据互逆命题的真假判断方法对⑤进行判断．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
20.【答案】120°
【解析】解： (20 2)2+102=30，
根据弧长公式可知20π=n×2πR360，
解得n=120°．
故答案为：120°
底面圆半径为10，则圆的周长是20π，即展开图的弧长，根据勾股定理可知展开图的半径，再利用弧长公式计算．
此题的关键是利用勾股定理先求出展开图的半径，再求出展开图的弧长，然后利用弧长公式进行计算即可．
21.【答案】110°
【解析】解：连接AC，
∵点C为弧BD的中点，
∴∠CAB=12∠DAB=20°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠DAB=40°，
∴∠DCB=140°，
∴∠DCA=140°-90°=50°，
∴∠ADC=180°-20°-50°=110°，
故答案为：110°．
连接AC，根据圆周角定理得到∠CAB=12∠DAB=20°，∠ACB=90°，计算即可．
本题考查的是圆周角定理的应用、圆内接四边形的性质，掌握半圆(或直径)所对的圆周角是直角是解题的关键．
22.【答案】25cm或105cm
【解析】解：①如果将两根细木条重叠摆放，则130÷2-80÷2=25cm；
②如果将两根细木条相接摆放，则130÷2+80÷2=105cm．
分两种情况讨论：
①将两根细木条重叠摆放，那么两根细木条的中点间的距离是两根木条长度的一半的差；
②将两根细木条相接摆放，那么两根细木条的中点间的距离是两根木条长度的一半的和．
本题要注意分成重叠和相接两种摆放方法分类讨论．根据题意准确的列出式子是解题的关键．
23.【答案】203
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识，利用相似三角形的性质结合AC=AF+CF，找出CF=23AC是解题的关键．
根据矩形的性质得出AB/​/CD，BC=AD=6，∠B=90°，利用勾股定理求出AC的长，由AB/​/CD得∠DCF=∠EAF，∠CDF=∠AEF，则△CDF∽△AEF，利用相似三角形的性质及中点的定义得CF=2AF，结合AC=AF+CF得CF=23AC，即可求得CF的长．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/CD，BC=AD=6，∠B=90°，
∵AB=8，
∴AC= AB2+BC2=10．
∵AB/​/CD，
∴∠DCF=∠EAF，∠CDF=∠AEF，
∴△CDF∽△AEF，
∴CFAF=CDAE．
又∵E是边AB的中点，
∴CD=AB=2AE，
∴CFAF=2，
∴CF=2AF．
∵AC=AF+CF=10，
∴CF=23AC=203．
故答案为：203．
24.【答案】解：(1)△AB'C'如图所示；
(2)由图可知，AC=2，
∴线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积=90°⋅π⋅22360°=π．
【解析】本题考查了利用旋转变换作图，扇形面积的计算，是基础题，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
(1)根据网格结构找出点B、C旋转后的对应点B'、C'的位置，然后顺次连接即可；
(2)先求出AC的长，再根据扇形的面积公式列式进行计算即可得解．
25.【答案】解：(1)如图，过D作DE⊥CG于E，
∵ED=20 3，∠CDE=30°，
∴CE=DE⋅tan30°=20 3× 33=20米．
故DF=EG=CG-CE=32-20=12米．
答：A楼落在B楼上的影子有12米．
(2)A楼的影子刚好不落在B楼上，
GH=CGtan30∘=32 33=32 3米．
答：两楼的距离应是32 3米
【解析】此题可根据A楼，地面和光线正好构成直角三角形，利用勾股定理求解．
本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
26.【答案】解：(1)∵直线y=12x与反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象交于点Q(4,a)，
∴a=12×4=2，a=k4，
∴k=8，
∴反比例函数的解析式为y=8x(x>0)，
∵点P(m,n)是反比例函数图象上一点，
∴mn=8，且n=2m，m>0，
∴m=2，n=4，
∴P(2,4)；
(2)延长PQ交x轴于A，连接OM，
设直线PQ的解析式y=kx+b，
∴2=4k+b4=2k+b，解得：k=-1b=6，
∴直线PQ的解析式为y=-x+6，
∵直线PQ交x轴于A，
∴A(6,0)，
设M(x,0)且△PMQ的面积为3，
∵S△PQM=S△PAM-S△QAM
∴3=12|6-x|×4-12|6-x|×2，
∴x=3或x=9，
∴M的坐标为(3,0)或(9,0)．
【解析】本题考查了反比例函数和一次函数交点问题，关键根据S△PQM=S△PAM-S△QAM可得方程，求得M的坐标．
(1)将P，Q代入解析式可求P点坐标．
(2)延长PQ交x轴于A，连接OM，可得S△PQM=S△PAM-S△QAM可得M坐标．
27.【答案】证明：(1)如图1，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠A=∠C=90°，
∵点C关于直线DG的对称点为F，
∴△DCG≌△DFG，
∴DC=DF=DA，∠DFG=∠C=90°，
∴∠DFE=90°，
在Rt△ADE和Rt△FDE中，
∵DA=DFDE=DE，
∴Rt△ADE≌Rt△FDE(HL)；
(2)∵G是边BC的中点，BC=6，
∴CG=BG=FG=3，
∵△ADE≌△FDE，
∴AE=EF，
设AE=x，则BE=6-x，EG=EF+FG=x+3，
∵在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，
∴(6-x)2+32=(x+3)2，
解得x=2，
∴AE=2；
(3)如图2，过点H作HN⊥AB于点N，
∴∠ENH=90°，
由(1)知∠ADE=∠EDF，∠FDG=∠CDG，
∵∠ADC=90°，
∴2∠EDF+2∠FDG=90°，
∴∠EDF+∠FDG=45°，
即∠EDG=45°，
∵EH⊥DE，
∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，
∴DE=EH，∠ADE=∠NEH，
在△DAE和△ENH中，
∵∠A=∠ENH∠ADE=∠NEHDE=EH，
∴△DAE≌△ENH(AAS)，
∴AE=HN，AD=EN，
∵AD=AB，
∴AB=EN=AE+BE=BE+BN，
∴AE=BN=HN，
∴△BNH是等腰直角三角形，
∴BH= 2HN= 2×2=2 2．
【解析】(1)连接DF，根据对称得：△DCG≌△DFG，再由HL证明Rt△ADE≌Rt△FDE，可得结论；
(2)由条件可知CG=BG=FG=3，设AE=x，则BE=6-x，EG=x+3，在Rt△EBG中，由勾股定理可得方程，解方程即可求出AE的长；
(3)过点H作HN⊥AB于点N，证明△DAE≌△ENH，得AE=HN，AD=EN，再证明△BNH是等腰直角三角形，可得结论BH= 2HN，可求出BH的长．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．
28.【答案】(1)证明：连接OE
∵OA=OE
∴∠OAE=∠OEA
∵AE平分∠BAF
∴∠OAE=∠EAF
∴∠OEA=∠EAF
∴OE/​/AD
∵ED⊥AF
∴∠D=90°
∴∠OED=180°-∠D=90°
∴OE⊥DE
∴DE是⊙O的切线
(2)解：①连接BE
∵AB是⊙O直径
∴∠AEB=90°
∴∠BED=∠D=90°，∠BAE+∠ABE=90°
∵BC是⊙O的切线
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°
∴∠BAE=∠CBE
∵∠DAE=∠BAE
∴∠DAE=∠CBE
∴△ADE∽△BEC
∴AEBC=DECE
∵DE=3，CE=2
∴BCAE=23
②过点E作EH⊥AB于H，过点G作GP/​/AB交EH于P，过点P作PQ//OG交AB于Q
∴EP⊥PG，四边形OGPQ是平行四边形
∴∠EPG=90°，PQ=OG
∵BCAE=23
∴设BC=2x，AE=3x
∴AC=AE+CE=3x+2
∵∠BEC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△BEC∽△ABC
∴BCAC=CEBC
∴BC2=AC⋅CE 即(2x)2=2(3x+2)
解得：x1=2，x2=-12(舍去)
∴BC=4，AE=6，AC=8
∴sin∠BAC=BCAC=12，
∴∠BAC=30°
∴∠EGP=∠BAC=30°
∴PE=12EG
∴OG+12EG=PQ+PE
∴当E、P、Q在同一直线上(即H、Q重合)时，PQ+PE=EH最短
∵EH=12AE=3
∴OG+12EG的最小值为3

【解析】(1)根据切线的判定，连接过切点E的半径OE，利用等腰三角形和平行线性质即能证得OE⊥DE．
(2)①观察DE所在的△ADE与CE所在的△BCE的关系，由等角的余角相等易证△ADE∽△BEC，即得BCAE的值．②先利用BCAE的值和相似求出圆的直径，发现∠BAC=30°；利用30°所对直角边等于斜边一半，给EG构造以EG为斜边且有30°的直角三角形，把12EG转化到EP，再从P出发构造PQ=OG，最终得到三点成一直线时线段和最短的模型．
本题考查了等腰三角形和平行线性质，切线的判定和性质，相似的判定和性质，最短路径问题．第(1)题为常规题型较简单；第(2)①题关键是发现DE、CE所在三角形的相似关系；②是求出所有线段长后发现30°角，利用30°构造12EG，考查了转化思想．
29.【答案】解：(1)∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1)，C的坐标为(4,3)
∴点B的坐标为(4,-1)．
∵抛物线过A(0,-1)，B(4,-1)两点，
∴c=-1-12×16+4b+c=-1，解得：b=2，c=-1，
∴抛物线的函数表达式为：y=-12x2+2x-1．
(2)方法一：
i)∵A(0，-1)，C(4,3)，
∴直线AC的解析式为：y=x-1．
设平移前抛物线的顶点为P0，则由(1)可得P0的坐标为(2,1)，且P0在直线AC上．
∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为(m,m-1)，
则平移后抛物线的函数表达式为：y=-12(x-m)2+m-1．
解方程组：y=x-1y=-12(x-m)2+(m-1)，
解得x1=my1=m-1，x2=m-2y2=m-3
∴P(m,m-1)，Q(m-2,m-3)．
过点P作PE/​/x轴，过点Q作QF/​/y轴，则
PE=m-(m-2)=2，QF=(m-1)-(m-3)=2．
∴PQ=2 2=AP0．
若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为2 2(即为PQ的长)．
由A(0,-1)，B(4,-1)，P0(2,1)可知，
△ABP0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=2 2．
如答图1，过点B作直线l1/​/AC，交抛物线y=-12x2+2x-1于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l1的解析式为：y=x+b1，
∵B(4,-1)，∴-1=4+b1，解得b1=-5，
∴直线l1的解析式为：y=x-5．
解方程组y=x-5y=-12x2+2x-1，得：x1=4y1=-1，x2=-2y2=-7
∴M1(4,-1)，M2(-2,-7)．
②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为 2．
如答图2，取AB的中点F，则点F的坐标为(2,-1)．
由A(0,-1)，F(2,-1)，P0(2,1)可知：
△AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为 2．
过点F作直线l2/​/AC，交抛物线y=-12x2+2x-1于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l2的解析式为：y=x+b2，
∵F(2,-1)，∴-1=2+b2，解得b2=-3，
∴直线l2的解析式为：y=x-3．
解方程组y=x-3y=-12x2+2x-1，得：x1=1+ 5y1=-2+ 5，x2=1- 5y2=-2- 5
∴M3(1+ 5,-2+ 5)，M4(1- 5,-2- 5).
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M1(4,-1)，M2(-2,-7)，M3(1+ 5,-2+ 5)，M4(1- 5,-2- 5).
方法二：
∵A(0,1)，C(4,3)，
∴lAC：y=x-1，
∵抛物线顶点P在直线AC上，设P(t,t-1)，
∴抛物线表达式：y=-12(x-t)2+t-1，
∴lAC与抛物线的交点Q(t-2,t-3)，
∵以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，P(t,t-1)，
①当M为直角顶点时，M(t,t-3)，-12t2+2t-1=t-3，
∴t=1± 5，
∴M1(1+ 5, 5-2)，M2(1- 5,-2- 5)，
②当Q为直角顶点时，点M可视为点P绕点Q顺时针旋转90°而成，
将点Q(t-2,t-3)平移至原点Q'(0,0)，则点P平移后P'(2,2)，
将点P'绕原点顺时针旋转90°，则点M'(2,-2)，
将Q'(0,0)平移至点Q(t-2,t-3)，则点M'平移后即为点M(t,t-5)，
∴-12t2+2t-1=t-5，
∴t1=4，t2=-2，
∴M1(4,-1)，M2(-2,-7)，
③当P为直角顶点时，同理可得M1(4,-1)，M2(-2,-7)，
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M1(4,-1)，M2(-2,-7)，M3(1+ 5,-2+ 5)，M4(1- 5,-2- 5).
ii)PQNP+BQ存在最大值．理由如下：
由i)知PQ=2 2为定值，则当NP+BQ取最小值时，PQNP+BQ有最大值．
如答图2，取点B关于AC的对称点B'，易得点B'的坐标为(0,3)，BQ=B'Q．
连接QF，FN，QB'，易得FN/​/PQ，且FN=PQ，
∴四边形PQFN为平行四边形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B'Q≥FB'= 22+42=2 5．
∴当B'、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2 5．
∴PQNP+BQ的最大值为2 22 5= 105．
【解析】本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换(平移，对称)、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称-最短路线问题等知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大．
(1)先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
(2)i)首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础．
若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为2 2.此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线(y=x-5)与抛物线的交点，即为所求之M点；
②当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为 2.此时，将直线AC向右平移2个单位后所得直线(y=x-3)与抛物线的交点，即为所求之M点．
ii)由(i)可知，PQ=2 2为定值，因此当NP+BQ取最小值时，PQNP+BQ有最大值．
如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B'，由分析可知，当B'、Q、F(AB中点)三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B'F的长度．