第3讲 复数的概念和性质-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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第3讲 复数的概念和性质通关一、复数的定义  要点诠释：（1）因为实数可写成，所以实数一定是复数；（2）复数构成的集合叫复数集，记为通关二、虚数单位的周期性    通关三、复数核心运算         结论一、复数的分类  【例1】已知,若为虚数单位是实数,则（ ） A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】因为是实数,所以,所以.故选C.【变式】设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）. A.充分不必要条件  B.必要不充分条件 C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】因为“"得或,只有,且,复数为纯虚数,否则不成立;复数为纯虚数,所以且,所以.因此,i是虚数单位,则"是“复数为纯虚数"的必要不充分条件.故选.结论二、复数相等  【例2】 若复数 , 则（ ）【答案】 5 【解析】 因为复数 , 所以 ,解得 ,故 . 【变式】已知 是虚数单位,若( ,则实数 的值为（ ） A. B. C. D.2【答案】 【解析】因为 , 所以 , 即 -4i, 所以 , 解得 . 故选 .结论三、共轭复数  【例3】若 , 则（ ） A.  B.  C.  D. 【答案】D 【解析】因为 , 所以 . 故选 D.【变式】 若复数, 其中为虚数单位,则共若复数 （ ） A. B. C. D.答案 【解析】 因为复数 , 所以 . 故选 .结论四、复数的加法与减法及意义           【例4】设复数满足,则_______________【答案】【解析】复数满足,所以,故.【变式】 设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称,,则（ ） A. B. C. D.4【答案】【解析】对应的点的坐标为,因为复数在复平面内的对应点关于虚轴对称,所以关于虚轴对称的点的坐标为,则对应的复数,则.故选.结论五、复数的乘法        要点许释:.【例5】（ ） A. B. C. D.【答案】【解析】.故选.【变式】设,且为正实数,则（ ）A. B.1 C.0  D. 【答案】【解析】是正实数,故.故选D.结论六、复数的除法   【例6】（ ） A. B. C.  D.-【答案】D【解析】 . 故选 .【变式】  A. B. C. D.【答案】D【解析】 . 故选 D.结论七、复数的模      【例7】已知复数 , 则 （ ）【答案】【解析】 因为复数 , 所以 . 故答案为 . 【变式】 已知为虚数单位,复数 , 则【答案】 1【解析】 因为 为虚数单位,复数 , 则 . 故答案为 .结论八、复数常见运算技巧      【例8】已知复数，则（ ）.A． B． C．2 D．【答案】B 【解析】 故选B.【变式】设，是复数，则下列命题中的假命题是（ ）.A. 若，则   B． 若，则  C．若，则  D．若，则【答案】 D【解析】 对于A选项，若，则，所以为真命题;对于B选项，若则和互为共轭复数，所以为真命题;；对于C选项，设，若则，所以为真命题；对于D选项，若则为真，而 所以为假命题.故选D. 结论九、复数的几何意义在复平面内，每一个复数都对应着一个点（有序实数对）.复数的实部对应着点的横坐标，虚部对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.【例9】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）.A．  B． C． D．【答案】 A【解析】由已知可得复数在复平面内对应的点的坐标为，所以,解得.故选A. 【变式】 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）.A． B． C． D．【答案】 B【解析】复数在复平面内对应的点在第二象限，所以,解得.则实数的取值范围是.故选B.