第9讲 二次函数-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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第9讲 二次函数通关一、二次函数的解析式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),其中（m,n)为抛物线顶点坐标，x=m为对称轴方程(3)双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标。通关二、二次函数的图像和性质解析式y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)图像定义域R值域对称轴顶点坐标奇偶性当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数单调性时是减函数；时是增函数；时是减函数；时是增函数；最值当时，当时，【评注】可以直接根据二次函数的性质比较两个函数值的大小。若二次函数的图像开口向上，则到对称轴距离大的自变量对应的函数值较大；若二次函数的图像开口向下，则到对称轴距离大的自变量对应的函数值较小。【结论第讲】结论一、y=ax2+bx+c(a≠0)的性质与a,b,c的关系关于a,b,c的代数式作用说明a决定开口方向与大小；决定单调性 a > 0向口向上，a越小开口越大，为单调递减区间，为单调递增区间a < 0向口向下，|a|越小开口越大，为单调递增区间，为单调递减区间b决定奇偶性b=0偶函数b≠0非奇非偶函数c决定与y轴交点位置c > 0交点在x轴上方c = 0过原点c < 0交点在x轴下方决定对称轴位置ab > 0在y轴左侧b = 0对称轴是y轴ab < 0在y轴右侧 决定与x轴的交点个数> 0两个交点= 0一个交点< 0无交点决定顶点的位置利用配方法把函数化为决定与x轴的两交点间的距离= 【例1】 设abc>0，二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是（ ）【答案】D【解析】A选项，由图像开口向下知 a<0，由对称轴位置知<0，所以b<0。若abc>0，则c>0，而由题图知f(0)=c<0，所以A选项不符；B选项，由题意知a<0，>0，所以.若,则,而由题图知,所以选项不符;选项,由题图知,,所以.若,则,而由题图知,所以选项不符;选项,由题图知,所以.若,则,而由题图知,所以选项正确.故选D.【变式】右图是二次函数图像的一部分,图像过点,对称轴为.给出下面四个结论:①;②＝－1;③;④.其中正确的是( ).A.②④ B.①④ C.②③ D.①③【答案】B【解析】因为图像与轴交于两点,所以,即,①正确.对称轴为,即,②错误.结合图像,当时,,即③错误.由对称轴为知,.又函数图像开口向下,所以,所以,即,④正确.故选B.结论二、二次函数的对称性二次函数的图像是一条抛物线,对称轴方程为,顶点坐标是①如果二次函数满足,那么函数的图像关于对称.②二次函数使成立的充要条件是函数的图像关于直线为常数)对称.【例2】若的图像关于对称,则_______.【答案】2【解析】由题意可知,解得,所以,解得.【变式】已知二次函数,如果其中,则_____.【答案】【解析】因为,所以的图像关于对称,.结论三、二次函数的单调性二次函数(1)当时,如图所示,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增,当时,;(2)当时,如图所示,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减,当时,.【例3】已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围为_______.【答案】或【解析】函数的图像是开口向下的抛物线,经过坐标原点,对称轴是.因为已知函数在上是单调函数,所以区间应在直线的左侧或右侧,即有或,解得或.【变式】若函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,则实数的取值范围是( ).A. B. C.[1,3] D.【答案】C【解析】因为函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,所以对称轴应在的右侧,的左侧或与重合,所以.故选C.结论四、给定区间上的值域对二次函数,当时,在区间上的最大值为,最小值为,令:(1)若,则;(2)若,则;(3)若,则;(4)若,则.【例4】如果函数定义在区间上,求的最小值.【答案】【解析】函数,其对称轴方程为,顶点坐标为,图像开口向上.如图所示,若顶点横坐标在区间左侧时,有,此时,当时,函数取得最小值.如图所示,若顶点横坐标在区间上时,有,即.当时,函数取得最小值.如图所示,若顶点横坐标在区间右侧时,有,即.当时,函数取得最小值,综上,【变式】已知二次函数的最小值为1,且.(1)求的解析式;(2)若在区间[]上不单调,求的取值范围;(3)若,试求的最小值.【解析】(1)因为是二次函数,且,所以图像的对称轴为.又的最小值为1,设,又,所以.所以.(2)要使在区间上不单调,则,所以.(3)由知,的对称轴为,若,则在上是增函数,;若,即,则在上是减函数,;若,即,则.综上,当时,;当时,;当时,.结论五、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系设①函数的图像与轴无交点方程无实根不等式的解集为不等式的解集为.②函数的图像与轴相切方程有两个相等的实根不等式的解集为.③函数的图像与轴有两个不同的交点方程有两个不等的实根:设不等式的解集为不等式的解集为.【例5】设二次函数,方程的两个根满足0(1)当时,证明;(2)函数的图像关于直线对称,证明:.【解析】证明由题意可知.因为,所以,所以当时,.又且,所以.综上可知,所给问题获证.(2)由题意可知,它的对称轴方程为,由方程的两个根满足,可得得,所以,即,而,故.【变式】设关于的不等式和的解集分别是和.(1)若,求实数的取值范围;(2)是否存在实数,使得?如果存在,求出的值,如果不存在,请说明理由.【解析】(1)①当或时,,由,得,解得.所以或.②当或时,显然成立.③当时,,由,得,解得.所以.综上,实数的取值范围是.(2)假设存在实数,使得,则:①当或时,,由,得,所以不存在.②当或时,显然不成立.③当时,,由,得.综上,不存在实数使得成立.结论六、一元二次方程根的分布令分布情况①两根都小于k②两根都大于k③一个根小于k，一个根大于k④两根都在(m，n)内图像(a＞0)充要条件分布情况⑤两根有且仅有一根在(m，n)内⑥两根都在区间(m，n)外⑦x1∈(a，m)，x2∈(n，b)图像(a＞0)充要条件  注:(1)一元二次方程根的分布问题需考虑:①;②对称轴;③区间端点函数值的符号.(2)若,则不用考虑、对称轴的范围;方程有两根时要注意区分,还是.【例6】二次方程,有一个根比1大,另一个根比小,则的取值范围是( ).A. B. C. D.【答案】C【解析】令,则由题意可知且,即,解得.故选.【变式】求实数的范围,使关于的方程.(1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小.(2)有两个实根,且满足.(3)至少有一个正根.【答案】【解析】.(1)依题意有,即,得.(2)依题意有,解得.(3)方程至少有一个正根,则有三种可能:①有两个正根,此时可得,即,所以.②有一个正根,一个负根,此时可得,得.③有一个正根,另一根为0,此时可得,所以.综上,.