第10讲 指数运算及指数函数-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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第10讲、指数运算及指数函数通关一、根式的概念和性质n次方根概念一般地，如果，那么x叫作a的n次方根，其中.性质①当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数.这时,的次方根用符号表示.②当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根.③0的任何次方根都为0，记作.根式概念式子叫作根式，这里n叫作根指数，a叫作被开方数.性质①②当n为奇数时,.③当n为偶数时,.通关二、指数函数,且的图像与性质 0＜a＜1a＞1图像定义域R值域(0，＋∞)奇偶性非奇非偶函数对称性函数y＝a－x与y＝ax的图像关于y轴对称过定点过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1单调性在R上是减函数在R上是增函数函数值的变化情况当时,当时,当时当时,0<y<1底数对图像的影响指数函数在同一坐标系中的图像的相对位置与底数大小关系如图所示,其中.①在轴右侧,图像从上到下相应的底数由大变小;②在轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小. 结论一、指数基本运算当时,有:①;②;③;④;⑤;⑥.【例1】化简并求值.(1);(2)【解析】(1);(2).【变式】化简并求值.(1)若,求的值;(2)若,求的值;(3)设,求的值.【解析】(1)时,原式.先对所给条件等价变形:,.故.(3)因为,所以,所以.所以.结论二、指数比较大小1.对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断;2.对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图像的变化规律来判断;3.对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,可先化为同底的两个幂,或者通过中间值来比较.【例2】设,则的大小关系是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】对于函数,在其定义域上是减函数.因为,所以,即.在同一平面直角坐标系中画出函数和函数的图像,可知,即.从而.故选A.【变式】若,则( ).A. B. C. D.【答案】D【解析】因为,所以由指数函数的单调性可得.因为的符号不确定,所以当时,可排除选项;当时,可排除选项;由指数函数的性质可判断正确.故选D.结论三、指数函数过定点指数函数的图像恒过点，且函数的图像经过第一、二象限.【例3】函数的图像必过定点__________.【答案】【解析】,令,则. 当 时，,所以必过点.【变式】已数函数 且 的图像恒过定点,则__________.__________.【答案】2,0【解析】令,求得,图像经过定点,即.结论四、底数对指数函数图像的影响1．底数与1的大小关系决定了指数函数图像的“升降”：当时，指数函数的图像“上升” ；当时，指数函数的图像“下降”.2. 底数的大小决定了图像相对位置的高低:不论是还是,在第一象限内，自上向下，图像对应的指数函数的底数逐渐变小.3. 作直线所给指数函数图像相交,交点的纵坐标为该指数函数的底数, 由此可判断多个指数函数底数的大小关系.4. 在第一象限的图像, 越大, 图像越靠近轴; 越小, 图像越靠近轴.【例4】右图是指数函数(1) , (3) , (4) 的图像,则与1的大小关系为（ ）. A.  B. C.  D. 【答案】B.【解析】有图像可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1，过点 作直线 , 在第一象限内分别与各曲线相交, 由图像可知 , 从而可得与1的大小关系为 . 【变式】已知函数 的图像不经过第一象限,则实数的取值范围是（ ）.  A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】 因为函数为减函数, 所以若函数的图像不经过第一象限,则满足 , 即.故选 .结论五、指数数数单调若在上是增函数;若 在上是増函数.要点诠释：指数增减要看清,抓着底数不放松，反正底数大于零，不等于1已表明. 底数若是大于1 , 图像从下向上增；底数0 到1之间，图像从上往下减. 无论函数增和减，图像都过 点.【例5】函数 且 在上的最大值比最小值大 ，则的值是__________.【答案】 或 【解析】当时，函数在上单调递减，故在上的最大值为，最小值为, 则 , 得.又，所以 .当时，函数在上单调递增, 故在上的最大值为, 最小值为, 那么, 得.又, 所以. 综上，的值是或. 【变式】函数 在上的最大值与最小值的和为 3 , 则等于（ ）. A.  B. 2 C. 4 D. 【答案】B【解析】解法一：当时, 为单调递增函数, 在上的最值分别为, 所以, 解得.当时, 为单调递减函数,在 上的最值分别为, 所以 , 解得, 这与矛盾. 综上, . 故选 . 解法二： 因为是单调函数, 所以必在区间的端点处取得最大值和最小值,因此, 从而. 故选.