第14讲 复合函数 第15讲 抽象函数-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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设且函数的值域为定义域的子集，那么通过的联系而得到自变量x的函数，称为是x的复合函数，记为
通关二、复合函数的单调性(同增异减)
对于复合函数，为内层函数，为外层函数，则复合函数
的单调性符合下表：
结论一、复合函数的求值与求参
1.复合函数函数值计算的步骤：求函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值.
2.已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值.
【例1】设函数，则_______；若，则实数的值为_______.
【变式】若函数，则函数的值域是————
结论二、与指数函数有关的复合函数的单调性
1.若，函数的单调增（减）区间即函数的单调增（减）区间.
2. 若，函数的单调增（减）区间即函数的单调减（增）区间.
【例2】函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【变式】如果函数在区间上的最大值14，则的值为（ ）
A.B. 1C. 3D. 或3
结论三、与对数函数有关的复合函数的单调性
1.若，函数的单调增（减）区间即函数的单调增（减）区间.
2. 若，函数的单调减（增）区间即函数的单调减（增）区间.
【例3】设函数在区间上是减函数，则的最小值为（ ）
A.2B. 1C. D.
【变式】函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
结论四、复合函数的奇偶性（内偶则偶，内奇同外）
【例】4、若函数是奇函数，函数是偶函数，则一定成立的是（ ）
A.函数是奇函数B. 函数是奇函数
C.函数是奇函数D. 函数是奇函数
【变式】已知为R上的函数，其中函数为奇函数，函数为偶函数，则（ ）
A.函数为偶函数B. 函数为奇函数
C. 函数为偶函数D. 函数为奇函数
结论五、复合函数的零点
关于的方程根的个数，令，
1.作出的图像；
2.解方程，求出对应的解；
3.结合的值和的图像，令，将所求的个数汇总后即为的根的个数.
【例5】已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A.2B.3C.4D.5
【变式】函数的图像如图所示，则方程的实数根的个数为（ ）
A.3B.6C.9D.12
第15讲 抽象函数
通关一、抽象函数模型
通关二、抽象函数的单调性
抽象函数单调性的判断,关键是根据题目所给的性质和符号条件,构造相应的关于的函数值,从而比较出与的大小,同时还要注意,
等变形技巧.
通关三、抽象函数的奇偶性
抽象函数奇偶性的判断往往借助于赋值法和定义,对于已给恒等式中出现的两个或两个以上的变量,利用赋值的方法将其替换成都出现的形式,在恒等式中仅有这两种形式或是具体函数值的形式,而不会出现新的函数结构.
通关四、抽象函数的注意事项
解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域；二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”；三是利用函数单调性去掉函数符号“".注意定义域优先原则,赋值法（常量赋值和变量赋值,换元法.
结论一、型
已知函数对任意实数都有,且当时,.求在上的值域.
【变式】函数对任意的实数有,且当时,有.
(1)求证:在上为增函数；
(2)若,解不等式.
结论二、型
【例】2 已知函数的定义域是,当时,,且.
(1)求的值；
(2)证明:在定义域上是增函数.
【变式】的定义域为,且对一切都有,当时,有.
求的值；
(2)判断的单调性并证明；
(3)若,解不等式.
结论三、型
【例3】 设函数定义在上,当时,,且对任意,有,当时,.
(1)证明：；
(2)证明：在上是增函数.
【变式】 已知对一切,满足,且当时,.求证：时,在上为减函数.
结论四、型
【例4】给出四个等式：①；②；③；④,则不满足任一等式的函数是（ ）.
A.B.C.D.
【变式】 设函数定义在上,当时,,且对任意,有,当时,.
证明：；
证明：在上是增函数.
外层函数单调性
内层函数单调性
函数单调性
增
增
增
减
减
减
增
减
减
增
若
则
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
抽象模型
原函数