第19讲 导数的几何意义 第20讲 导数的应--2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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表示曲线在处的切线的斜率，即为切线的倾斜角.
已知点是曲线上一定点，点是曲线上的动点，我们知道平均变化率表示割线的斜率，如图所示.当点无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫作曲线在点处的切线.也就是当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率，即：
通关二、曲线在点P处的切线
点P在曲线上，在点Р处作曲线的切线（Р是切点），此时数量唯一，如图所示.
通关三、曲线经过点P处的切线
点P位置不确定（在曲线上或曲线外），过点Р作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点Р可），
数量不唯一.如图（a）和图（b）所示，无论点Р在曲线上还是曲线外，过点P都可以作两条直线l1，l2，与曲线相切.
结论一、求曲线y=f（x）在x=x0处切线的步骤
1.先求f'（x0），即曲线y=f（x）在P（x0，f（x0））处切线的斜率.
2.再求f（x0），因为切线过点（x0，f（x0））；
3.最后由点斜式写出直线方程:y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）.特别地，如果y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义切线方程为:x=x0.
【例1】函数f（x）=x4-2x3的图像在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）.
A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1
【答案】B
【解析】因为，所以，所以.因
此，所求切线的方程为，即.故选.
【变式】设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为，则
等于（ ）
A.B.C.D.1
【答案】
【解析】对求导得，令得在点（1，1）处的切线的斜率1，在点（1，1）处的切线方程为，令，得，则.故选B.
结论二、求曲线f（x）经过点P（x，y）切线方程的步骤
1.求导函数f'（x）；
2.验证点P是否在曲线上：计算f（x0），观察f（x0）=y0是否成立；
3.求切点，设切点坐标为（a，f（a）），则切线方程y-f（a）=f'（a）（x-a），代入点P（x0，y0）坐标，求出a的值（注意a≠x0），可得切线方程.
【例2】过曲线的点的切线方程为__________________.
【答案】或
【解析】设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率，
所以切线方程为，即·.因为点在切线上，所以，即，所以，所以，所以，解得或，代入.故所求的切线方程为或.
【变式】曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____________________.
【答案】.
【解析】
设切线的切点坐标为
，所以切点坐标为（1，2），所求的切线方程为，即.
第20讲 导数的应用
通关一、导数的符号与丞数的单调性
一般地，设函数y =f(x)在某个区间内有导数，则在这个区间上，
（1）若f'（x）>0，则f（x）在这个区间上为增函数；
（2）若f'（x）