第24讲 两角和与差公式-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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第24讲 两角和与差公式【知识通关】通关一、两角和与差的余弦公式【证明】证法一: 如图,在直角坐标系内作单位圆，并作出角与，使角的始边为，交 于点，终边交于点；角的始边为，终边交于点，角的始边为，终边交于点.则，，，.由及两点间的距离公式，得.展开并整理，得,所以. 于是.证法二: 如图，以坐标原点为中心作单位圆，以为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于点,则，，. 因此存在，使或成立.因为. 所以. 于是.通关二、两角和与差的正弦公式【证明】；通关三、两角和与差的正切公式【证明】，分子、分母同时除以 得，把公式中的换为，得.结论一、两角和与差的余弦 变形 变形 【例1】已知，，知的值为__________.【答案】.【解析】依题意有，所以，所以.【变式】若，，则的值为（ ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】B.【解析】得.所以.故选B.结论二、两角和与差的正弦 变形 变形 【例2】若，，则的值为（ ） A. 5 B. 1 C. 6 D. 【答案】A. 【解析】由题意知，, 所以，，所以，即.故选A.【变式】已知，，则__________.【答案】【解析】因为，两边平方可得①，，两边平方可得②，由①+②得，即，所以.所以.结论三、两角和与差的正切；变形：；；.【例3】已知，则（ ） A. B. C.1 D. 2 【答案】D.【解析】因为,所以.令,则,整理得，解得，即，故选D.【变式】已知,则（ ） A. B. C. D.[答案]【解析】因为,所以,所以,故选.结论四、正切定值若,则.【例】4 _____________.【答案】【解析】因为,所以.【变式】的值是（ ） A. B.4 C. D.【答案】【解析】因为,所以.同理可得所以故选.结论五、给值求角问题对于给值求角问题，一般的做法是求出这个角的正弦、余弦或者正切的某个值，然后关紧断该角所在的范围，求出角。如果角度所在范围比较大，或者难以求出时，就需要考虑缩小角的范围再做。【例】5已知均为锐角,且,则____________.【答案】【解析】解法一:由已知得,,又由于,所以,所以.所以.所以.解法二：由已知得,又,所以.【变式】已知均为锐角,且,则__________.【答案】【解析】因为,所以,所以,又因为,,所以,所以,所以.结论六、常见角的变换【例6】 (1)求的值;(2)求的值:(3)求的值.【解析】(1)原式(2)原式(3)原式【变式】已知,则_____________.【解析】 解法一： .解法二： .