第25讲 倍角与半角公式 第26讲 三角函数性质-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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公式推导：把两角和与差公式中的代换为，则可得到二倍角公式。
再利用，可得：
.
通关二、半角公式
通关三、三倍角公式
通关四、三角函数化简的“三看”原则
1．一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
2．二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
3．三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等。
结论一、二倍角正弦
变形1:
变形
【例1】设,则（ ）.
A. B. C. D.
【变式】若,则（ ）.
A.B.C. D.
结论二、二倍角余弦
变形1:升幂公式:
变形2:降幂公式:
变形3:平方差公式:
【例2】若，则__________.
【变式】已知,则（ ）
A. B. C.D.
结论三、二倍角正切
【例3】已知.则（ ）.
A.B.C.D.
【变式】 已知,则_____________.
结论四、万能公式
【例4】若,则等于（ ）.
A.B.C. D.
【变式】若，则（ ）
A. B.C. D.
结论五、半角公式
1.半角的正弦、余弦、正切公式
，，
2.半角正切的变形公式
①
②
【例5】若,且,则_____________.
【变式】已知是第四象限的角，且，则（ ）
A. B. C.D.
结论六、辅助角公式
当时,，，角的终边过点.
常见的几个公式：
；；.
【例6】函数的最小正周期为（ ）
A.B.C.D.
【变式】函数在区间上的最大值是（ ）
A. B.C.D.
第26讲 三角函数性质
通关一、，，的图像与性质
通关二、y=Asin(ωx+φ)与 y=Acsωx+φ(A>0,ω>0）的图像与性质
结论一、求三角函数解析式
或称为振幅,称为相位,称为初相.
①的确定: 表示该三角函教的平衡位置,.
②的确定:最高点或最低点到平衡位置的距离为振幅,.
③的确定:先求周期,两个相邻最高点或最低点之间的距高为一个周期一个最高点与相邻的一个最低点之间的距离或两个相邻的零点之间的距离为半个周期,一个最高点(最低点)与相邻的零点之间的距离为, 然后利用.
④的确定:代入图像上一个点的坐标通常代入最高点或最低点, 不能代入零点(平衡点) ] 或通过平移.
【例1】已知函数的图像（部分）如图所示,则的【解析】式是 ( ).
B.
C. D.
【变式】已知函数的图像如图所示，, 则（ ）.
A.B.C. D.
结论二、三角函数单调性
1.
2.
3. 的单调性可根据和的单调性来研究,由得单调递增区间; 由得单调递减区间;
4. 的单调性可根据和的单调性来研究, 由得单调递增区间; 由得单调递减区间.
【例2】设在区间上单调增加,则的最大值为（ ）.
A.B. C. D.
【变式】函数的部分图像如图所示,则的单调递减区间为（ ).
A. B.
C. D.
结论三、三角函数奇偶性的结论
1. 若 为奇函数, 则 ;
2. 若 为偶函数, 则 ;
3. 若 为奇函数, 则 ;
4. 若 为偶函数, 则 ;
5. 若 为奇函数, 则 , 该函数不可能为偶函数.
【例3】使函数 为偶函数的最小正数 （ ）.
A. B. C. D.
【变式】若将函数 的图像向右平移 个单位, 所得图像关于 轴对 称,则 的最小正值是（ ）.
A.B. C. D.
结论四、三角函数对称性结论
1. 函数 的对称轴为 , 对称中心为 ;
2. 函数 的对称轴为 , 对称中心为 ;
3. 函数 无对称轴, 对称中心为;
4. 函数 对称轴的求法:令,得 ; 对称中心的求法: 令 , 得 , 即对称中心为;
5. 函数 对称轴的求法 : 令 , 得
; 对称中心的求法: 令 ,得 ,
即对称中心为.
【例4】已知函数的图像关于直线对称,则的最小值为（ ）.
A.2B.C.D.
【变式】函数的图像关于原点中心对称,则( ).
A.B.
C. D.
结论五、三角函数周期性结论
1. 函数 的周期
分别为 : .
2. 函数的周期均为
3. 函数 的周期均为 .
【例5】在函数①② ③④ 中, 最小正周期为 的所有函数为 ( ).
A. (1)(2)(3) B. (1)(3)(4) C. (2)(4) D. (1)(3)
【变式】函数 中 ( ).
A. 最小正周期为 的奇函数B. 最小正周期为 的偶函数
C. 最小正周期为 的奇函数D. 最小正周期为 的偶函数
性质
函数
定义域
图
像
值域
对称性
对称轴：
对称中心：
对称轴：
对称中心：
对称中心：
周期性
单调性
单调增区间：
单调减区间：
单调增区间：
单调减区间：
单调增区间：
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
类别
y=Asin(ωx+φ)
y=Acsωx+φ
综述
类比研究y=sinx (y=csx)的性质，只需将y=Asin(ωx+φ) （y=Acsωx+φ）中的ωx+φ看成y=sinx (y=csx）中的x，但在求y=Asinωx+φy=Acsωx+φ的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正.
图像
解法一 (五点法) : 设 , 令 求出相应的值,计算得出五点的坐标,描点后得出图像.
解法二(图像变换法) :先作出的图像,再进行图像的平移、伸缩变换. 这是作函数简图常用的方法.
共性
振幅：A；②最小正周期：T=2πω；③频率f=1T=ω2π;④相位：ωx+φ；⑤初相：φ；⑥定义域：R；⑦值域：−A,A.
【解析】式
函数【解析】式中未知系数的确定：
A由最值确定；②ω由周期确定；③初相φ由图像上的特殊点确定，代点（最高、低）法
性质
最值
当ωx+φ=π2+2kπ(k∈Z)时，取最大值A;
当ωx+φ=−π2+2kπ(k∈Z)时，取最小值-A
当ωx+φ=2kπ(k∈Z)时，取最大值A;
当ωx+φ=−π+2kπ(k∈Z)时，取最小值-A
对称轴
令ωx+φ=π2+kπ(k∈Z)得对称轴x=kπ+π2−φω(k∈Z)
令ωx+φ=kπ(k∈Z)得对称轴x=kπ+(−φ)ω(k∈Z)
对称中心
令ωx+φ=kπ(k∈Z)得对称中心（kπ−φω,0）(k∈Z)
令ωx+φ=π2+kπ(k∈Z)得对称中心（kπ+π2−φω，0）(k∈Z)
单调性
ωx+φ∈2kπ−π2，2kπ+π2(k∈Z)得增区间；
ωx+φ∈2kπ+π2，2kπ+3π2(k∈Z)得减区间
ωx+φ∈−π+2kπ,2kπ(k∈Z)得增区间；
ωx+φ∈2kπ，π+2kπ(k∈Z)得减区间
平移、伸缩
图像的平移与伸缩永远发生在x与y本身