第28讲 解三角形-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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第28讲 解三角形通关一、正弦定理在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即(R为三角形外接圆的半径).通关二、正弦定理的推广及其变形边化角公式角化边公式变式1变式2变式3通关三、余弦定理三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.,,.通关四、余弦定理的推广及其变形通关五、三角形面积设的三边为,对应的三个角分别为,其面积为.1. 为边上的高)；2. ；3. 为三角形的内切圆半径 ；4. ；5. 为三角形外接圆半径；6. 为三角形外接圆半径)；7. . 【结论大招】结论一、三角形内角和的内角和等于，即.利用诱导公式可得： 【例1】在锐角中，已知 ，则的最大值为( ).A．4 B．3 C．6 D．7【答案】A【解析】在锐角中，已知，则，所以，由基本不等式可得，可得 .当且仅当时,等号成立，因此， 的最大值为.故选 .【变式】在中，角所对应的边分别是，若，则三角形一定是( ).A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】C【解析】因为，由正弦定理, 得 , 因为 为 的内角，所以，，所以，即，整理得 ，所以 ，即. 故 一定是等腰三角形. 故选 C.结论二、射影定理设的三边为,对应的三个角分别为,则【例2】设的内角所对的边分别为 , 若，则的形状为( ).A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【答案】B【解析】 解法一 由已知可得，所以 ，所以 ，所以 ，三角形为直角三角形. 故选 .解法二 由射影定理 知，所以 ，所以 ， 三角形为直角三角形. 故选 B.【变式】已知的内角的对边分别为, 若 , 则 的外接圆面积为( ).A． B． C． D．【答案】C【解析】因为, 由射影定理知，又 ，所以，所以，所以的外接圆面积为. 故选 C.结论三、正弦定理的应用1. 已知两角与一边，由及，可求出角，再求.2. 已知两边及其中一边的对角，由正弦定理，求出另一边的对角, 由 ，求出，再由，求出.【例3】在中， ，则( ).A．或 B． C． D．【答案】C【解析】由正弦定理得 , 所以 . 因为为三角形内角, 且 , 所以, 所以 . 故选 C.【变式】 在中, 内角的对边分别是 , 若 , 则 是( ).A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】D【解析】因为 ，由正弦定理得 ，代人得 ，进而可得 ，所以 ，则 是等边三角形. 故选 D.结论四、余弦定理的应用1. 已知两边与其夹角，由 ，求出，再由余弦定理，求出角.2. 已知三边 ，由余弦定理可求出角.【例4】 在中，若，则( ).A． B． C． D．【答案】B【解析】因为 , 所以 , 根据余弦定理得 , 又 , 所以 . 故选 .【变式】 在 中，角的对边分别为 ，则角的值为( ). A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】因为 ， 所以 ，所以 或. 故选B.结论五、边角不等关系等价条件在 中，.【例5】 在中，“”是“”的 ( ).A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 C．充要条件  D．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】. 故选 .【变式】在中，“”是“”的 ( )条件.A．充分不必要  B．必要不充分 C．充要  D．既不充分也不必要 【答案】D【解析】 ，因为 推不出 ， 推不出 ， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选 D.结论六、三角形形状判定若 ，则或 ，则.【例6】 在中，若 ，则是 ( ).A．等腰三角形  B．直角三角形 C．等形直角三角形  D． 等腰三角形或直角三角形 【答案】D【解析】由已知条件得 ，即 ，所以或. 故选 .【变式】在中，若，则的形状是 ( ).A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．不能确定   D． 等腰三角形【答案】A【解析】由正弦定理得 ，因为 ，化简可得 ，得，所以或者.因，, 故或者 ，所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选 A.结论七、三角形面积.【例7】在中，的对边分别是，其面积 ，则的大小是( ).A． B． C． D．【答案】C【解析】解法一 因为 中，，且 ， 所以 ，即 ， 则 . 故选 C.解法二 因为 ，结合已知条件 ，得 ，则 .故选 C.【变式】 在中，角的对边分别是，的面积为，且，则的面积的最大值为 ( ).A． B． C． D．【答案】C【解析】因为 ，结合已知条件得，所以，即 . 又由基本不等式 ，即 ，得 . 所以 ，当且仅当时，的最大值为.故选 C.