第30讲 向量的数量积运算-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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第30讲 向量的数量积运算通关一、平面向量数量积的定义已知两个非零向量和，我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，即，其中是与的夹角，.零向量与任一向量的数量积为0.要点诠释：设两个非零向量与的夹角为，则：当时，，；当为锐角时，，；当为直角时，，；当为钝角时，，；当时，，.通关二、数量积的性质和运算律  向量数量积的性质设，为非零向量，则（1）设是单位向量，且与的夹角为，则；（2）；（3）当与同向时，；当与反向时，；特别地，或；（4），当且仅当与共线，即时等号成立；（5）（为向量与的夹角）.   向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘结合律：；（3）分配律：.结论一、数量积公式已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫作与的数量积，记作，即有.【例1】已知向量，满足，，则 A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B．【解析】向量，满足，，则，【变式】 若向量、满足，与的夹角为，则 A． B． C． D．2【答案】B【解析】，与的夹角为，结论二、数量积几何意义设是与的夹角，则叫作向量在向量方向上的投影，；叫作向量在向量方向上的投影，.【例2】设，为单位向量，且，的夹角为，若，，则向量在方向上的投影为______【答案】【解析】由题意可得，，，，，，则向量在方向上的投影为．【变式】 已知点，，，，则向量在方向上的投影为 A． B． C． D．【答案】A【解析】，，则向量方向上的投影为：，故选A. 结论三、向量垂直，且 .【例3】已知单位向量的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是（ ）A． B． C． D． 【答案】 D【解析】 由题干可得，.对于选项A，；选项B，；选项C，；选项D，；故选 D.【变式】已知单位向量夹角为，与垂直，则__________.【答案】 【解析】 由与垂直可得，即，故，故填.结论四、向量求模运算1. 或;2. .【例4】 已知是两个单位向量，且, 则__________.【答案】 1【解析】由题意，向量是两个单位向量，且，则, 所以 , 所以 ，故填.【变式】 若，且与的夹角为，则__________.【答案】 【解析】 由题可得，所以，所以 ，故填.结论五、向量的夹角与的夹角为，则.【例5】已知向量满足，则（ ）A． B． C． D． 【答案】 D【解析】因为 ，所以，，因此，，故选D.【变式】 已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，则与的夹角为__________.【答案】 【解析】 由题意得, 化简得①；化简得②；由①②得，代入①或②得：，设的夹角为，则，因为，所以，故填.结论六、向量夹角的判定当时，，则是锐角或（此时）.当时，，则是钝角或（此时）.【例6】已知，若与的夹角是锐角，则的取值范围为__________.【答案】 【解析】 由得，又与不共线，得.综上，得，故填.【变式】 设两个向量满足的夹角为，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________.【答案】 【解析】 由得，从而，.当与共线时，令，即，解得 .综上，得，故填.结论七、与的几何意义与分别是以构成平行死边形的两条对角线.（1）菱形的两条对角线相互垂直：；（2）矩形两条对角线相等：；（3）平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和：或.（由此可推出三角形的中线长公式）【例7】设是两个非零向量,下列说法正确的有__________.①若,则;②若,则;③若, 则存在实数,使得;④若存在实数,使得,则;⑤若,则;⑥若,则. 【答案】 ③⑤⑥ 【解析】 利用向量加法的三角形法则知,不共线时, 可构成三角形, ①②均错误;③正确;④错误, 因为当时,; 利用向量加法的平行四边形法则知可看成是起点相同的向量构成的平行四边形的两条对角线, 故这个平行四边形为矩形 ⑤⑥均正确.【变式】 已知两个非零向量满足,则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D． 【答案】 B【解析】 利用向量加法的平行四边形法则知可看成是起点相同的向量构成的平行四边形的两条对角线, 故这个平行四边形为矩形故选 B.