第31讲 向量的坐标运算 第32讲 三角形四心与向量-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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已知平面上的两点坐标，可求得以它们为起终点的向量坐标：设，则（可记为"终""起"），所以只要确定了平面上点的坐标，则向量的坐标自然可求. 另外三个坐标知二可求一，所以已知向量坐标与其中一个点的坐标，也可求出另一个点的坐标.
通关二、向量的坐标运算
设, 则有:
（1）加减运算: ;
（2）数乘运算: ;
（3）数量积运算: ;
（4）向量的模长: .
通关三、向量位置关系的判定
设, 则有:
平行: ;
垂直: ;
向量夹角余弦值: .
结论一、向量坐标的加减法运算
设, 则:
① ;
②;
③.
【例1】设平面向量, 则（ ）.
A．B．C．D．
【变式】 已知向量,若, 则的值为__________.
结论二、向量平行的判定及应用
若,则. 当且仅当时,与等价.
【例2】 平面向量与平行的充分必要条件是（ ）.
A．B．C．D．
【变式】 已知向量,且, 则__________.
结论三、向量垂直的判定及应用
若,则.
【例3】 已知向量, 向量与垂直,则实数的值为__________.
【变式】设向量, 若, 则__________.
结论四、向量求模
若,模.
【例4】 已知向量, 则（ ）.
A．B．C．D．
【变式】 已知，则的最大值为__________.
结论五、两向量夹角
向量夹角余弦值: .
【例5】已知向量,则__________.
【变式】 已知向量,则（ ）.
A．B．C．D．
结论六、常见的可建系图形
具备对称性质的图形: 长方形,正方形,等边三角形, 圆形.
带有直角的图形：直角三角形，直角梯形.
3. 具备特殊角度的图形（等）.
【例6】已知, 若点是△所在平面内一点, 且, 则 的最大值等于（ ）
A．13B．15C．19D．21
【变式】 已知△是边长为2的等边三角形,为平面内一点, 则)的最小值是（ ）
A．B．C．D．
第32讲 三角形四心与向量
通关一、四心的概念
重心（中线的交点）：重心将中线长度分成2:1.
垂心（高线的交点）：高线与对应边垂直.
内心（角平分线交点（内切圆的圆心））：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；内心到三角形三边的距离相等.
外心（中垂线的交点（外接圆的圆心））：外心到三角形各顶点的距离相等.
通关二、三角形四“心”向量形式
设为△所在平轴上一点,角所对边长分别为,则：
为△的外心.
为△的重心.
为△的垂心.
为△的内心.
通关三、重心性质
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离的关系：.
重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.
.
重心向是表达: .
三角形的重心坐标公式:△三个顶点的坐标分别为，
则△的重心坐标是 .
结论一、重心
是△的重心.
证法1 设, 则
是△的重心.
证法2 如图所示,因为 ,所以, 所以三点共线,且分为. 所以是△的重心.
【例1】已知是△所在平面上的一点,若, 则点是△的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【变式】已知和点满足.若存在实数使得成立，则（ ）.
A.2B.3C.4D.5
结论二、垂心
为的垂心.
证明:如图所示，是三角形的垂心，垂直于，垂直于是垂足.，同理为的垂心.
【例2】已知是所在平面上的一点，若，则点是的（ ）.
A.外心B.内心C.重心D.垂心
【变式】已知为所在平面内一点，满足
|，则点是的（ ）.
A.垂心B.重心C.内心D.外心
结论三、内心
为的内心.
证明:因为分别为方向上的单位向量，所以平分，所以，量，所以，化简得.所以.
【例3】已知是所在平面上的一点，若，则点是的（ ）.
A.外心B.内心C.重心D.垂心
【变式】已知是所在平面上的一点，若(其中是所在平面内任意一点)，则点是的（ ）.
A.外心B.内心C.重心D.垂心
结论四、外心
为的外心.
【例4】已知是所在平面上的一点，若，则点是的（ ）.
A.外心B.内心C.重心D.垂心
【变式】已知是所在平面上的一点，若，则点是的（ ）.
A.外心B.内心C.重心D.垂心
结论五、重心与面积
若平面内点是的重心，则有.
【例5】已知点是内一点，，则:
(1)与的面积之比为__________.
(2)与的面积之比为__________.
【变式】已知点是内一点，，则__________.